Sommaire de la séquence 9

Sommaire de la séquence 9
Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Je.découvre.l’utilité.des.systèmes.d’équations.
Séance 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Je.résous.des.problèmes.à.l’aide.de.systèmes.d’équations. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Je.résous.des.problèmes.variés. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Je.résous.des.problèmes.à.l’aide.d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 5 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
J’étudie.les.équations. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 6 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Je.résous.des.problèmes.à.l’aide.d’inéquations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
J’étudie.les.inéquations. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 8
J’effectue.des.exercices.de.synthèse. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séance 9 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
J’effectue.des.exercices.de.synthèse.-.suite.-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Objectifs
Ë Savoir.résoudre.des.équations.et.des.inéquations
Ë Connaître.les.différentes.méthodes.de.résolution.de.systèmes.de.deux.équations.à.deux.inconnues
Ë Savoir.résoudre.des.problèmes.liés.aux.résolutions.d’équations,.d’inéquations.ou.de.systèmes.de.
. deux.équations.à.deux.inconnues
Ë Maîtriser.les.règles.du.calcul.littéral
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Cned, Mathématiques 3e –
189
Séquence 9
Séance 1
Je découvre l’utilité des systèmes d’équations
Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la séquence n°9.
Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret en cochant la ou les bonnes réponses.
JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4e
1- L’équation : 3x + 5 = 12
a pour solution :
17
3
7
3
 4  2,33
2- Soit : A = (3x – 2)(5x + 4) – (7 – 2x)
Pour x = – 2 l’expression A est égale à :
 37  45
 – 59  – 24
3- Quentin achète 5 avocats et 3 kiwis.
Un kiwi coûte 0,50 €. Il paie avec un billet de
20 € et la caissière lui rend 15,50 €. Sachant que
les avocats sont vendus à la pièce, le prix d’un
avocat est de :
 0,80 €
 0,70 €
 0,60 €
 0,50 €
4- L’aire en cm2
du triangle ABC
est :
 4x
 24x
 8x
 On ne peut pas le savoir
Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et de ton cahier d’exercices puis écris :
« SÉQUENCE 9 : CALCUL LITTÉRAL -SUITE- ».
Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. Une fois l’exercice terminé, n’oublie pas de
te reporter à son corrigé et de lire attentivement les deux parties : « Ce que tu devais faire » et « les
commentaires du professeur ».
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– Cned, Mathématiques 3e
190
Séquence 9
EXERCICE 1
Clément et Nadia achètent tous les deux des cahiers et des stylos
identiques.
Clément achète trois cahiers et deux stylos pour 10,50 €.
Nadia achète cinq cahiers et un stylo pour 14 €.
Problème : quels sont les prix respectifs d’un cahier et d’un stylo ?
1- Essaie pendant 10 minutes de résoudre ce problème.
N’oublie pas que tu peux faire des tests, à l’aide d’une calculatrice, d’un tableur, …
2-
a) Calcule le prix payé par Clément et Nadia si :
● un cahier coûte 1 € et un stylo 0,50 €,
● un cahier coûte 1,5 € et un stylo 1 €,
● un cahier coûte 3 € et un stylo 1,50 €.
Ces calculs te permettent-ils de résoudre le problème ?
b) Effectue d’autres calculs et essaie de résoudre le problème.
c) Ouvre un tableur et programme une feuille de calcul qui va calculer, pour le prix d’un stylo et d’un
cahier, la somme payée par Clément puis par Nadia.
Essaie ensuite de résoudre le problème.
Aide : si tu n’arrives pas à programmer la
feuille de calcul, ouvre le fichier
sequence9exercice1 puis fais des tests.
3-
a) En nommant x le prix d’un cahier en € et y le prix d’un stylo en €, écris :
● une équation qui traduit : « le prix payé par Clément est 10,50 € » (on l’appelle équation 1),
● une équation qui traduit : « le prix payé par Nadia est 14 € » (on l’appelle équation 2).
b) Le but maintenant est d’essayer de se ramener à une équation qui n’a qu’une inconnue afin de la
résoudre.
● Multiplie les deux membres de l’équation 2 par –2.
Quelle nouvelle équation obtiens-tu ? On l’appelle équation 3.
● Additionne membre à membre l’équation 1 et l’équation 3.
On obtient alors une nouvelle équation qui n’a plus qu’une inconnue.
Résous cette équation et détermine ainsi x.
● Remplace x par sa valeur dans une des deux équations, puis résous-la : tu obtiens alors y.
c) Vérifie que les valeurs de x et de y que tu as trouvées conviennent.
