rappel : aire du rectangle = longueur x largeur.

Problèmes
Exercice 1 :
On juxtapose deux carrés de côtés a et b
a
b
a
b
Calculer a et b de façon que le domaine ainsi formé ait pour aire 218 et pour périmètre 66.
Exercice 2 :
La somme des deux chiffres d'un nombre est 13. Si, à leur produit on ajoute 34, on trouve pour total le nombre renversé. Quel est ce nombre ?
Exercice 3 :
L'aire d'un rectangle s'accroît de 5 661 m 2 quand on double simultanément ses deux dimensions ; elle s'accroît de 2 664 m 2 quand on diminue
la longueur de 10 m et qu'on triple la largeur.
Déterminer les dimensions du rectangle et son aire.
Exercice 4 :
Deux villes sont distantes de 450 km.
Une automobile met 4 heures de moins qu'un camion pour aller de l'une à l'autre. Sachant que la vitesse horaire de l'automobile est supérieure de
30 Km/h à celle du camion, trouver les vitesses de chacun des véhicules.
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E904: Problèmes
p1/17
Aide
Exercice 1 :
Rappels :
L'aire est la surface du carré
Surface du carré = côté x côté
Le périmètre est la longueur du pourtour.
- Ecrire l'aire du grand carré, en fonction de a,
Ecrire l'aire du petit carré, en fonction de b.
- Ecrire que leur somme vaut 218 (1)
- Ecrire le périmètre du domaine, en observant attentivement la figure donnée.
Ecrire que ce périmètre vaut 66 (2)
- On obtient un système de 2 équations à deux inconnues (1) et (2)
- Résoudre ce système par la méthode de substitution
- Vérifier les résultats obtenus
- Répondre avec précision à la question posée.
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E904: Problèmes
p2/17
Exercice 2 :
Remarque
Un nombre de 2 chiffres est composé de dizaines et d'unités.
Exemples :
54 = 50 + 4 = (5 X 10) + 4
23 = 20 + 3 = (2 x 10) + 3
- Choisir les inconnues : les deux chiffres
- Ecrire que leur somme vaut 13
- Ecrire leur produit, puis leur produit augmenté de 34 (1)
- Ecrire le nombre renversé, en le détaillant en dizaines et unités, selon la remarque faite au début (2)
- Ecrire l'égalité entre (1) et (2).
- On obtient un système de deux équations à deux inconnues qu'il est possible de résoudre par la méthode de substitution.
On est alors ramené à une équation du second degré.
La résoudre ; vérifier si les solutions conviennent.
- Vérifier les résultats obtenus
- Répondre avec précision à la question posée.
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E904: Problèmes
p3/17
Exercice 3 :
Rappel : Aire du rectangle = longueur x largeur
- Noter L la longueur du rectangle et l sa largeur
- Ecrire son aire en fonction de L et de l
- Ecrire cette aire augmentée de 5 661 (1)
- On double simultanément les deux dimensions
Ecrire la nouvelle longueur en fonction de L
Ecrire la nouvelle largeur en fonction de l
Ecrire la nouvelle aire en fonction de L et de l
- Ecrire que cette nouvelle aire est égale à l'aire de départ augmentée de 5 661 (1)
- Résoudre l'équation obtenue pour trouver l'aire
- Ecrire l'aire du rectangle augmentée de 2 664 (2)
- Ecrire la nouvelle longueur en fonction de L
Ecrire la nouvelle largeur en fonction de l
Ecrire la nouvelle aire en fonction de L et l
- Ecrire que cette nouvelle aire est égale à l'aire de départ augmentée de 2 664 (2)
- Résoudre l'équation obtenue
- En déduire la largeur du rectangle
- Vérifier les résultats.
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E904: Problèmes
p4/17
Exercice 4 :
- Poser les inconnues, par exemple v pour la vitesse du camion et t le temps mis par le camion.
- Ecrire alors le temps mis par l'auto en fonction de t, et la vitesse de l'auto en fonction de v.
Rappel : Distance parcourue = vitesse x temps.
- Ecrire la distance parcourue (450 km) par le camion, puis par l'automobile.
- On est ramené à un système de deux équations à deux inconnues.
Exprimer, par exemple, t en fonction de v.
Reporter dans la seconde équation.
- On se ramène ainsi à une équation du second degré.
