Feuille de TD1 1 Entiers naturels et récurrence

Institut galilée
Mathématiques pour l’Informatique 2016
Sylviane R. Schwer
Janvier 2016
Feuille de TD1
1
Entiers naturels et récurrence
Exercice 1 Etudier la démonstration suivante, qui prouve que deux nombres quelconques
sont égaux :
Soient trois nombres a, b et c strictement positifs tels que a = b + c.
a = b + c ⇔ a(a − b) = (b + c)(a − b),
d’où a2 −ab = ab+ac−b2 −bc ⇔ a2 −ab−ac = ab+ac−b2 −bc−ac ⇔ a(a−b−c) = b(a−b−c),
En simplifiant par a − b − c, on obtient a = b.
Exercice 2 On définit la fonction d’Ackermann 1 A : N2 → N par récursion de la manière
suivante:
(i)
A(0, y) := y + 1
(ii) A(x, 0) := A(x − 1, 1)
(iii)
pour x > 0
A(x, y) := A(x − 1, A(x, y − 1))
pour x > 0, y > 0.
1. Montrer que ∀y ∈ N , A(1, y) = y + 2
2. Montrer que ∀y ∈ N , A(2, y) = 2y + 3
3. Montrer que ∀y ∈ N , A(3, y) = 2y+3 − 3
4. Montrer que ∀y ∈ N , A(4, y) = 2∧∧ (y + 3) − 3.
a∧∧ b est la notation de Donald Knuth pour représenter a
∧∧
a. a∧∧ 1 = a ; a∧∧ 2 = aa ; a∧∧ (n + 1) = aa n
..a
a.
, avec b occurrences de
Calculer A(4,1) et A(4,2).
5. Montrer que la fonction d’Ackerman est bien calculable sur N × N, c’est-à-dire que
pour tout couple d’entiers (x,y), le calcul de A(x, y) est effectif.
Exercice 3 Le paradoxe du chauve2 . On arrache un cheveu à la tête d’un homme chevelu.
Celui-ci est-il devenu chauve ? Evidemment non. Puis on lui arrache un second cheveu,
est-il devenu chauve ? et trois ? . . . , et n ?
1
La fonction d’Ackermann est un exemple simple de fonction récursive non primitive récursive.
L’ensemble des fonctions primitives récursives contient les fonctions constantes, les projections, la fonction successeur et est clos par composition et par récursion primitive : f (x1 , · · · , xp , 0) = g(x1 , · · · , xp )et
f (x1 , · · · , xp , n + 1) = h(x1 , · · · , xp , n, f (x1 , · · · , xp , n)), avec g et h primitives récursives. les fonctions
arithmétiques élémentaires, les fonctions puissances, factorielles sont primitives récursives. Les fonctions
récursives sont toutes les fonctions calculables par un ordinateur.
2
Paradoxe produit par le Mégarite Eubulide de Milet, au IV◦ siècle avant l’EC. Ce type de paradoxe
est appelé sorite.
1
Montrer que l’application du principe de récurrence conduit à prouver qu’un homme
chauve n’est pas chauve. Où réside le paradoxe ?
Produire un paradoxe similaire qui prouve qu’un riche n’est pas riche.
Exercice 4 Etudier la démonstration suivante, dérivée d’un paradoxe proposé par le
mathématicien et logicien Alfred Tarski.
Supposons que pour tout paquet Pn de n crayons, nous voulons démontrer la proposition
suivante :
(p ∈ Pn et q ∈ Pn ) ⇒ (p et q ont même couleur)
Cette implication est vraie pour n=1.
Supposons qu’elle est vraie pour n, prouvons la pour n + 1
Soit Pn+1 un ensemble de n+1 crayons notés p1 , · · · pn , pn+1 . Notons Pn le paquet constitué
des n crayons p1 , · · · pn et Qn le paquet constitué des n crayons p2 , p3 · · · pn+1 .
D’après l’hypothèse de récurrence, d’une part p1 = p2 = · · · = pn et d’autre part p2 =
p3 = · · · = pn = pn+1 , ce qui démontre le théorème par récurrence.
