Groupe de Lorentz et son algèbre de Lie dans leurs représentations

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Groupe de Lorentz et son algèbre de Lie dans leurs
représentations dans l’algèbre de Pauli
Jean Parizet1
Résumé
Par une démarche directe, on propose une étude du groupe de Lorentz et de son algèbre
de Lie par leurs représentation dans l’algèbre de Pauli, après une présentation rapide de ce
groupe et de ces algèbres. Ainsi cette étude en est simplifiée, par exemple en permettant
d’obtenir aisément un élément de l’algèbre de Lie dont l’exponentielle est un élément donné
du groupe spécial de Lorentz, tout en approfondissant l’un des chapitres de l’ouvrage[4]
"Clifford Algebras and Spinors" (Cambridge University Press) de Pertti Lounesto - dont il
convient de saluer la mémoire.
Groupe de Lorentz L
1
c2 0
dans sa base
0 −I
canonique, le groupe de Lorentz L est celui des matrices L des endomorphisme de R4 laissant
invariant la forme de Minkowski c’est à dire vérifiant
R4 étant muni de la forme de Minskovski, de matrice Q =
t
LQL = Q
On en déduit que si l’on écrit L sous la forme
γ
L =
cV
son inverse est
L−1
=
Q−1 t L Q
soit
L−1
=
t U/c
(1)
,
A
γ
−cU
(2)
−t V /c
, et ses coefficients vérifient
tA
les relations — si γ 6= −1
γ2 = 1 + tU U = 1 + tV V , A = S +
V tU
1+γ
(3)
S étant une matrice orthogonale telle que V = S U
Dans ce cas : det(L) = det(S).
Lorsque γ est positif et S une rotation, L ∈ L+ (groupe spécial de Lorentz). Sinon, dans l’interprétation physique, il y a renversement
du
temps ou retournement de l’espace, voire les deux.
−1 0
Si γ = −1, L est de la forme L =
où S est orthogonale.
0 S
Les matrices particulières de L+
1 0
L(R) =
0 R
1
,
L(U ) =
14920 Mathieu
1
γ
cU
t U/c
I+
U tU
1+γ
– où R est une matrice de rotation et où γ positif et U sont liés par (3) – sont appelées matrice
de rotation pure et matrice de Lorentz pure de vecteur U (boost pour les anglo-saxons).
L appartenant à L+ , de la forme (2) avec S = R, peut s’écrire :
L = L(R) L(U ) = L(V ) L(R)
(4)
L’algèbre de Lie de L s’obtient de manière traditionnelle : soit L : I −→ L de classe C 1
sur l’intervalle réel I, et pour X fixé soit Xs = Ls X. En dérivant il vient
Ẋs = L̇s X
soit Ẋs = Σs Xs
avec Σs = Ls L−1
s
d’où puisque t Ls Q Ls = Q :
t
Σ Q + Q Σ = 0, et la forme de Σ : Σ =
0
cX
t X/c
Ω
(5)
Réciproquement soit s → Σs continue sur I à valeurs une matrice réelle d’ordre 4 telle que
(∀s, t Σs Q + Q Σs = 0). La solution de L̇s = Σs Ls pour la condition initiale Ls0 ∈ L vérifie
d t
( Ls Q Ls ) = t Ls (t Σs Q + Q Σs ) Ls = 0
dt
elle a donc ses valeurs dans L en étant de même nature que Ls0 , par exemple appartenant comme
elle à L+ , ou présentant continûment un renversement du temps ou un retournement de l’espace
ou les deux par simple raison de connexité, I étant un intervalle.