Quel est alors le prix en € d’un cahier et celui d’un stylo ?
Lis attentivement le paragraphe suivant puis recopie-le dans ton cahier de cours.
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Cned, Mathématiques 3e –
191
Séquence 9
JE RETIENS
SYSTÊMES D’ÉQUATIONS
Définitions :
● Chercher à déterminer tous les nombres x et y tels que les égalités 3x + 2y = 10,5 et 5x + y = 14
sont vraies en même temps, c’est résoudre le système d’équations
3 2 10,5
5 14
+ =
+ =
x y
x y .
● Une solution de ce système d’équations est appelée : « couple-solution ».
On a vu dans l’exercice précédent que (2,5 ; 1,5) est l’unique couple solution de ce système.
Lis attentivement le paragraphe suivant.
JE COMPRENDS LA MÉTHODE
Je résous par la méthode par combinaison le système d’équations
2 3 2
3 10
x y
x y
+ =
+ =+ =
+ =
+ =
+ =+ =
+ =
Je cherche par exemple à « éliminer » l’inconnue y. Je multiplie les deux
membres de la 2ème équation par –3 car ainsi, j’aurais 3y dans une
équation et –3y dans l’autre.
2 3 2
9 3 30
+ =
− − = −
x y
x y J’effectue chacun des deux membres de la 2ème équation.
3 ( 3
2 9 2 ( 3
)
0)
− + + = + −
−
y yx x J’ajoute membre à membre les deux équations. Les termes en y s’éliminent.
7 28
− = −
x Je résous l’équation d’inconnue x.
4
=
x Je détermine ainsi x.
2 4 3 2
× + =
y Je remplace x par sa valeur dans une des deux équations (ici la 1ère)
8 3 2
+ =
y Je résous l’équation d’inconnue y.
3 6
= −
y
6
2
3
−
= = −
y Je détermine ainsi y.
Je vérifie : Si x = 4 et y = 2
2x + 3y = 2 × 4 + 3 × (–2) = 8 – 6 = 2 Je vérifie que le couple (x ; y) que je viens de déterminer est solution de
3x + y = 3 × 4 + (–2) = 12 – 2 = 10 chacune des équations du système.
(4 ; –2) est le couple solution du Je conclus.
système.
Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 2
Résous le système suivant :
4 1
2 3 11
x y
x y
− =
+ =
Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n° 7. Effectue ensuite la
série 2 de cette fiche.
( ) ( ) ( )
2 3 2
3 3 3 10
+ =
− × + = − ×
x y
x y
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192
Séquence 9
Séance 2
Je résous des systèmes d’équations
Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 3
Pierre et Quentin ont 25 ans d’écart. Quand ils additionnent leurs âges, ils trouvent 49 ans.
Sachant que Pierre est le plus âgé des deux, quels sont les âges de Pierre et de Quentin ?
Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.
EXERCICE 4
Pauline se pose le problème suivant :
Problème : existe-t-il deux nombres entiers dont la somme est égale à 384 et tels que
le plus grand est le triple du plus petit ? Si oui, quels sont-ils ?
1- Résous le problème de Pauline.
2- Si tu as résolu le problème à l’aide d’une méthode par combinaison lors de la question précédente,
essaie de résoudre à nouveau le système, mais cette fois-ci en procédant comme suit :
● on appelle x le plus petit des deux nombres entiers et y le plus grand,
● on appelle équation 1 : x + y = 384 et équation 2 : y = 3x
Remplace y par 3x dans l’équation 1. Déduis-en x puis y.
Vérifie la solution.
3- Pauline a cherché à résoudre ce problème avec un tableur, mais
elle n’a pas réussi à trouver de solution. Elle a réussi à écrire deux
équations qui traduisent bien le problème :
● x + y = 384 ● y = 3x
mais elle a oublié la méthode par combinaison.
Elle a alors essayé d’utiliser Geogebra. Elle a entré :
« x + y = 384 » dans la barre de saisie, puis « y = 3x ».
Elle affirme que les coordonnées du point d’intersection des deux
droites sont le couple solution du système d’équations.
a) Qu’en penses-tu ? Ne justifie pas ta réponse.
Tu peux pour répondre ouvrir le fichier sequence9exercice4 à l’aide de Geogebra.
b) A l’aide de l’égalité : x + y = 384, donne une expression de y en fonction de x.
c) On définit les deux fonctions f et g de la façon suivante :
● f telle que : f(x) = –x + 384 et : ● g telle que : g(x) = 3x
Que peux-tu dire de ces deux fonctions ? de leurs représentations graphiques ?
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