Semestre 3 PROBABILITÉS Feuille d`exe

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UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013
LICENCE d’ÉCONOMIE et GESTION
Seconde année - Semestre 3
PROBABILITÉS
Feuille d’exercices N◦3 : Variables aléatoires - Lois discrètes
Exercice I
1. Calculez
n
X
k=0
−3k2+ 2k−5
2. Calculez Sn=
n
X
k=0 2
5kpuis lim
n→+∞
Sn.
3. Calculez P(x) =
n
X
k=0 n
k!xket Q(x) =
n
X
k=0
k n
k!xk.
Exercice II
1. Soit Xune v.a.r. discrète dont la loi de probabilité est donnée dans le tableau ci-dessous :
xi123456
P(X=xi) 0,1 0,2 0,1 0,3 0,1 0,2
Calculer l’espérance et la variance de X.
2. Soit Yune v.a.r. discrète prenant ses valeurs dans {3,4,5,6}. Déterminer la loi de proba-
bilité de Ysachant que : P(Y < 4) = 1
2,P(Y > 4) = 1 3et P(Y= 5) = P(Y= 6). Calculer
alors l’espérance et la variance de Y
Exercice III
Soit Xune v.a.r. discrète prenant ses valeurs dans {0,1,2,3}dont la loi de probabilité est
définie par :
P(X= 0) = P(X= 2) = tet P(X= 1) = P(X= 3) = 0,5−toù t∈[0; 1
2[
Calculer l’espérance et la variance de X.
Exercice IV
On tire au hasard deux numéros distincts de l’ensemble {−2,−1,0,1,2}et on note Xleur
produit. On suppose les tirages équiprobables
1. Déterminer la loi de probabilité de Xet calculer son espérance.
2. Déterminer la fonction de répartition Fde Xet tracer sa courbe représentative.
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J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion

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Exercice V
On tire simultanément 3jetons d’une urne contenant 5jetons numérotés de 1à5et on note
Xle plus petit numéro obtenu.
1. Préciser l’univers Ωassocié à cette expérience aléatoire.
2. A quelle parties de Ωcorrespondent les événements (X= 1),(X= 2),(X= 3) et (X= 4),
Calculer leur probabilité.
3. Déterminer la loi de probabilité de Xet calculer son espérance.
4. Définir la fonction de répartition Fde la v.a.r. Xet tracer sa courbe représentative.
Exercice VI
Une urne contient trois boules blanches, deux boules noires et quatre boules rouges. Le tirage
d’une boule blanche fait gagner 2points, celui d’une boule noire fait gagner 1point et celui
d’une boule rouge fait gagner 3points. On tire simultanément 2boules de l’urne et on appelle
Xla v.a.r. qui, à chaque tirage, associe le nombre de points gagnés.
1. Définir l’univers Ω.
2. (a) Déterminer X(Ω)
(b) Définir la loi et la fonction de répartition de X
(c) Tracer la courbe représentative de la fonction de répartition de X.
3. Calculer l’espérance et la variance de X(Donner les résultats sous forme de fractions
rationnelles irréductibles.)
Exercice VII
Un forain possède deux roues séparées en 10 secteurs. Sur la première roue, il y a 3secteurs
rouges et 7blancs ; sur la seconde roue, 1vert et 9blancs. On suppose que les deux roues tournent
de manière indépendante l’une de l’autre. Les gains sont distribués de la façon suivante :
•5 euros si les deux roues tombent sur les secteurs rouges et verts.
•3 euros si une seule des deux roues tombe sur un secteur blancs.
•1 euro si les deux roues tombent sur des secteurs blancs.
Déterminer le prix minimal auquel le forain doit proposer la partie, pour que son bénéfice
moyen soit au moins égal à 0,5euro par partie.
Exercice VIII
Utilisation de la table de la loi binomiale
On lance 7fois de suite une pièce de monnaie mal équilibrée, telle que la probabilité d’obtenir
« PILE » est 0,25. Soit Xla v.a. qui dénombre les « PILES » obtenus.
1. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer son espérance et sa variance.
2. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 3« PILES » ? Moins de 3« PILES » ?
3. Quelle est la probabilité d’obtenir plus de 3« PILES » sachant que l’on en a obtenu au plus 5?
4. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 3« FACES » sachant que l’on en a obtenu moins de
7?
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Exercice IX
Utilisation de la table de la loi de Poisson
Dans un garage, le nombre de voitures vendues en une semaine suit la loi de poisson P(6).
1. Déterminer la probabilité des événements suivants :
•8 voitures ont été vendues au cours de la semaine
•Au moins 2 voitures ont été vendues en une semaine
2. Sachant que plus de 8voitures ont été vendues dans la semaine, quelle est la probabilité
qu’il y ait eu 12 voitures vendues ?
3. Quelle est la probabilité qu’il y ait eu entre 6et 9ventes dans la semaine ?
4. Quelle est la probabilité que l’on vende moins de 16 voitures, sachant qu’on en vendra au
moins 8 ?
Exercice X
Extrait du Test de Novembre 2011
Une fabrique de meubles possède un parc de 10 machines fonctionnant sans arrêt. La probabilité
pour une machine de tomber en panne au cours d’un mois est p= 0,1. On suppose que les
machines tombent en panne indépendamment les unes des autres.
