On désigne par p un nombre entier premier supérieur ou égal à 7

SPECIALITE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
CORRECTION DU BAC BLANC (AVRIL 2008)
On désigne par pun nombre entier premier supérieur ou égal à 7.
Le but de l’exercice est de démontrer que l’entier naturel n=p4−1 est di-
visible par 240, puis d’appliquer ce résultat.
1. Montrer que pest congru à −1 ou à 1 modulo 3. En déduire que nest
divisible par 3.
p est un nombre premier supérieur ou égal à 7 donc il n’est pas divisible
par 3, donc p ≡1[3] ou p ≡2[3]. Dans les deux cas on a p4≡1[3] c’est à
dire p4−1≡0[3] donc n =p4−1est divisible par 3.
2. En remarquant que pest impair, prouver qu’il existe un entier naturel
ktel que p2−1=4k(k+1), puis que nest divisible par 16.
3. En considérant tous les restes possibles de la division euclidienne de
ppar 5, démontrer que 5 divise n.
Les restes possibles sont 1, 2, 3 et 4 (le reste ne peut être nul car p est un
nombre premier supérieur ou égal à 7).
Si p ≡1[5] alors p4≡1[5].
Si p ≡2[5] alors p4≡24[5] c’est à dire p4≡1[5].
Si p ≡3[5] c’est à dire p ≡ −2[5] on a alors p4≡24[5] donc p4≡1[5].
Si p ≡4[5] c’est à dire p ≡ −1[5] on a p4≡1[5].
Dans tous les cas, on a p4−1≡0[5] c’est à dire n est divisible par 5.
4. a. Soient a,bet ctrois entiers naturels.
Traduisons les hypothèses de l’énoncé :
a|c donc il existe un entier k1tel que c =ak1
b|c donc il existe un entier k2tel que c =bk2
On sait également que pg cd(a,b)=1donc d’après le théorème de
Bézout il existe deux entiers relatifs u et v tel que au +bv =1
On doit montrer que ab|c c’est à dire que ab ×K=c avec K ∈Z
En multipliant l’égalité : au +bv =1par c on a : acu +bcv =c.
On fait "apparaître" ab dans cette dernière égalité :
a bk2
|{z}
c
u+b ak1
|{z}
c
v=c.
On a alors ab ×K=c où K ∈ZZ c’est à dire ab|c.
b. Déduire de ce qui précède que 240 divise n.
On applique le a) :
3|n et 5|n de plus 3∧5=1donc (3×5)|n c’est à dire 15|n.
On réapplique le a) :
16|n et 15|n de plus 15∧16 =1donc (16 ×15)|n c’est à dire 240|n.
5. Existe-t-il quinze nombres premiers p1,p2,..., p15 supérieurs ou
égaux à 7 tels que l’entier A=p4
1+p4 2+...+p4 15 soit un nombre premier ?
Supposons qu’il existe quinze nombres premiers p1,p2,..., p15 supé-
rieurs ou égaux à 7 tels que l’entier A =p4
1+p4 2+...+p4 15 soit un nombre
premier.
A−15 =p4
1−1+p4 2−1+...+p4 15 −1or d’après le 4b) on a p4−1est di-
visible par 15 donc A −15 est divisible par 15 c’est à dire A −15 ≡0[15]
donc A ≡0[15] ainsi A est divisible par 15 donc il n’est pas premier.
CONTRADICTION.
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