ARITHMETIQUE

ARITHMETIQUE
I- Diviseurs d'un entier naturel :
Définition : Soient a et d deux nombres entiers naturels non nuls.
Dire que d est un diviseur de a signifie qu'il existe un entier k tel que a = d × k.
Dans ce cas, on peut aussi dire que :
· a est divisible par d ;
· a est un multiple de d ;
· k est un diviseur de a ;
· a est divisible par k ;
· a est un multiple de k.
Exemples : 168 4
08 42
0
168 5
18 33
3
Le reste est nul donc 168 = 4 × 42 .
168 est un multiple de 4.
4 est un diviseur de 168.
Le reste n'est pas nul.
168 n'est pas un multiple de 5.
5 n'est pas un diviseur de 168.
II- Diviseurs communs à deux entiers naturels - PGCD - Nombres premiers entre eux :
Définitions : Soient a et b deux entiers naturels :
· un diviseur commun à a et b est un nombre entier qui divise a et b.
· le plus grand entier qui divise a et qui divise b est appelé le Plus Grand Commun Diviseur de a et b (en
abrégé PGCD). On le note PGCD(a ; b).
Exemple : Trouver tous les diviseurs communs de 28 et de 42. En déduire leur PGCD.
28 = 1 × 28
= 2 × 14
=4×7
42 = 1 × 42
= 2 × 21
= 3 × 14
=6×7
Donc les diviseurs de 28 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28 ;
ceux de 42 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42.
Les diviseurs communs de 28 et 42 sont 1 ; 2 ; 7 ; 14.
Le plus grand de ces diviseurs est 14, donc 14 est le PGCD des nombres 28 et 42.
On note : PGCD(28 ;42) = 14
Définition : On dit que deux nombres entiers naturels sont premiers entre eux lorsqu'ils n'ont qu'un seul
diviseur commun : 1.
Propriété : Si le PGCD de deux nombres entiers naturels est égal à 1, alors ces deux nombres sont
premiers entre eux.
Exemples : Les nombres suivants sont-ils premiers entre eux : 15 et 50 ? 18 et 35 ?
· 15 et 50 sont tous les deux divisibles par 5.
15 et 50 ont donc un autre diviseur commun que 1, ils ne sont donc pas premiers entre eux.
35 = 1 × 35
· 18 = 1 × 18
=5×7
=2×9
=3×6
Donc les diviseurs de 18 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ;
et ceux de 35 sont : 1 ; 5 ; 7 ; 35.
18 et 35 n'ont comme seul diviseur commun : 1.
Donc, 18 et 35 sont premiers entre eux.
III- Recherche du PGCD par l'algorithme d'Euclide :
On admet la propriété suivante :
Propriété : Soient a et b deux entiers naturels tels que a > b.
On note r le reste de la division euclidienne de a par b.
Alors PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r).
En appliquant cette propriété successivement, on obtient le PGCD de a et b. Cette méthode est appelée
algorithme d'Euclide ou méthode des divisions successives.
Exemple : Calculer PGCD(6552 ; 1617) par la méthode de l'algorithme d'Euclide.
6552 1617
84 4
donc d'après la propriété précédente PGCD(6552 ; 1617) = PGCD(1617 ; 84)
1617 84
21 19
84 21
4
0
donc PGCD(1617 ; 84) = PGCD(84 ; 21)
c'est-à-dire 84 = 21 × 4, donc 21 est un diviseur de 84. Or 21 est le plus grand diviseur de
21, c'est donc le plus grand diviseur commun de 84 et 21,donc PGCD(84 ; 21) = 21
On a effectué des divisions successives jusqu'à l'obtention d'un reste nul. Le PGCD est
alors le dernier reste non nul.
IV- Fractions irréductibles :
Définition : Une fraction irréductible est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont
premiers entre eux.
Propriété : Lorsqu'on simplifie une fraction par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur, on
obtient une fraction irréductible.
Exemple : Simplifier la fraction 1015
1305 .
Etapes a
b
r
1
1305 1015 290
2
1015 290 145
3
290 145 0
Donc PGCD (1015 ; 1305) = 145.
1015 = 145 × 7 = 7 .
1305 145 × 9
9
V- Problème :
Un traiteur dispose de 385 crevettes et 140 langoustines. Il doit préparer un maximum de plateaux
identiques en utilisant toutes les crevettes et toutes les langoustines.
1) Combien de plateaux ce traiteur va-t-il pouvoir préparer ?
2) Combien de crevettes et combien de langoustine contient chaque plateau ?
Solution :1) Il faut diviser les nombres 385 et 140 en un même nombre entier, le plus grand possible.
On cherche donc le PGCD de 385 et 140 :
140 105
385 140
105 35
35 1
105 4
0 3
Donc PGCD(385 ; 140) = 35.
Le traiteur peut donc réaliser au maximum 35 plateaux.
2) Il y aura sur chaque plateaux : 385 ÷ 35 = 11 crevettes et
140 ÷ 35 = 4 langoustines.