Polygones réguliers - Collège Fontreyne à Gap

POLYGONES RÉGULIERS
Exercice 1 :
ABCDEFGH est un octogone régulier de centre O tel que OA = 4 cm.
a) Calculer la longueur AB en cm puis son arrondi au mm.
b) En déduire une valeur approchée du périmètre de cet octogone.
Exercice 2 :
Dans chaque cas, dire si le polygone est régulier et
expliquer.
Exercice 3 :
Dans chaque cas, un polygone régulier est
inscrit dans un cercle de centre O. Donner les
mesures des angles colorés.
Exercice 4 :
ABCDEF est un hexagone régulier inscrit dans un cercle de centre O. Donner, en
justifiant, la mesure des angles FOA, FCA, FAC, CFA, et FED.
Exercice 5 :
PQR est un triangle équilatéral. ABCDEF est l'hexagone obtenu comme indiqué
ci-contre. Oscar affirme : « ABCDEF est un hexagone régulier. » Qu'en
pensez-vous ?
Exercice 6 :
Ce pavage est composé de 13 polygones réguliers. Le dodécagone central est
inscrit dans un cercle de rayon 8 cm.
a) Les membres de chaque groupe se répartissent la construction des 13 pièces
du pavage.
b) Après découpage, coloriage et assemblage, réaliser un assemblage des
pavages de tous les groupes de la classe.
Exercice 7 :
Un composteur de jardin, de hauteur 70 cm, a pour base un octogone régulier de 35
cm de côté. Le fournisseur annonce une capacité de 400 litres. Qu'en pensez-vous ?
Exercise 8 : Maths in English
The Tower of the Winds is a regular octagonal marble clock tower on the Roman agora in
Athens. This 12-meter tall structure has a diameter of about 8 meters. What is its perimeter ?
Exercice 9 :
Chaque figure est un polygone régulier de centre O.
Déterminer la mesure de chaque angle repéré.
Exercice 10 :
a) Tracer un triangle équilatéral de côté 4 cm puis le cercle dans lequel il est inscrit.
b) Tracer le segment [ST] de longueur 4 cm puis un triangle équilatéral de centre S et dont un
des sommets est le point T.
c) Construire un carré de côté 4 cm.
d) Tracer le segment [KP] de longueur 3 cm puis un carré de centre K et dont un des sommets
est le point P.
e) Tracer un cercle de centre O et de rayon 4 cm, placer un point A sur ce cercle puis tracer
l'octogone régulier de centre O est dont un des sommets est le point A.
f) Tracer un cercle de centre I et construire un décagone régulier inscrit dans ce cercle.
g) Sans utiliser un rapporteur, construire un hexagone régulier de côté 3,5 cm.
Exercice 11 :
ABCDEFGHI est un nonagone régulier de centre O. Déterminer la mesure de
chaque angle coloré.
Problème 12 :
Le dôme du Rocher situé à Jérusalem fut construit en 691. C'est un édifice de forme octogonale
qui contient en son centre un rocher. Cet octogone (le plus grand sur la
figure ci-contre) est inscrit dans un cercle de rayon 26 m.
a) Construire le grand octogone à l'échelle 1/500.
b) Calculer une valeur approchée au mètre près du côté du dôme du
Rocher.
c) Un octogone plus petit est contenu dans le grand. La longueur de son
côté est 15 m. Les deux octogones ont le même centre. Calculer la
longueur du cercle circonscrit de ce petit octogone, arrondie au mètre
puis compléter le plan du dôme du Rocher.
Exercice 13 :
Associer chaque nom de polygones à son nombre de côtés.
Exercice 14 :
On considère le polygone régulier ABCDEFGHIJ de centre O.
a) Combien a-t-il de côtés ?
b) Combien mesure l'angle au centre EOD ?
c) Reproduire ce polygone en prenant OD = 5 cm.
d) Combien mesurent les angles DOF, DOA et OED ?