2
Algèbre de Pauli P
L’algèbre de Pauli P est tout simplement l’algèbre M2 (C) des matrices d’ordre deux sur C,
considérée comme algèbre réelle de dimension huit, de base engendrée par les matrices de Pauli
0 1
0 −i
1 0
1 0
σ1 =
, σ2 =
, σ3 =
avec aussi σ0 =
1 0
i 0
0 −1
0 1
soit la base (σ0 , σ1 , σ2 , σ3 , σ2 σ3 , σ3 σ1 , σ1 σ2 , σ1 σ2 σ3 ) notée (σ0 , σ1 , σ2 , σ3 , iσ1 , iσ2 , iσ3 , iσ0 ) en
accord avec les notations dans M2 (C).
Rappelons les relations σi σj + σj σi = 2δij σ0 pour (i, j = 1, 2, 3).
Un élément ξ de P s’écrit à priori
ξ = aσ0 + ibσ0 + u + iv ou (a + ib)σ0 + (u + iv)
(6)
P
P
où u = 3k=1 uk σk et v = 3k=1 v k σk .
On décompose P en somme directe des scalaires, pseudoscalaires, vecteurs et pseudovecteurs :
P = Sc(P) ⊕ P sSc(P) ⊕ Vec(P) ⊕ P sVec(P).
L’hermitienne de ξ donnée par (9) s’écrit : ξ † = aσ0 − ibσ0 + u − iv.
Le déterminant de ξ = aσ0 + ibσ0 + u + iv s’obtient en multipliant ξ par sa coadjointe ξ c :
ξ c = aσ0 + ibσ0 − u − iv =⇒ det(ξ) σ0 = ξ ξ c = (a2 − b2 − ~u2 + ~v 2 + 2i(ab − ~u.~v ))σ0 (7)
Remarquons
det ξ = (a + ib)2 + det(u + iv), det(u + iv)σ0 = −(u + iv)2 .
2
Conventions géométriques
1. Il est commode d’identifier un vecteur de Vec(P) P
avec celui de R3 euclidien
de
P3 orienté
3
k
k
mêmes composantes dans la base canonique : x = k=1 x σk ←→ ~x = k=1 x ~ek .
Ainsi écrit-on :
uv = (~u.~v )σ0 + i ~u ∧ ~v
relation utile pour faciliter les calculs dans P.
2. De manière analogue, identifions un élément de Sc(P)⊕Vec(P) avec le vecteur de R4 muni
de la forme de Minkovski Q, la base canonique ~e0 , ~e1 , ~e2 , ~e3 , vérifiant
Q(~e0 ) = c2 , k = 1, 2, 3 : Q(~ek ) = −1,
de sorte que
3
3
X
X
ct σ0 +
xk σk ←→ t ~eo + ~x = t ~e0 +
xk ~ek
(8)
k=1
k=1
D’après (7)
Q(t ~e0 + ~x) = det(ct σ0 + x)
Dans la suite nous noterons τ = ct + x, en omettant plus généralement d’écrire σ0 unité
de l’Algèbre P (ce qui revient à écrire 1 à la place de σ0 ) .
Notons que ξ ∈ Sc(P) ⊕ Vec(P) si et seulement si ξ = ξ † hermitienne de ξ :
(a + ib + u + iv)† = a − ib + u − iv.
3
Représentation dans P du groupe de Lorentz
L’application
τ = ct + x 7→ τ 0 = ct0 + x0 = ξ(ct + x)ξ † = ξ τ ξ †
(9)
est un endomorphisme de Sc(P) ⊕ Vec(P) qui conserve Q ssi | det(ξ)|2 = 1.
Quitte à diviser ξ par l’une des racines carrées de son déterminant, on peut supposer que ξ
vérifie
det(ξ) = 1.
ce dont nous conviendrons dans la suite et dirons que ξ est unitaire (unimodulaire serait plus
exact, mais unitaire a une connotation vectorielle).
On obtient les représentations de L dans P.
Car en supposant ξ sous la forme (6), son déterminant valant 1 on a d’après (7) :
a2 − b2 − u2 + v 2 = 1 , ab − ~u.~v = 0
d’où la démarche
1. Si ~v = 0, nécessairement b = 0 et a2 − u2 = 1.
Il existe ϕ réel et ~l unitaire tels que
ϕ
ϕ
ξ = ch + sh l
2
2
et en développant (9) on vérifie que ξ représente une transformation de Lorentz pure de
vecteur sh ϕ ~l. Il est commode d’écrire ξ selon β(sh ϕ2 l) ; notons que β † = β.