La résoudre.
Voir si les solutions trouvées sont acceptables.
- Répondre avec précision aux questions.
- Vérifier les résultats.
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E904: Problèmes
p5/17
Corrigé
Exercice 1 :
L'aire du grand carré est a²
L'aire du petit carré est b²
Leur somme vaut :
Les solutions cherchées sont donc
(1) a = 13
et
b=7
(2) a = 13,4 et
b = 6,2
a² + b² = 218 (1)
Le périmètre du domaine s'écrit
3a + 3b + (a – b) = 66
4a + 2b = 66
ou
2a + b = 33
(2)
Vérification :
Résolvons ce système :
(1)
a²+ b² = 169 + 49 = 218
2a + b = 26 + 7 = 33
a² + b² = 218 (1)
2a + b = 33 (2)
D'après (2) :
(2)
a ² + b ² = 179,56 + 38,44 = 218
2a + b = 26,8 + 6,2 = 33
b - 33 - 2a
Reportons dans (1) : a² + (33 - 2a)² = 218
a² + 1089 - 132a + 4a² - 218 = 0
5a² - 132a + 871 = 0
Résolvons cette équation du second degré
∆ = 17 424 - 17 420 = 4
a=
132 + 2
= 13,4
10
et
a=
132 - 2
= 13
10
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E904: Problèmes
p6/17
Exercice 2 :
Soit ab le nombre cherché, où « b » est le chiffre des unités et « a » le chiffre des
dizaines.
La solution b = - 3 est impossible, vu l'énoncé.
Leur somme vaut 13, donc
si b 7 alors a = 13 - 7 = 6
donc 67
a + b = 13
(3)
Le nombre cherché est
Leur produit augmenté de 34 s'écrit ab + 34
Vérification :
6 + 7 = 13
(6 x 7) + 34 = 42 + 34 - 76
C'est-à-dire le nombre renversé.
Le nombre renversé s'écrit :
ba = 10b + a
ab + 34 = 10b + a (4)
D'où, l'égalité :
Résolvons le système d'équations (3) et (4)
D'après (3) : a = 13 – b
Reportons dans (4) :
(13 − b)b + 34 = 10b + 13 − b
13b − b 2 + 34 = 9b + 13
− b ² + 4b + 21 = 0
Résolvons cette équation
∆= 16 - 4 (-1) (21) = 100
b=
− 4 − 10
=7
−2
et
b=
- 4 + 10
= −3
-2
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E904: Problèmes
p7/17
Exercice 3 :
Soit L la longueur du rectangle et l sa largeur. Son aire est l L
Si on l'augmente de 5 661, elle devient l L + 5 661.
Si on double les dimensions du rectangle, la nouvelle aire s'écrit
2Lx2l=4lL
D'après l'énoncé : l L + 5 661 = 4 l L
D'où : 3 l L = 5 661
l L = 1 887
L'aire du rectangle est donc : 1 887 m²
Les dimensions du rectangle sont donc :
Longueur : 51 m et largeur : 37 m
Vérification
51 x 37 = 1 887
(37 x 2) x (51 x 2) = 7548 = 1 887 + 5 661
41 x (3 x 37) = 4551 =1 887 + 2 664
L'aire s'accroît de 2 664 m² lorsqu'on diminue la longueur de 10 m et qu'on triple la
largeur.
On peut donc écrire
l L + 2 664 = (L - 10) x 3 l
l L+ 2 664 = 3 l L – 30 l
30 l= 2 l L – 2664
D’après le résultat précédent, comme l L = 1 887,
30 l =(2 x 1 887) - 2 664 = 1110
l =1110/30
soit l = 37 m
Puisque :
l L = 1887,
L = 51 m
L = 1887/l = 1887/37
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E904: Problèmes
p8/17
Exercice 4 :
(Remarque : Il s'agit d'une correction possible)
Soit v la vitesse du camion et t le temps mis par le camion.
Puisque l'automobile met 4 h de moins que le camion, le temps mis par l'auto est t
- 4.
La vitesse de l'auto est v + 30
La distance parcourue est 450 Km
distance = vitesse x temps
-75 est une solution inacceptable.
