Cours

DERIVATION
1. Notion de limite, lien avec la dérivation
Certaines fonctions ont un domaine de définition restreint sur une partie de ℝ. Il s’agit de fonctions
pour lesquelles un calcul en particulier est impossible.
On citera notamment les fonctions de type fraction (on ne peut pas diviser par 0).
Il est parfois utile de savoir comment se comporte une fonction « autour » d’une valeur interdite.
1
Exemple 1 : Soit 𝑓 la fonction inverse, définie sur ℝ∗ = ℝ \ {0} par 𝑓(𝑥) = 𝑥
Approchons la valeur interdite 0 par le « côté gauche » et le « côté droit »
𝑥
1
/𝑥
-0,07
-0,06 -0,05 -0,04
-14,28 -16,67
-20
-0,03 -0,02 -0,01 0
-25 -33,33
-50
-100 /
La fonction semble « plonger » vers -∞
On dit que la limite de f lorsque 𝑥 tend vers 0 est
égale à -∞ et on note :
lim− 𝑓(𝑥) = −∞
𝑥→0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
100
50
33,33
25
20
16,67
14,28
La fonction semble « plonger » vers +∞
On dit que la limite de f lorsque 𝑥 tend vers
0 est égale à +∞ et on note :
lim+ 𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→0
Exemple 2 : Soit la fonction f définie sur ]−∞ ; 0[ U ]0 ; +∞ [ par 𝑓(𝑥) =
x
f (x)
(𝑥+1)2 −1
𝑥
-0,5 -0,1 -0,01 -0,001 0 0,001 0,01 0,1 0,5
1,5 1,9 1,99 1,999 / 2,001 2,01 2,1 2,5
La fonction f se rapproche de 2 lorsque x tend vers 0, des deux côtés.
On dit que la limite de f lorsque 𝑥 tend vers 0 est égale à 2 et on note : lim 𝑓(𝑥) = 2
𝑥→0
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2. Dérivabilité et tangente
 Si 𝑓 est une fonction définie sur un intervalle contenant 𝑎 et 𝑏, on appelle taux
Δ𝑦
d’accroissement le quotient Δx =
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
.
𝑏−𝑎
Remarque : Il s’agit précisément de la méthode permettant de calculer le coefficient directeur
d’une droite.
 Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle contenant 𝑎 et ℎ un réel proche de zéro.
On peut calculer la limite du taux d’accroissement entre 𝑎 et 𝑎 + ℎ, lorsque ℎ tend vers 0.
On appelle ce résultat le nombre dérivé de 𝑓 au point 𝑎 et on écrit :
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ→0
ℎ
𝑓 ′ (𝑎) = lim
Si ce nombre existe (ce ne peut pas être ±∞, et on ne doit pas trouver un résultat différent
selon qu’on s’approche de 𝑎 par la droite ou par la gauche), alors la fonction est dite
dérivable en 𝑎.
Cela signifie qu’il est possible, au point 𝑎, d’approcher la courbe représentative de la
fonction par une tangente d’équation 𝒚 = (𝒙 − 𝒂) × 𝒇′ (𝒂) + 𝒇(𝒂) : c’est la
droite passant par le point (𝑎 ; 𝑓(𝑎)) et de coefficient directeur 𝑓’(𝑎).
Source : Y. Monka
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Nous avons vu comment calculer, s’il existe, le nombre dérivé d’une fonction 𝑓 en un point précis.
Il est possible d’étendre ce calcul à tous les points d’un intervalle (par exemple le domaine de
définition de la fonction). On étudie alors la dérivabilité de la fonction sur un intervalle et on note
𝒇’ la fonction dérivée si elle existe.
𝑑𝑦
Remarque : On trouve parfois (en physique notamment) la notation 𝑑𝑥 au lieu de 𝑓′(𝑥).
 Exemple 1 : calcul de la dérivée de la fonction carré :
Soit 𝑓(𝑥) = 𝑥² définie sur ℝ
On calcule le nombre dérivé en un point quelconque 𝑀(𝑎, 𝑓(𝑎)) = 𝑀(𝑎, 𝑎²) :
Soit ℎ un réel non nul « proche de zéro ».
(𝑎 + ℎ)2 − 𝑎²
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
𝑎2 + 2𝑎ℎ + ℎ2 − 𝑎²
= lim
= lim
= lim (2𝑎 + ℎ) = 2𝑎
ℎ→0
ℎ→0
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
ℎ
lim
Puisque tout nombre 𝑎 se voit associé un nombre dérivé 2𝑎, on peut écrire 𝑓′(𝑥) = 2𝑥
 Exemple 2 : calcul de la dérivée de la fonction inverse :
1
Soit 𝑓(𝑥) = 𝑥 définie sur ℝ∗ = ℝ \ {0}
1
On calcule le nombre dérivé en un point quelconque non nul 𝑀(𝑎, 𝑓(𝑎)) = 𝑀(𝑎, 𝑎) :
Soit ℎ un réel non nul proche de zéro et différent de 𝑎.
𝑎−𝑎−ℎ
1
1
−𝑎
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
−1
−1
𝑎(𝑎 + ℎ)
lim
= lim 𝑎 + ℎ
= lim
= lim
= lim
ℎ→0
ℎ→0
ℎ→0
ℎ→0 𝑎(𝑎 + ℎ)
ℎ→0 𝑎²
ℎ
ℎ
ℎ
1
Finalement 𝑓 ′ (𝑥) = − 𝑥² pour 𝑥 ∈ ℝ \ {0}.
 Exemple 3 : calcul de la dérivée de la fonction racine :
Soit 𝑓(𝑥) = √𝑥 définie sur ℝ+ = [0; +∞[
On calcule le nombre dérivé en un point quelconque positif 𝑀(𝑎, 𝑓(𝑎)) = 𝑀(𝑎, √𝑎) :
Soit ℎ un réel non nul proche de zéro et différent de 𝑎.
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
(√𝑎 + ℎ − √𝑎)(√𝑎 + ℎ + √𝑎)
√𝑎 + ℎ − √𝑎
= lim
= lim
ℎ→0
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
ℎ(√𝑎 + ℎ + √𝑎)
ℎ
1
1
= lim
= lim
=
ℎ→0 ℎ(√𝑎 + ℎ + √𝑎)
ℎ→0 √𝑎 + ℎ + √𝑎
2√𝑎
lim
Finalement 𝑓 ′ (𝑥) = 2
1
√𝑥
pour 𝑥 ∈ ]0; +∞[
On notera qu’ici le domaine de définition de la dérivée n’est
pas le même que celui de la fonction d’origine.
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3. Fonctions dérivées courantes
Fonction f
f (x)  a , a  ℝ
f (x)  ax , a  ℝ
Ensemble de
définition
de f
ℝ
ℝ
f (x)  x n , n  1 entier
ℝ
Ex : f (x)  x 2
f '(x)  0
f '(x)  a
ℝ
ℝ
f '(x)  nx n1
f '(x)  2x
f '(x)  
1
𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 avec 𝑛 ≥ 1 entier
ℝ \ {0}
1
Ex : 𝑓(𝑥) = 𝑥
𝑓(𝑥) = √𝑥
Dérivée f '
Ensemble de
définition de f '
 0; 
ℝ
n
x n1
1
f '(x)   2
x
1
f '(x) 
2 x
ℝ \ {0}
 0; 
 Opérations sur les fonctions dérivées
Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors
Dérivabilité
Dérivée
La fonction (𝑢 + 𝑣) est dérivable sur I
La fonction 𝑘𝑢 est dérivable sur I (k est une constante)
La fonction 𝑢𝑣 est dérivable sur I
(𝑢 + 𝑣)′ = 𝑢′ + 𝑣′
(𝑘𝑢)′ = 𝑘𝑢′
(𝑢𝑣)′ = 𝑢′ 𝑣 + 𝑣′𝑢
𝑢
𝑢′ 𝑣 − 𝑣′𝑢
( )′ =
𝑣
𝑣²
1 ′ −𝑢′
( ) =
𝑢
𝑢²
𝑢′
′
(√𝑢) =
2√𝑢
𝑛𝑢’𝑢𝑛−1
La fonction
Ex. :
1
𝑢
𝑣
est dérivable sur I (v ne s'annule pas sur I)
𝑢
La fonction √𝑢 est dérivable sur I (u est positive sur I)
La fonction 𝑢𝑛 est dérivable sur I
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3. Application à l’étude des variations d’une fonction
Le signe de la fonction dérivée donne le sens de variation de la fonction d’origine :