2. Si ~v 6= 0, un calcul direct montre que
(a − iv) ξ = (a2 + v 2 ) + (au + bv + ~v ∧ ~u).
−1
Puisque (a − iv) = (a + iv)/(a2 + v 2 ) :

a + iv a2 + v 2 + au + bv + ~v ∧ ~u


√
.
 a + ib + u + iv = √ 2
a + v2
a2 + v 2
2
2
a + v + au + bv + ~u ∧ ~v a + iv


√
 ou encore
.√
a2 + v 2
a2 + v 2
3
(10)
la seconde expression étant obtenue en considérant ξ . (a − iv).
Il existe θ réel et ~n unitaire tels que
ρ = cos
θ
θ
− i sin n avec
2
2
cos
θ
a
θ
~v
=√
, sin ~n = − √
2
2
2
2
2
a +v
a + v2
(11)
et en développant (9) (pour ρ) on voit que ρ représente une rotation pure d’angle θ autour
de l’axe dirigé par ~n. Lorsque cette rotation est un demi-tour (ssi a = 0) on choisit ρ = in ,
sinon on note ρ sous la forme ρ(tan 2θ n).
3. En conclusion selon (4), pour ξ unitaire, (9) correspond à un élément de L+ – la réciproque
est évidente, et les relations (10) sont les transcriptions des relations (4) (décompositions
polaires). Il est intéressant de noter, si a 6= 0, que la rotation R figurant dans (4) n’est pas
un demi-tour et que − av (dans la représentation par ξ) est le vecteur d’O.Rodrigues de R.
4. En considérant, ξ étant toujours unitaire
τ 7→ ξ (−τ c ) ξ †
,
τ 7→ ξ τ c ξ †
et τ 7→ −ξ τ ξ † ,
on obtient alors les représentations dans P des transformations de Lorentz changeant
l’orientation du temps ou de l’espace ou des deux.
Remarques
1. La représentation précédente de L+ dans P donne immédiatement la structure de groupe
de L+ . Avec les notations de (2) et (6), le coefficient γ de la matrice L est le terme
scalaire de ξξ † : γ = a2 + b2 + u2 + v 2 = 1 + 2(a2 + v 2 ) > 1 car ξ est unitaire, et si
γ = ch ϕ : a2 + v 2 = ch 2 ϕ2 .
2. Notons que x 7→ ρ x ρ† représente une rotation dans R3 . D’ailleurs ρ† = ρ−1 .
3. Il est facile de passer de L ∈ L+ à ξ ∈ P unitaire la représentant, et réciproquement ; il
y a ambiguïté entre le choix de ξ ou celui de −ξ. A partir de L, sa première ligne (avec
γ = ch ϕ) donne β(sh ϕ2 l), et la matrice R donne ρ = in ou ρ(tan 2θ n).
4. Si ξ unitaire correspond à L(R)L(U )(= L(V )L(R)) selon (6),
alors ξ c correspond à L(−U )L(R−1 ) et ξ † à L(R−1 )L(V ) =t (L(V )L(R)).
5. La connaissance de u + iv entraîne celle de ±(a + ib) (de carré 1 + (u + iv)2 ) — c’est à dire
de ξ et de −ξ c — qui correspondent à L et L−1 .
Digression : les Quaternions
Remarquons que la sous-algèbre de P engendrée par (σ0 , −iσ1 , −iσ2 , −iσ3 ) de table de multiplication (en posant σo = 1 et −iσj = τj pour j=1,2,3)
τ1
τ2
τ3
τ1
-1
-τ3
τ2
τ2
τ3
-1
-τ1
τ3
-τ2
τ1
-1
n’est autre que le corps des quaternions H.
