Chapitre 3 : Nombres en écriture fractionnaire.

Chapitre 3 : Nombres en écriture fractionnaire.
I- Egalité de deux fractions.
1) Simplification d’une fraction.
Simplifier une fraction va consister à l'écrire avec un numérateur et un dénominateur les plus petits possible.
Pour simplifier une fraction, on utilise la méthode suivante :
On ne change pas la valeur d'une fraction si on divise (ou multiplie) le numérateur et le dénominateur par un
même nombre non nul (≠ 0).
Exemple : 
Applications : Simplifier les fractions suivantes :
6
8 = 
 3
9 = 
 12
4 = 
 3 – 14
21 = 
=   = 
Lorsqu’on ne peut plus simplifier une fraction, on dit qu’elle est irréductible.
2) Réduction de fractions au même dénominateur.
On détermine un multiple commun (le plus petit possible) aux dénominateurs des fractions puis on procède comme
dans l’exemple ci-dessous.
Exemples :
a) Réduire au même dénominateur les fractions 3
15 et 7 6 .
15×1 = 15 6×1 = 6
15×2 = 30 6×2 = 12
15×3 = 45 6×3 = 18
6×4 = 24
6×5 = 30
Donc 
 et 
b) Réduire au même dénominateur 
 et   .
7×1 = 7 5×1 = 5
7×2 = 14 5×2 = 10
7×3 = 21 5×3 = 15
7×4 = 28 5×4 = 20
7×5 = 35 5×5 = 25
7×6 = 42 5×6 = 30
7×7 = 49 5×7 = 35
Donc 
 et 
Remarque : Cela permet de comparer deux fractions.

Applications :
Comparer les nombres suivants (justifier) :
a) 
 et   : réponse : 
 et   donc   < 
b) 
 et   : réponse : 
 et   donc   < 
c) 
 et   : réponse : 
 et   donc   < 
 et   : réponse : 
 et   donc   > 
II- Addition et soustraction de fractions.
Méthode :
On réduit les fractions au même dénominateur puis on ajoute ou on soustrait les numérateurs obtenus et
enfin, on simplifie la fraction si c’est possible.
Exemple : 1
4 + 1 3 = 
Applications : Calculer les expressions suivantes :
 +   =   = 
 =   =   = 
 = 
Si on ne trouve pas le dénominateur commun le plus petit possible, on peut utiliser la méthode suivante :
H = 
 = 
I = 
 = 
III- Multiplication de deux ou plusieurs fractions.
Rappel :
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Exemples :
Applications :
Calculer les expressions :
A = 3
7  14 9 = 
 B = 15
28  14 25 = 
C = 
 = 
D = – 2×
= -2×

Remarque :
Pour calculer a
b d’une quantité, on multiplie cette quantité par a b .
Application :
Une pièce de tissu mesure 180 m.
a) On vend le 1
3 de la pièce. Combien de mètres reste-t-il ?
180
 =   = 60 180 – 60 = 120 Il reste 120 mètres.
b) On vend le 1
4 du reste. Combien mesure la pièce restante ?
120
 = 30 120 – 30 = 90 La pièce restante mesure 90 mètres.
IV- Divisions.
1) Inverse d’un nombre relatif.
Définition : Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit est égal à 1.
Propriétés :
• Tout nombre x non nul admet un inverse qui est le nombre 
.
• Tout nombre en écriture fractionnaire 
 (a ≠ 0 et b ≠ 0) admet un inverse qui est le nombre  .
Exemples :
Nombre a
5
-9
Inverse de a
8
2) Quotient de deux nombres en écritures fractionnaires.
Pour diviser une fraction par une autre, il faut multiplier la première par l'inverse de la deuxième fraction.
a, b, c et d sont des nombres relatifs avec b 0, c 0 et d 0.
On a donc :
 = 
 = 
Applications : Calculer les expressions suivantes :
A = 
 =
 B = 
 = 
C = 
D = 
 = 

V- Problèmes et fractions.
Enoncé n°1 :
Chaque lundi, Paul reçoit de l’argent de poche. Mardi, il dépense le quart de son argent de poche.
Mercredi, il dépense les deux tiers de son argent de poche.
1) Quelle fraction de son argent de poche a-t-il dépensé ?
 Paul a dépensé les   de son argent de poche.
2) Quelle fraction de son argent de poche lui reste-il après les deux dépenses ?
1 – 
 Après les deux dépenses, il lui reste   de son argent de poche.
3) Le montant de son argent de poche est 60 euros. Combien lui reste-il après les deux dépenses ?
60
  5 Après les deux dépenses, il lui reste  euros.
Enoncé n°2 :
Chaque lundi, Paul reçoit de l’argent de poche. Mardi, il dépense le quart de son argent de poche.
Mercredi, il dépense les deux tiers du reste de son argent de poche.
1) Quelle fraction de son argent de poche a-t-il dépensé ?
Mardi : 
 de son argent de poche Mercredi : Il reste 1 - 
 =   donc   de son argent de poche.
 Il a dépensé les   de son argent de poche.
2) Quelle fraction de son argent de poche lui reste-il après les deux dépenses ?
1 - 
 Après les deux dépenses, il lui reste   de son argent de poche.
3) Sachant qu’il lui reste quinze euros, combien avait-il au départ ?
15 :
 = 15×  = 60 Au départ, il avait 60 euros.
Enoncé n°3 :
Si je vends les
2
3
de mon premier terrain, je vends 1200 m². Calculer l'aire de mon premier terrain.
 de mon terrain représente 1200 m2. Donc   de mon terrain représente 600 m2.Donc mon l’aire de mon terrain est
3×600 = 1800 m2
Autre méthode : 1200 : 
 = 1200 ×  =   = 1800 L'aire de mon premier terrain est 1800 m2.
Enoncé n°4 :
Si je vends les
2
3
de mon second terrain, il me reste 1200 m². Calculer l'aire de mon second terrain.
Si je vends les 
 de mon second terrain, il me reste   du terrain.
Le 
 de mon terrain représente 1200 m2, donc l’aire de mon terrain est 3×1200 = 3600 m2.
600 m2
600 m2
1200 m2