La vitesse du camion est 45 km/h ; celle de l'auto est de 75
km/h
Vérification :
Pour le camion :
450 = vt
Pour l'auto : 450 - (v + 30) (t - 4)
ou
450 = vt + 30t - 4v – 120
(1)
Le temps mis par le camion est de 10H (450 / 45)
(2)
Le temps mis par l’auto est de 6H
D'après (1), vt = 450
450
t=
v
Et
L'équation (2) devient :
(10 - 4)
Distance parcourue 450 km
45 x 10 = 75 x 6 = 450
450
− 4v
v
ou, en réduisant au même dénominateur et en simplifiant :
4 v²+ 120 v - 13 500 =0
ou encore, en divisant par 4 :
v ² + 30 v - 3 375 = 0
450 = 450 + 30 ×
Résolvons cette équation :
∆= 900 – 4 x (-3375) = 14400
− 30 + 120
− 30 − 120
v=
= 45 ou v =
= −75
2
2
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E904: Problèmes
p9/17
Exercices d’application
Exercice 1 :
Un automobiliste doit parcourir une distance de 450 Km à une certaine vitesse moyenne.
Si cette vitesse est diminuée de 10 Km/h, la durée du trajet est augmentée de 1 heure et demie.
Calculer la vitesse moyenne.
Exercice 2 :
Une somme de 3 920 € est partagée également entre plusieurs personnes.
S'il y avait deux personnes de plus, chaque part serait réduite de 224 €.
Trouver le nombre de personnes.
Exercice 3 :
Déterminer l'équation y = ax² + bx + c des paraboles suivantes
a) Parabole passant par les points (x = 1 , y = 4) ; (x = 2 ; y = 8) et (x = 3 ; y = 10).
b) Parabole s'annulant pour x = 4 et x = -2 et coupant l'axe des y en y = 5
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E904: Problèmes
p10/17
Exercice 4
 x ² − y ² = 85

x − y = 5
a + b = −44

ab = 475
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E904: Problèmes
p11/17
Corrigé
Exercice 1 :
On sait que distance = vitesse x temps.
Soit v la vitesse cherchée et t le temps.
v=
D'après l'énoncé :
(1) 450 = vt
(2) 450 = (v - 10) (t + 1, 5)
(1) donne :
d'où :
Soit
Ou encore
v=
− 15 + 165
= −50
−3
La vitesse cherchée est 60 Km/h
Vérification :
Temps mis par l’automobiliste roulant à 60 Km/h :
7h30
(450/60 = 7,5)
450
v
10 ×
ou
50 est une solution inacceptable
Développons (2) :
450 = vt - 10 t + 1,5 v - 15
vt = 450 d'après (1)
On obtient donc :
450 = 450 - 10 t + 1,5 v – 15
10t- 1,5v + 15 = 0
t=
− 15 − 165
= 60
−3
Temps mis par l’automobiliste roulant à 50 Km/h : 9h
(450/50 = 9)
450
− 1,5v + 15 = 0
v
Quand on reduit la vitesse de 10Km/h on augmente le
trajet de 1h30
4500 − 1,5v ² + 15v
=0
v
− 1,5v ² + 15v + 4500 = 0
Résolvons cette équation : ∆= 15² - 4 (-1,5) x 4500
∆ = 225 + 27000 = 27225 = 165²
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E904: Problèmes
p12/17
Exercice 2 :
Soit x le nombre de personnes.
3920
Chaque part vaut x
S'il y avait 2 personnes de plus, alors :
3920 3920
=
− 224
x+2
x
ou encore :
3920 3920
−
+ 224 = 0
x+2
x
Réduisons au même dénominateur :
3920 x 3920( x + 2) 224 x( x + 2)
−
+
=0
x( x + 2)
x( x + 2)
x( x + 2)
Après développement :
224 x ² + 448 x − 7840 = 0
- 7 est une solution inacceptable.
Le nombre de personnes est : 5
Vérification :
soit :
et en divisant par 224
3920 x − 3920( x + 2) + 224 x( x + 2) = 0
Part de chaque personne avant : 784€
(3920/5)
Part de chaque personne après : 560€
(3920/7)
La part est bien réduite de 224€ (784-560)
x ² + 2 x − 35 = 0
Résolvons cette équation
∆ = 4 + 140 = 144 = 12²
x=
− 2 − 12
= −7
2
et
x=
− 2 + 12
=5
2
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E904: Problèmes
p13/17
Exercice 3 :
a)
y = ax 2 + bx + c
La parabole passe par (x = - 1 ; y = 4)
La parabole passe par (x = 2 ; y = 8)
La parabole passe par (x = 3 ; y = 10)
Résolvons ce système :
(2) - (1)
!