H étant la somme directe Sc(H) ⊕ Vec(H),
on identifie P
les scalaires de H aux réels et ses
P3
3
k
vecteurs aux vecteurs de R selon u = k=1 u τk ↔ ~u = 3k=1 uk~ek . Remarquons que selon
l’identification des vecteurs de P à ceux de R3 : u ↔ ~u, nous avons dans P : u = −iu en accord
avec la définition des τk .
C’est ainsi qu’une rotation d’axe orienté par ~n unitaire et d’angle θ est représentée dans H par
θ
θ
θ
θ
+ sin n) x (cos − sin n)
2
2
2
2
2
Notons que det(x) = ||~x || .
x 7→ (cos
4
4
Représentation dans P de l’algèbre de Lie de L+
L’emploi de la représentation de L+ dans P permet d’obtenir aisément, pour tout élément
de L+ un élément de l’algèbre de Lie du groupe de Lorentz dont le premier est l’exponentielle
du second ; on dira que celui-ci est le logarithme de celui-là. Ainsi peut-on obtenir certaines
propriétés de L+ .
Algèbre de Lie des matrices unitaires de P
1. Soit ξ : I → P de classe C 1 sur l’intervalle réel I et à valeurs unitaires. τ étant fixe de
Sc(P) ⊕ Vec(P) , soit τs = ξs τ ξs† : en dérivant et exprimant τ̇s à l’aide de τs on obtient
τ˙s = ηs τs + τs ηs†
Si on considère τs = ξ (−τsc ) ξ †
avec ηs = ξ˙s ξs−1 .
ou τs = ξ τsc ξ †
ou τs = −ξ τs ξ † , on retrouve ηs .
2. Puisque ξs−1 = ξsc (ξs étant unitaire) , et que dans P : αβ c = (βαc )c ,
entraîne :
ηs + ηsc = 0 donc ηs est de la forme ηs = ũ + i ṽ.
d
ds (ξs
ξsc ) = 0
Ainsi η est à valeurs dans Vec(P) ⊕ P sVec(P) et l’endomorphisme de R4 correspondant à
τ 7→ ητ + τ η s’écrit en utilisant (8)
!
~ũ . ~x
0
0
0
0
t ~e0 + ~x 7→ t ~e0 + ~x avec
t =2
, ~x = 2ct~ũ − ~ṽ ∧ ~x
c
On retrouve la forme des matrices de l’algèbre de Lie de L+ —cf (5) :
0
2 t Ũ /c
où Ω~ṽ est la matrice de ~x 7→ ~ṽ ∧ ~x.
2cŨ −2Ω~ṽ
Exemples classiques : β = ch
s
s
l
+ sh l : η =
2
2
2
;
ρ = cos
s
s
n
− i sin n : η = −i
2
2
2
3. Réciproquement soit η : I → P à valeurs dans Vec(P) ⊕ P sVec(P), continue sur cet intervalle réel, et soit ξ la solution de ξ˙ = ηξ pour la condition initiale ξs0 .
d
d
Puisque ds
det(ξs ) = ds
(ξs ξsc ) = (ηs + ηsc ) det(ξs ) = 0 , ainsi det(ξs ) = det(ξso ) :
ξ est à valeurs unitaires si et seulement si ξ0 est unitaire.
Et pour ce choix de ξ0 et τ fixé, on obtient avec τs = ξs τ ξs† ou τs = ξ (−τsc ) ξ †
ou τs = ξ τsc ξ †
ou τs = −ξ τs ξ † , trajectoires issues de τ sous l’effet d’une famille
de transformations de Lorentz de même nature (conservant ou non les orientations du
temps et/ou de l’espace).
4. En conclusion, Vec(P) ⊕ P sVec(P) est l’algèbre de Lie du groupe des matrices de Pauli
unitaires.