2
relations d’équivalence
Exercice 5 (Pour chacune des relations, étudier si c’est une une relation d’équivalence?
Si oui, quelles en sont ses classes ?
1. Dans l’ensemble des droites du plan, la relation être perpendiculaires ?
2. Dans l’ensemble des droites du plan, la relation être parallèles ?
3. Dans l’ensemble des droites du plan, la relation être concourantes ?
4. Dans R∗ , la relation α définie par uαv ⇐⇒ u × v > 0.
5. Dans C, la relation définie par z1 = u1 + iv1 z2 = u2 + iv2 ⇐⇒ u21 + v12 = u22 + v22 .
6. Soient E et F deux ensembles et f : E → F une application. Dans E la relation R
définie par xRx0 ⇐⇒ f (x) = f (x0 )
Exercice 6 On note Sn l’ensemble des bijections (ou permutations)
de σ : {1, · · · , n} →
1 ··· n ou
simplement
σ = (σ(1), · · · , σ(n)).
{1, · · · , n}. Une permutation σ est notée σ = σ(1)
··· σ(n)
Pour une permutation donnée σ, on définit dans {1, · · · , n} la relation ∼σ par
x ∼σ y
⇐⇒
∃n ∈ Z, σ n (x) = y
1. Montrer que ∼σ est une relation déquivalence.
2. Calculer les classes d’équivalence de ∼σ pour σ =
2
1234567
2654317
Exercice 7 En 1807, dans ses Recherches arithmétiques3 , Gauss écrit
Nous avons adopté ce signe ≡ à cause de la grande analogie qui existe
entre l’égalité et la congruence. C’est pour la même raison que Le Gendre
. . . a employé le signe même de l’égalité, pour désigner la congruence ; nous en
avons préféré un autre, pour prévenir toute ambiguı̈té.
Proposer un modèle de représentation des classes de congruence modulo n de Z illustrant
bien le lien entre congruence et égalité pour n = 12.
3
divisibilité
Exercice 8 Déterminer le quotient et le reste dans la division euclidienne de 2531 par 21.
En déduire le quotient et le reste dans la division de −2531 par −21, de −2531 par 21 et
de 2531 par −21.
Exercice 9 paire/impaire
1. Donner la table d’addition et de multiplication concernant la propriété paire/impaire.
2. Montrer que la fonction x → x2 conserve la parité.
3. Montrer que tout nombre rationnel peut être représenté par le quotient de nombres
entiers dont l’un au moins est impair.
√
4. En déduire que 2 n’est pas un nombre rationnel.
5. Montrer que pour tout entier naturel n, n(n + 1) est pair.
6. Pour quels entiers n le nombre n2 − 1 est-il divisible par 2 ?
7. Pour quels entiers n le nombre n2 − 1 est-il divisible par 4 ?
8. Pour quels entiers n le nombre n2 − 1 est-il divisible par 8 ?
9. Pour quels entiers n le nombre n2 − 1 est-il divisible par 16 ?
10. Montrer que si n est le carré d’un entier, le reste de la division de n par 4 est 0 ou 1.
3
Le texte est écrit en latin requisitiones arithmetica. voici la traduction fidèle de la définition qu’il
donne: ”Si un nombre a est la mesure de la différence des nombres b et c, alors b et c sont dits congrus
suivant a, sinon, incongru, a lui-même nous l’appelons module ; dans le premier cas, on appelle les nombres
b et c résidus de l’autre, non résidus dans le second cas ; ces notions concernent tous les nombres entiers
tant positifs que négatifs, mais bien évidemment, le module doit être pris absolument, c’est-à-dire sans
aucun signe. Ainsi -9 et +16 sont congrus suivant le module 5; -7 est résidu de 15 par rapport au module
11, et non résidu par rapport au module 5.”
3
Exercice 10 Montrer que pour tout k entier naturel strictement positif, pour tout n
entier relatif, le nombre n(n + 1) · · · (n + k − 1) est divisible par k.
Exercice 11 Peut-on trouver trois entiers consécutifs dont la somme est 207 ? 328? 318?