Lorsque la dérivée est positive, la fonction est croissante
Lorsque la dérivée est négative, la fonction est décroissante
Lorsque la dérivée s’annule avec changement de signe, la fonction présente un extremum
(minimum ou maximum)
Exemple 1
Soit la fonction 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 𝑥 − 1 définie sur ℝ

Méthode 1 : On calcule 𝛼 =
𝑥
−1
−∞
4
−𝑏
2𝑎
=
−1
4
et 𝛽 = 𝑓(𝛼) =
−9
8
et dresse le tableau de variation
+∞
𝑓(𝑥)
−9
8

Méthode 2 : Par application de la formule de cours, on calcule : 𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑥 + 1 et dresse
le tableau des signes de 𝑓 ′ qui donne les variations de 𝑓
𝑥
𝑓′(𝑥)
−1
−∞
+∞
4
-
0
+
Constater la correspondance
entre les tableaux
𝑓(𝑥)
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Exemple 2
Soit la fonction 𝑓(𝑥) =
On peut écrire 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −4𝑥+1
𝑥
𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥)
définie sur ℝ∗
où 𝑢(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 1 et 𝑣(𝑥) = 𝑥
Avec 𝑢′ (𝑥) = 2𝑥 − 4 et 𝑣′(𝑥) = 1
 u  u ' v  uv '
Par application de la formule de cours   
, on obtient :
v2
v
(2𝑥 − 4)𝑥 − 1(𝑥 2 − 4𝑥 + 1) 𝑥 2 − 1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
𝑓 ′ (𝑥) =
=
=
𝑥2
𝑥²
𝑥²
'
On dresse ensuite le tableau des signes de la dérivée, qui donne les variations de la fonction
d’origine.
𝑥
(𝑥 − 1)
(𝑥 + 1)
𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥)
−∞
+
−1
0 +
0 -
0
1
+
-
0
0
+∞
+
+
+
-6
-2
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