Le crochet de Lie de cette algèbre s’exprime selon
[u + iv, u0 + iv 0 ] := ((u + iv)(u0 + iv 0 ) − (u0 + iv 0 )(u + iv) = i(u + iv) ∧ (u0 + iv 0 )
Dans H on retrouve le crochet de Lie de l’algèbre de Lie des matrices orthogonales s’exprimant par un produit vectoriel.
Exponentielle et logarithme de certains élément de P
Lorsque η est un élément de Vec(P) ⊕ P sVec(P), la solution de ξ˙ = ηξ pour la condition
initiale ξ0 = 1 est exp(sη). On peut l’obtenir selon la démarche plus générale suivante qui
fait intervenir l’algèbre engendrée par ξ , algèbre complexe de dimension deux (si ξ n’est
5
pas proportionnelle à σ0 ) où les calculs sont particulièrement simples.
Soit ξ ∈ P donnée selon (6) — unitaire ou non, d’équation caractéristique
det(ξ − s) ≡ (s − a − ib)2 + det(u + iv) = 0
et de valeurs propres s1 , s2 .
f étant une fonction numérique (définie et dérivable sur un domaine de C contenant le
spectre de ξ et à valeurs dans C) posons
(a) si s1 = s2 donc égaux à a + ib
f (ξ) = f (a + ib) + f 0 (a + ib) (u + iv)
(b) si s1 6= s2
f (ξ) =
f (s1 ) − f (s2 )
f (s1 ) + f (s2 )
(u + iv)
+
2
s1 − s2
Lorsque f est un polynôme ou analytique sur son domaine de définition, on retrouve les
résultats usuels ; c’est le cas de la fonction exponentielle. De manière générale, on peut
vérifier des relations telles que (en sous-entendant des conditions convenables pour f et g)
f og(ξ) = f (g(ξ)) ; en particulier en prenant pour f la fonction Logarithme de détermination principale Log sur C∗ — Log z = ln |z| + i arg z, −π < arg z 6 π— il est naturel de
définir ainsi Log ξ car on vérifiera directement eLog ξ = ξ.
Considérons en effet les deux cas particuliers suivant :
(a) Soit η = ũ + iṽ, son polynôme caractéristique est
det(η − λ) = λ2 − (ũ2 − ṽ 2 + 2i~ũ . ~ṽ) ou λ2 + det(ũ + iṽ), d’où
i. si det(ũ + iṽ) est nul : eη = 1 + η et l’on voit que det(eη ) = 1 donc eη correspond
à un élément de L+ . Ce cas est dit singulier.
ii. si det(ũ + iṽ) 6= 0, soit µ0 l’une des racines carrées de − det(ũ + iṽ) , alors
eη = (eµ0 + e−µ0 )/2 + (eµ0 − e−µ0 )(ũ + iṽ)/2µ0 et det(eη ) = 1.
iii. Lorsque ~ũ . ~ṽ = 0 et que l’on n’est pas dans le cas singulier,
2
2
A. si ~ũ − ~ṽ = k 2 > 0 : eη = ch k + sh k (ũ + iṽ) et det(eη ) = 1,
k
2
2
B. si ~ũ − ~ṽ = −k 2 < 0 : eη = cos k + sink k (ũ + iṽ) et det(eη ) = 1.
(b) Soit ξ = a + ib + u + iv unitaire : det(ξ − s) = (s − a − ib)2 + det(u + iv).
i. si det(u + iv) = 0 : u2 = v 2 , ~u . ~v = 0 et nécessairement b = 0 , a = ±1 , d’où
A. si a = 1, Log ξ = u + iv d’exponentielle 1 + u + iv,
B. si a = −1, Log ξ = iπ − (u + iv). d’exponentielle −1 + u + iv
On retrouve le cas singulier .
ii. si det(u + iv) 6= 0 ( soit −(p + iq)2 ce déterminant) ξ a deux valeurs propres
inverses :
s1 = (a + p) + i(b + q) = r eiφ , s2 = (a − p) + i(b − q) = 1r e−iφ d’où
ln r + iφ
(u + iv)
p + iq
de la forme ũ + iṽ, : il existe k complexe tel que ~ũ + i~ṽ = k (~u + i~v ) et eη = ξ.