336 ? Donner, si possible, des arguments arithmétiques.
Exercice 12 Pour quels n ∈ N, 7 divise 32n − 2n .
Exercice 13 L’ éventail mystérieux de Lucas (Récréations mathématiques, tome 1)
On demande à une personne de penser un nombre entre 1 et 31. On présente à la personne
cinq panneaux correspondant aux cinq colonnes du tableau 1. On lui demande de désigner
les numéros des panneaux contenant le nombre pensé. On lui donne alors le nombre pensé.
Expliquer l’astuce et généraliser à n éventails.
Table 1: Tableau de l’éventail mystérieux
5
16
17
18
19
20
21
22
23
24
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27
28
29
30
31
4
8
9
10
11
12
13
14
15
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30
31
3
4
5
6
7
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14
15
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21
22
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29
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2
2
3
6
7
10
11
14
15
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22
23
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27
30
31
1
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
Table 2: multiplier 76 par 45
45
1
2
4
8
16
32
x
4
76
76
152
304
608
1216
2432
Exercice 14 de la multiplication égyptienne à l’exponentiation rapide.
1. Montrer que tout nombre entier positif possède une décomposition unique en somme
de puissance différentes de 2.
2. Multiplication égyptienne
Il s’agit de transformer une multiplication en additions à partir d’une table de calcul
comme la table 2.
Expliquer la construction de la table, puis comment le scribe obtient 3420 en ne
faisant que des additions de nombres présent dans le tableau.
3. Exponentiation rapide
Utiliser une méthode analogue pour calculer, pour tout entier naturel n, an à l’aide
d’un produit de carrés successifs de a. Exemplifier sur a11 , a12 et a32 .
Exercice 15 Déterminer le pgcd et le ppcm de 35 367 et 3 258.
35 367 000 000 et 3 258 000 000.
Puis le pgcd de
Exercice 16 Déterminer les couples de N dont le pgcd vaut 18 et la somme 360.
Exercice 17 Soit n un entier naturel, si n = ki=0 (10)i ai , avec 0 ≤ ai < 10, on note
sa représentation en base décimale ak · · · a1 a0 10 Prouver les critères de divisibilité suivant
dans le système décimal :
P
1. Un nombre est divisible par 2 ssi le dernier chiffre a0 représente un nombre divisible
par 2.
2. Un nombre est divisible par 3 ssi la somme de ses chiffres
3.
Pk
i=0 ai
est divisible par
3. Un nombre est divisible par 4 ssi a1 a0 représente un nombre divisible par 4.
4. Un nombre est divisible par 5 ssi le dernier chiffre a0 est un nombre divisible par 5.
5. Un nombre est divisible par 6 ssi la somme de ses chiffres
et a0 est pair.
Pk
i=0 ai
est divisible par 3
6. Supposons que k = 3q + r avec q, r ∈ N, r < 3 et posons am := 0 pour tout m > k.
n est divisible par 7 si et seulement si
q
X
(−1)i a3i+2 a3i+1 a3i
i=0
est divisible par 7. En déduire que 5527579818992 est divisible par 7. Peut-on
améloirer le critère ?
7. Un nombre est divisible par 8 ssi a2 a1 a0 représente un nombre divisible par 8.
5
8. Un nombre est divisible par 9 ssi la somme de ses chiffres
9.
Pk
i=0 ai
est divisible par
9. Un nombre est divisible par 10 ssi son dernier chiffre a0 est 0.
10. n est divisible par 11 si et seulement si
que 11 divise 19382.
Pk
i
i=0 (−1) ai
est divisible par 11. En déduire
11. Un nombre est divisible par 25 si et seulement si a1 a0 représente un nombre divisible
par 25.
12. Un nombre est divisible par 45 ssi la somme de son chiffre des unités et dix fois la
somme des autres chiffres est divisible par 45.
13. Un nombre est divisible par 10k - pour k ≥ 1 - ssi ses k derniers chiffres sont nuls.
Exercice 18 Donner les critères de divisibilité par n − 1 et n + 1 en base n. Par exemple,
critère de divisibilité par 4 et 6 en base 5.
6