1. Soit Xla V.A.R. qui dénombre les machines tombées en panne au cours d’un mois. Quelle est
la loi de probabilité de X?Justifiez ! Préciser les paramètres de cette loi. Donner l’espérance
et la variance de X.
2. Pour les questions (a) et (b) vous donnerez une valeur approchée à 10−5près et pour la
question (c) une valeur à 10−2près en vous aidant de la table fournie en annexe. Déterminer
la probabilité que :
(a) Exactement deux machines sont tombées en panne.
(b) Plus de deux machines sont tombées en panne.
(c) Au moins deux machines sont tombées en pannes sachant qu’au plus 5 sont tombées en
panne.
3. On suppose cette fois que le modèle pris dans les questions 1 et 2 n’est pas très fiable, et on
décide de modéliser la loi de Xpar une loi de Poisson de paramètre λ= 1 .
(a) Rappelez la valeur de l’espérance et de la variance de X.
(b) Déterminer la probabilité (à 10−5près pour (i) et (ii) et à 10−2près pour (iii) ) que :
i. Exactement deux machines sont tombées en panne.
ii. Plus de deux machines sont tombées en panne.
iii. Au moins deux machines sont tombées en pannes sachant qu’au plus 5 sont tombées
en panne.
Exercice XI
D’après le Test de Novembre 2011
Une urne contient n≥1boules blanches et une boule noire. On tire une boule à chaque épreuve.
On arrête le jeu dès lors que l’on a tiré la boule noire.
Soit Xla V.A. qui compte les tirages effectués pour obtenir la boule noire.
Partie A : n= 4
1. On effectue les tirages sans remise
On note Bil’événement « On a tiré une boule blanche à la ième épreuve ».
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(a) Exprimer l’événement (X= 3) à l’aide des événements Biou Bi. Calculer P(X= 3)
(b) Déterminer la loi de X. Vous donnerez vos résultats dans un tableau sans détailler
les calculs.
(c) Calculer l’espérance et la variance de X.
2. On effectue des tirages avec remise
Dans cette question, les tirages sont alors supposés identiques et indépendants.
(a) Quelle est la loi de X? En donner le(s) paramètre(s).
(b) Donner l’expression de P(X=k)pour tout k∈[[1,+∞]]
(c) Calculer l’espérance et la variance de X.
(d) Déterminer le nombre minimum de tirages que l’on doit effectuer afin que la proba-
bilité de tirer la boule noire soit supérieure à 0,9: on fera les calculs avec ln 2 ≈0,7
et ln 5 ≈1,6
Partie B : Reprendre les deux parties précédentes, avec n≥1quelconque
Exercice XII
Soient aet bdeux entiers strictement positifs. On considère la V.A.R. discrète Xà valeurs dans
[[1, ab]] telle que :
∀x∈[[1, ab]],P(X=x) = 1
a−1 b
1. Quelles conditions doivent vérifier aet b?
2. Déterminer la fonction de répartition Fde X, et en donner une représentation graphique.
3. Calculer E(X)et V(X).
Exercice XIII
Une urne contient nboules blanches numérotées de 1àn(n≥2)), et deux boules noires
numérotées 1et 2. On tire simultanément 4boules de cette urne. Soit Xle nombre de boules
blanches obtenues. Déterminer la loi de probabilité de Xet calculer son espérance et sa variance.
Exercice XIV
On a truqué un jeu de 32 cartes en remplaçant une carte (autre que l’as de coeur) par un second
as de coeur. On tire simultanément au hasard ncartes (1≤n < 32) de ce jeu.
1. Quelle est la probabilité que la supercherie soit découverte?
2. Dans cette question, on suppose que n= 4. On recommence plusieurs fois l’expérience de
tirer simultanément 4cartes de ce jeu (en les remettant après chaque tirage). Quelle est le
nombre minimum de tirages que l’on doit réaliser pour que la supercherie soit découverte
avec une probabilité au moins égale à 0,95 ?
Exercice XV
Dans une fête foraine, un joueur s’exerce au tir à la carabine : on suppose que la probabilité
d’atteindre la cible reste constante égale à p= 0,6. On gagne un lot dès lors qu’on a réussi à
atteindre 3 fois la cible. Calculer la probabilité que cela nécessite moins de 8 tirs.
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Tableau récapitulatif des lois discrètes
Dans ce tableau, p∈[0,1] et q= 1 −p.
Nom Ensemble
des valeurs Loi Espérance Variance
Loi uniforme
X → U([[1; n]]) [[1; n]] P(X=k) = 1
n
n+ 1
2
n2−1
12
Loi de Bernoulli
X → B(p){0,1}P(X= 0) = 1 −p=q P(X= 1) = p
p pq
Loi binomiale
X → B(n, p)[[0; n]] P(X=k) = n
k!pkqn−knp npq
Loi hypergéométrique
X → H(N, M, n)
inclus dans
[[0; n]] P(X=k) = M
kN−M n−k
N
nnM
NnM N
N−M
N
N−n
N−1
Loi hypergéométrique
X → H(N, n, p)
inclus dans
[[0; n]] P(X=k) = Np
kNq n−k
N
nnp npq N−n
N−1
Loi de Poisson
X → P(λ)
NP(X=k) = e−λλk
k!λ λ
Loi géométrique
X → G(p)
N∗P(X=k) = p·qk−11
p
q
p2
Loi de Pascal
X → P(r, p)[[r; +∞[[ P(X=k) = k−1
r−1!pr.qk−rr p
qr
p2
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