η = Log ξ =
iii. lorsque ~u . ~v = 0 — cas particulier du cas précédent mais aussi comme dans le
cas singulier — il existe k réel tel que ~ũ + i~ṽ = k (~u + i~v ), comme on le vérifie
simplement.
En conclusion, l’application exponentielle de son algèbre de Lie sur le groupe de Lorentz est
surjective et l’on a explicité, étant donnée L ∈ L+ , une matrice Σ telle que eΣ = L.
6
Exemples d’emploi de P pour l’étude de L+
5
5.1
Rotation de Thomas
Le produit de deux matrices de Lorentz pures présente dans sa décomposition polaire une
rotation (si leurs deux vecteurs ne sont pas colinéaires) : la rotation de Thomas[5] .
On l’exprime facilement à l’aide de P : le terme scalaire et le pseudo-vecteur du produit
ϕ
ϕ2
ϕ2
ϕ1
ϕ1
ϕ1
ϕ2 ϕ1
2
(ch
+ sh
l2 ) (ch
+ sh
l1 )
ch ch
+ sh sh ~l2 . ~l1 > 1
2
2
2
2
2
2
2
2
nous donne le vecteur d’O. Rodrigues de la rotation de Thomas
ϕ2 ϕ1
ϕ2 ϕ1
ϕ2 ϕ1
(sh sh ~l2 ∧ ~l1 )/(ch ch
+ sh sh ~l2 . ~l1 )
2
2
2
2
2
2
qui précise axe et angle de cette rotation.
5.2
Vecteurs propres isotropes d’une matrice de L+
Il est bien connu[3] qu’une telle matrice admet au moins un vecteur propre isotrope. Il est
facile de le vérifier à partir d’un vecteur propre de ξ la représentant dans P.
Soit s une valeur propre de ξ, de vecteur propre la colonne de transposée (λ, µ) dans C2 . λ et µ
ne sont pas tous les deux nuls et
λλ µλ
ct + x3 x1 − ix2
ν=
est hermitienne de la forme
λµ µµ
x1 + ix2 ct − x3
Ainsi ν s’écrit ct + x1 σ1 + x2 σ2 + x3 σ3 et correspond à ct~e0 + ~x ∈ R4 .
Or ξ ν = s ν (les deux colonnes de ν correspondant à la même valeur propre s) d’où
ξνξ † = sνξ † = s(ξν)† = s(sν) = |s|2 ν
~ν est donc vecteur propre pour la matrice initiale, de valeur propre correspondante strictement
positive et par construction det(ν) = 0 : Q(~ν ) = 0.
5.3
Obtention de Log L : exemples
1. Si L est singulière , ce qui revient à L − I nilpotente, la détermination de LogL est simple :
par exemple


5 2/c 2/c −4/c
 2c 1
− σ2 ) 3 + σ1 + σ2 − 2σ3
0
−2 
 → ξ = 1 − i(σ
√1
√
.
= 1+σ1 +σ2 −i(σ1 −σ2 ))
L=
 2c 0
1
−2 
3
3
4c 2
2
−3
d’où — puisque (L − I)3 = 0 :


0 2/c 2/c 0
 2c 0
1
0 −2 

LogL = (L − I) − (L − I)2 = 

2c 0
0 −2 
2
0
2
2
0
et Log ξ = σ1 + σ2 − i(σ1 − σ2 )
2. Dans le cas général, il est commode de passer par P : par exemple


3
2/c 2/c 0
 0
σ1 + σ3 2 + σ1 + σ2
i + σ1 − σ2 − σ3 + 2i(σ1 + σ3 )
0
0 1

√
L=
=
 −2c −1 −2 0  → ξ = i √2 .