Exercice 15 : d'après DNB
La figure ci-contre est constituée de 5 triangles isocèles avec OA = OB
= OC = OD = OE et AB = BC = CD = DE = EA. Cette figure est un
pentagone régulier. On veut calculer le périmètre de ce polygone. On
donne OA = 6 cm.
a) Justifier que AOB = 72°.
b) Reproduire en vraie grandeur la figure.
c) Tracer la bissectrice de AOB. Elle coupe le segment [AB] en H.
Déterminer la mesure de l'angle AHO et la mesure de AOH.
d) Calculer l'arrondi au dixième de la longueur AH.
e) En déduire une valeur approchée du côté du pentagone ABCDE puis celle du périmètre.
Exercice 16 :
Recopier et compléter le tableau suivant :
Nombres de côtés d'un polygone régulier
Mesure en degrés de l'angle au centre défini par deux sommets consécutifs
3
4
6
9
12
Exercice 17 :
A l'aide de Géogébra, réaliser ces deux figures constituées
exclusivement de polygones réguliers.
Exercice 18 : d'après DNB
Les figures ne sont pas dessinées en vraie grandeur. Pour
chacune d'elles, déterminer la mesure de l'angle ABC.
Problème 19 : Tâche complexe
Les élèves d'une classe de 3ème doivent réaliser le logo d' un club du collège sur une affiche.
Construisez ce logo.
Doc. 1 : Croquis
Doc. 2 : Notes
Problème 20 : Maths et Architecture
Dans la ville de Nîmes, se trouve une rosace qui était
un élément du temple de Diane. Cette rosace est
formée de plusieurs polygones réguliers.
a) Quels sont-ils ?
b) Reproduire l'élément de la rosace ci-contre à l'aide
de Géogébra.
Exercice 21 : Histoire et TICE
Archimède de Syracuse détermina une valeur approchée de la longueur d'un cercle. Pour cela, il
s'approcha du cercle avec des polygones réguliers en augmentant le nombre de côtés. Il
considéra des polygones réguliers inscrits dans un même cercle et ayant un nombre de côtés de
plus en plus grand.
Partie A : Principe de la méthode d'Archimède
(C) est un cercle de centre O et de rayon r. (P) est un polygone
régulier à n côtés inscrits dans le cercle (C), avec n ≥ 4. Les
médiatrices de chaque côté du polygone (P) coupent le cercle (C)
en n nouveaux points. En reliant les n sommets du polygone (P)
avec ces n nouveaux points, on obtient un nouveau polygone (R) inscrit dans le cercle (C). On
admet que ce polygone (R) est un polygone régulier. Si on réitère ce procédé, on obtient à
chaque étape un nouveau polygone régulier. Les périmètres de ces polygones s'approchent de la
longueur du cercle (C).
a) Exprimer en fonction de n le nombre de côtés du polygones (R).
b) On note c la longueur du côté du polygone (P). Archimède démontra que la longueur c' du côté
du polygone (R) se calcule à l'aide de la formule c' =
Justifier que, pour r = 0,5, on a : c' =
√ √
0,5− 0,25−
√
l²
4
√
l²
2 r ( r − r ²− )
4
.
Partie B : Utilisation du tableur
c) Pour démarrer le procédé, on a construit un carré ABCD dans le cercle (C)
de rayon 0,5. Justifier que AB = 0,5 √ 2
d) Recopier la première ligne du tableau ci-dessous. Pour la deuxième ligne, il
faut écrire le nombre de côtés du polygone de départ dans la cellule A2, une
formule permettant de calculer le côté du polygone de départ dans B2 (pour effectuer le calcul
√ 10 à l'aide d'un tableur, il faut taper « =RACINE(10) ») et « =A2*B2 » dans la cellule C2.
e) Qu'écrit-on dans la cellule A3 ?
f) Qu'écrit-on dans la cellule B3 ?
g) Étirer la formule de la colonne C puis étirer les 3 colonnes.
h) De quel nombre connu semblent se rapprocher les valeurs de la colonne C ? Que calcule-t-on
ainsi ? Écrire le titre de la colonne C.