s4383 - Vauban 95

Solution – Fonctions Numériques – Logarithmes – Etude – s4383
1
Soit f la fonction définie sur ] - ; +∞
∞ [ par f(x) = -x + 7 + 6 ln (2x + 1) – 6 ln (2x + 2) .
2

→

→
On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O , i , j ) .
1
1/ Justifier que f est définie sur l’intervalle ] - ; +∞
∞[.
2
On sait que ln A est défini si et seulement si A > 0 .
 2x + 1 > 0 ⇔ x > -1 
2
1
f(x) ne sera donc définie que si 
 ce qui impose x ∈ ] -2 ; +∞ [ .
et
 2x + 2 > 0 ⇔ x > -1 
1
2/ Déterminer la limite de f en - . En déduire que la courbe (C) admet pour asymptote une droite (D) dont on
2
précisera une équation.
1
Si x → - + alors
2
13

-x + 7 →
2
 2x + 1 → 0+ ⇔ ln (2x + 1) → -∞
 2x + 2 → 1 ⇔ ln (2x + 2) → 0

 . Par addition, on obtient : lim 1 f(x) = -∞ .
x →
2
+
1
La courbe (C) admet la droite x = - pour asymptote verticale.
2
1
2x + 1 
∞ [ : 6 ln (2x + 1) – 6 ln (2x + 2) = 6 ln 
.
3/ Justifier que pour tout x de l’intervalle ] - ; +∞
2
2x + 2 
a
On sait que pour a > 0 et b > 0 : ln a – ln b = ln , d’où :
b
6 ln (2x + 1) – 6 ln (2x + 2) = 6 [ln (2x + 1) – ln (2x + 2)] = 6 ln 
2x + 1 
2x
 +2
4/ Soit (D’) la droite d’équation y = -x + 7 .
a) Quelle est la limite de f(x) – (-x + 7) lorsque x tend vers +∞
∞?
En donner une interprétation graphique.
f(x) = -x + 7 + 6 ln 
2x + 1 
2x + 1 
⇔ f(x) – (-x + 7) = 6 ln 
.
2x + 2 
2x + 2 
Si x → +∞ alors
On déduit :
2x + 1
2x + 1 
→ 1 (rapport des plus haut degrés) et ln 
→ ln 1 = 0 .
2x + 2
2x + 2 
lim [ f(x) – (-x + 7)] = 0 .
x → +∞
f(x) – (-x + 7) mesure l’écart algébrique vertical de la droite y = -x + 7 à la courbe (C) .
Cet écart devenant nul vers +∞ , on déduit que la droite (D’) d’équation y = -x + 7 est asymptote oblique à la courbe
(C) . En conséquence :
lim f(x) = -∞ .
x → +∞
b) Etudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (D’) .
1
Il faut étudier le signe de l’écart E(x) = f(x) – (-x + 7) sur l’intervalle ] - ; +∞ [ .
2
1
1
2x + 1
x > - ⇒ 0 < 2x + 1 < 2x + 2 ⇒ 0 <
< 1 , or 0 < A < 1 ⇒ ln A < 0 .
2
2x + 2
On déduit que E(x) = f(x) – (-x + 7) = 6 ln 
2x + 1 
1
< 0 sur ] - ; +∞ [ .
2
2x + 2 
1
La courbe (C) est partout en dessous de son asymptote (D’) sur l’intervalle ] - ; +∞ [ .
2
1
-2x2 – 3x + 5
5/ Montrer que pour tout x de l’intervalle ] - ; +∞
∞ [ : f’(x) =
, où f’ désigne la fonction dérivée de f .
2
(2x + 1)(x + 1)
On sait que (ln u)’ =
u’
, d’où :
u
f(x) = -x + 7 + 6 ln (2x + 1) – 6 ln (2x + 2) ⇒ f’(x) = -1 + 6 ×
f’(x) = -1 +
f’(x) =
2
2
–6×
;
2x + 1
2x + 2
12
12
-(2x + 1)(2x + 2) + 12(2x + 2) – 12(2x + 1)
-4x2 – 6x + 10
–
=
=
.
2x + 1 2x + 2
(2x + 1)(2x + 2)
(2x + 1)(2x + 2)
-2x2 – 3x + 5
.
(2x + 1)(x + 1)
6/ Etudier le signe de f’ et dresser le tableau de variation de f .
Recherche des Extrema :
5
f’(x) = 0 ⇔ -2x2 – 3x + 5 = 0 dont les racines sont x1 = +1 et x2 = - .
2
3
Seule x1 = +1 est dans le domaine de définition, avec y1 = f(1) = -1 + 7 + 6 ln .
4
3
y1 = f(1) = 6 + 6 ln ≈ 4,27 .
4
3
La courbe (C) admet F( +1 ; 6 + 6 ln ) pour extremum.
4
Signe de la dérivée :
Comme 2x + 1 > 0 et 2x + 2 > 0 , la dérivée f’(x) est du signe de -2x2 – 3x + 5 , trinôme qui est du signe de a = -2 à
l’extérieur de ses racines, et du signe opposé entre ses racines D’où :
5
et +1.
2
1
- < x < 1 ⇔ -2x2 – 3x + 5 > 0 et x > 1 ⇔ -2x2 – 3x + 5 < 0 .
2
Tableau de variation :
x
-1/2
f '(x)
||
f (x)
||-∞
1
+
0
+∞
–
4,27
-∞
7/ Soit (T) la tangente à la courbe (C) au point M d’abscisse 0 de cette courbe.
Déterminer une équation de la droite (T) .
On sait que si a est l’abscisse du point de tangence, une équation réduite de la tangente (Ta) en ce point est :
Ta | y = f’(a)(x – a) + f(a) .
f’(0) = 5 et f(0) = 7 – 6 ln 2 .
2
D’où : T0 | y = f’0)(x – 0) + f(0) soit T | y = 5x + (7 – 6 ln 2) .
8/ Montrer que l’équation f(x) = 2 admet une unique solution α dans l’intervalle [1 ; 5] .
a) f est continue et strictement décroissante sur [1 ; 5] .
3
11
b) f(1) = 6 + 6 ln ≈ 4,27 > 2 et f(5) = 2 + 6 ln
≈ 1,48 < 2 .
4
12
Conclusion : La courbe (C) passe une et une seule fois à l’ordonnée y = 2 sur l’intervalle ]1 ; 5[ , pour une abscisse
notée α ( 1 < α < 5 ) (application du théorème de la valeur intermédiaire).
Donner une valeur de α approchée à 10-2 .
La calculatrice indique : α = 3,25 à 10-2 près.

→

→
9/ Tracer les droites (D) , (D’) , (T) et la courbe (C) dans le repère (O , i , j ) d’unité graphique 2 cm.
3