2
2
2c
2
1 0
et
√
2 ln( 1+2 5 ) + iπ σ1 − σ2 − σ3 + 2i(σ1 + σ3 )
√
Log ξ =
.
2
i 5
Σ
d’où Σ et un calcul avec Maple montre que e = L.
7
5.4
Transformations de Lorentz simples
Soit L ∈ L+ matrice du groupe spécial de Lorentz représentée dans P par
ξ = a + ib + u + iv unitaire , exponentielle de η = ũ + iṽ
et supposons ~u . ~v = 0 . Alors ou a = 0 ou b = 0 car ξ est unitaire.
Des calculs simples (cf en fin du §4) conduisent à
1. si a = 0 (la rotation de la forme polaire de L est un demi-tour, cas de l’exemple précédent) :
√
ln(b + 1 + b2 ) + iπ/2
√
η=
(u + iv)
i 1 + b2
u + iv et ũ + iṽ ne sont pas R-proportionnels et ũ . ṽ 6= 0 sauf si b = 0.
2. si b = 0. On vérifie alors que
u + iv et ũ + iṽ sont R − proportionnels et ũ . ṽ = 0
On dit alors que la matrice correspondante L est simple.
Dans ce cas en explicitant ξ à partir de la forme polaire L(R)L(U ) de L puisque
ξ = (cos 2θ − i sin 2θ n)(ch ϕ2 + sh ϕ2 l) : b = − sin 2θ sh ϕ2 ~n . ~l d’où
(a) L est une matrice de rotation ou un boost ou la matrice unité,
(b) ou l’axe de la rotation R est orthogonal au vecteur U du boost.
Ces matrices simples sont appelées
(a) elliptiques si
ṽ 2 − ũ2 > 0 → v 2 − u2 > 0 et 0 6 |a| < 1
(généralisation d’une rotation pure),
(b) singulières (ou paraboliques selon P. Lounesto[4] ) — déjà rencontrées — voire l’identité, si
ṽ 2 − ũ2 = v 2 − u2 = 0 et |a| = 1
(c) hyperboliques si
ṽ 2 − ũ2 < 0 → v 2 − u2 < 0 et 0 6 1 < |a|
(généralisation d’un boost).
Par exemple, le produit de deux matrices de Lorentz pures est simple du genre hyperbolique.
Similitudes dans L+ des matrices simples ou dont la forme polaire présente un demitour
Les matrices simples généralisent donc les matrices de rotation pure ou les boosts. Celles qui
ne sont pas singulières vérifient :
Les matrices de genre hyperboliques (ou elliptiques) sont L+ −semblables à des boosts (ou des
rotations pures).
Et les matrices dont la forme polaire présente un demi-tour sont L+ − semblables à des boosts.
Soit en effet ξ correspondant à la matrice simple non singulière L.
Un changement de base Q-orthonormée, sans changement des orientations du temps et de
l’espace, étant définie par une matrice de L+ à laquelle correspond ξ1 ∈ P, l’effet sur L donc sur
ξ de ce changement de base conduit à ξ 0 = ξ1 ξ ξ1−1 .
Il est clair que si ξ = a + ib + u + iv, ξ 0 = a + ib + u0 + iv 0 : a et b sont invariants, donc aussi
~u . ~v = ~u0 . ~v 0 et u2 − v 2 = u02 − v 02 .
En considérant la forme polaire de ξ1 et compte-tenu du fait qu’une rotation pure agit sur
les vecteurs ~u et ~v séparément, on peut se limiter à ne considérer qu’un boost pour ξ1 .
Soit donc ξ10 = ch φ2 + sh φ2 l et évaluons ξ 0 ξ (ξ 0 )−1 ou plus précisément
ξ 0 (u + iv)(ξ 0 )−1 = u0 + iv 0
8
.
On peut supposer que ni u ni v n’est nul (sinon L est une rotation pure ou un boost).