4 = 3a + 3 b
(3) - (2)
!
2 = 5a + b
L'équation de la parabole est donc : y =
donc 4 = a - b + c
donc 8 = 4a + 2b + c
donc 10 = 9a + 3b + c
Multiplions par -1
Multiplions par 3
Par addition :
(1)
(2)
(3)
-4 = 3a + 3b
6 = 15a + 3b
2 = 12a
1
a=
6
7
1
x² + x + 5
6
6
Vérification :
x = −1
y=
1 7
7
1
× (−1)² + × (−1) + 5 = − + 5 = 4
6 6
6
6
x=2
y=
4 14
7
1
× 2² + × 2 + 5 = + + 5 = 8
6 6
6
6
x=3
y=
9 21
7
1
× 3² + × 3 + 5 = + + 5 = 10
6 6
6
6
Reportons dans (3) - (2) :
5 12 − 5 7
b = 2− =
=
6
6
6
Reportons dans (1) :
1 7
c = 4 − a + b = 4 − + = 4 +1 = 5
6 6
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E904: Problèmes
p14/17
b)
y = ax² + bx + c
L'équation de la parabole est donc :
Puisque la parabole coupe l'axe des y en y = 5, la valeur de c est 5.
Donc y = ax² + bx + 5
La parabole s'annule pour x = 4,
La parabole s'annule pour x - -2,
donc
donc
0 = 16a+4b+ 5
0 = 4a- 2b+5
Résolvons ce système :
(2) x 2
!
0 = 8a - 4b + 10
(1)
!
0 = 16a + 4b + 5
Par addition
0 = 24a + 15 d'où
15
5
a=−
=−
24
8
Reportons dans (2) :
20
− 20 + 40 5
2b = 4a + 5 = − + 5 =
=
8
2
8
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24 a = -15
(1)
(2)
NB :
Autre méthode pour déterminer a et b :
La parabole qui s’annule pour x = 4 et x = -2 peut s’écrire sous la
forme y = a(x – 4)(x + 2)
Utiliser l’information quand x =0, y =5 pour trouver la valeur de a et
en déduire la valeur de b.
Vérification :
x = 0,
y=5
x=4
x = -2
soit
5
5
y = − x² + x + 5
4
8
5
5
y = − × 16 + × 4 + 5 = 0
4
8
5
5
y = − × 4 + × ( − 2) + 5 = 0
4
8
5
b=
4
E904: Problèmes
p15/17
Exercice 4 :
D'où la solution du système :
Résoudre le système suivant :
(1)
 x ² − y ² = 85

(2)
x − y = 5
x = 11
et
y=6
Vérification :
x² - y² est une identité remarquable qui peut s’écrire sous la forme (x +
y) (x - y)
x² - y² = 11² - 6² = 121 – 36 = 85
(1) ! (x + y)(x – y)= 85 d'après (2) ! (x + y) x 5 = 85
x – y = 11 – 6 = 5
d'où :
85
= 17
x+y= 5
On est donc ramené au système :
 x + y = 17

x − y = 5
Par addition membre à membre
2x = 22,
En reportant dans (2) : y = x - 5 = 11 - 5 = 6
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d'où
x =11
E904: Problèmes
p16/17
Les nombres cherchés sont donc
a = -25 et b = -19
ou
a = -19 et b = -25
Résoudre le système suivant :
a + b = −44

ab = 475
(1)
(2)
Vérification :
De (1) on déduit
Reportons dans (2)
b = - 44 - a
a (-44 - a) = 475
Développons
475 = 0
- 44a -a² = 475
-25-19 = -44
(-25) x (-19 = 475
ou encore
a² + 44a +
Résolvons cette équation :
∆= 44² - 4 x 475
∆ = 1936 – 1900 = 36 = 6²
a=
− 44 − 6
= −25
2
Si a = -25
Si a = -19
et
a=
− 44 + 6
= −19
2
alors b= 25 - 44-= -19
alors b = 19 - 44 = -25
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E904: Problèmes
p17/17