Prenons alors
~l = ~u ∧ ~v
||~u||.||~v ||
||~
u||
||~v ||
0
et il vient : u0 = (ch φ + ||~
u|| sh φ) u et v = (ch φ + ||~v || sh φ) v, d’où l’on conclut en précisant
tanh φ selon la valeur de ||~v ||/||~u|| différente de un car L n’est pas singulière : par un choix de φ
l’un des deux vecteurs ~u 0 ou ~v 0 est nul. Notons que seule l’hypothèse ~u . ~v = 0 a été utilisée (avec
u2 − v 2 6= 0)— c’est-à-dire que L est une matrice simple non singulière ou présente un demi-tour
dans sa décomposition polaire.
Décomposition d’une matrice non simple de L+ en un produit commutatif de deux
matrices de genres hyperbolique et elliptique
Il s’agit de généraliser la forme polaire d’une telle matrice, ce dernier produit n’étant alors
pas commutatif sauf si le vecteur du boost est colinéaire à celui dirigeant l’axe de la rotation ;
excluons ce cas qui se met à l’évidence sous cette forme de produit commutatif d’un boost( genre
hyperbolique) et d’une rotation pure ( genre elliptique).
Soit L ∈ L+ définie par ξ unitaire, et considérons η = ũ + iṽ telle que eη = ξ. Il s’agit de
trouver ξ1 et ξ2 simples de genres opposés telles que ξ = ξ1 . ξ2 = ξ2 . ξ1 . Notons ηi = ũi + iv˜i les
éléments de Vec(P) ⊕ P sVec(P) d’exponentielles les ξi , qu’il est commode d’utiliser puisque ξ1
et ξ2 commutent s’il en est de même de η1 et η2 et qu’alors η = η1 + η2 .
1. On est donc conduit à : η = η1 + η2 avec η1 .η2 = η2 .η1 ou encore à
ũ = u˜1 + u˜2
u~˜1 ∧ v~˜2 = u~˜2 ∧ v~˜1
ũ~i ∧ ~ṽ = ~ũ ∧ ~ṽ
avec
. Ainsi :
~
~
~
~
ṽ = v˜1 + v˜2
u˜1 ∧ u˜2 = v˜1 ∧ v˜2
ũ~i ∧ ~ũ = v~˜i ∧ ~ṽ
pour i = 1, 2
D’où l’on déduit, puisque ~ũ . ~ṽ 6= 0 (car L n’est pas une matrice simple) :
α1 + α2 = 1
ũi = αi ũ − βi ṽ
avec
β1 + β2 = 0
v˜i = βi ũ + αi ṽ
2. ξi correspondant à une matrice simple : ũ~i . v~˜i = 0 soit pour i = 1, 2
(αi2 − βi2 ) ~ũ . ~ṽ + αi βi (||~ũ||2 − ||~ṽ||2 ) = 0
Cette relation montre que αi et βi ne sont pas nuls. En posant ti = αi / βi , t1 et t2 sont
racines de l’équation
~ũ . ~ṽ t2 + (||~ũ||2 − ||~ṽ||2 ) t − ~ũ . ~ṽ = 0
de discriminant ∆ strictement positif : t1 et t2 existent et sont de signes opposés.
3. Et l’on a
||v~˜i ||2 − ||ũ~i ||2 =
∆ βi2
t.
~ũ . ~ṽ i
ξ1 et ξ2 correspondent à des matrices de genres l’un elliptique, l’autre hyperbolique.
Références
[1] Henri Bacry Leçons sur la théorie des groupes et les symétries des particules élémentaires
Gordon and Breach 1967.
[2] René Deheuvels Formes quadratiques et groupes classiques
Presses Universitaires de France 1981.
9
[3] Werner Greub Linear Algebra
Spinger 1981.
[4] Pertti Lounesto Clifford Algebras and Spinors
Cambridge University Press 1999.
[5] Abraham A. Ungar Thomas precession and its associated grouplike structure
Am. J. Phys. 59(9) pp 824-834, Sept 1991.
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