Arithmétique. - Maths au LFKL

Arithmétique.
I. La division euclidienne.
Définition
µ
Effectuer ………………….. de deux nombres entiers … et …, c’est ……… deux nombres entiers
un quotient….et un reste ... qui vérifient l’égalité…………………….. avec ………………..
……………………………………………………………………………………
……………………………………………..…………………………………….
………………………………………………………………………..………….
………………………………………………………………………..………….
II. Divisibilité.
a) Définition.
Définition
Lorsque dans la division euclidienne d’un nombre a par un nombre b le reste est égal à ……. On dit alors que
le nombre b……… le nombre …. On dit aussi que b est un ……. de a ou que a est un ……….de b.
Remarque : l’égalité de la division euclidienne est alors …………= ……………………..
……………………………………………………………………………………………………………….
Exemple : Tous les diviseurs de 12 sont………………………………………………………
Tous les multiples de 12 sont……………………………………………………
b) Critères de divisibilité.
Un nombre est divisible
Un nombre est divisible
Un nombre est divisible
Un nombre est divisible
Un nombre est divisible
Un nombre est divisible
par 2 lorsque ……………………………………………………...
par 3 lorsque ……………………………………………………...
par 4 lorsque ……………………………………………………...
par 5 lorsque ……………………………………………………...
par 9 lorsque ……………………………………………………...
par 10 lorsque ……………………………………………………...
III. Nombres premiers.
Liste des diviseurs de 24 : ………………………………………………………
Liste des diviseurs de 17 : ………………………………………………………
17 n’a que …. diviseurs, …et ……….., on dit que c’est un nombre ………………
Définition
On appelle nombre …………. un nombre qui n’a que …… diviseurs, ……………………….
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
Exemples :…………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
9
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
IV. PGCD.
a) Plus grand diviseur commun.
Liste des diviseurs de 24 : ………………………………………………………
Liste des diviseurs de 36 : ………………………………………………………
Liste des diviseurs communs de 24 et de 36 :…………………………………………
Plus grand diviseur commun de 24 et de 36 :…… On dit que … est le ……………………
et on le note ………..…………
Définition
Soit a et b deux nombres entiers positifs, on appelle , ……… de a et b ………………………….
……………… on le note………………..
Exemple : Trouve PGCD( 18 ; 48 )
……………………………………………………………………………………………………………….
b) Nombres premiers entre eux.
Liste des diviseurs de 24 : ………………………………………………………
Liste des diviseurs de 35 : ………………………………………………………
Liste des diviseurs communs de 24 et de 35 :…… Plus grand diviseur commun de 24 et de 35 :……
Définition
On dit que deux nombres sont …………………….. lorsqu’ils n’ont ……… diviseur commun : …..
On peut dire aussi : ……………………………………………..
Remarque : ne pas confondre :
 Un nombre premier : ……………………………………………………………...
 Deux nombres premiers entre eux :…………………………………………………...
c) Calcul du PGCD.

Exemple :
48
18
( 48 , 18 ) = ………
PGCD ( 18 , …. ) = ………
PGCD
.
Propriété
Si r est le ……….. dans la ……………….de a par b ( avec a > b ) alors ………..=………
Application : calcul du PGCD de 322 et 1078 par l’algorithme d’Euclide
Dans le tableau suivant, r est le reste dans la division euclidienne de a par b.
On écrit le nombre le
plus grand en premier
a
1078
b
322
r
1078 = … 322 + …. Avec …. < 322
…. = … …. + …. Avec …. < ….
…. = … …. + …. Avec …. < ….
…. = … …. + ….
PGCD (1078 , 322) = PGCD (…... , …..) = PGCD (…... , …..)= PGCD (…... , …..) =………
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V. A quoi ça sert ?
a) Fraction irréductible.
Définition 1
On dit qu’une fraction est …………… si ………………………………………………..
Définition 2
On dit qu’une fraction…. est …………… si …………………………………………..
322
sous le forme d’une fraction irréductible.
1078
322
…… ……
On a vu que PGCD (1078 , 322) =……. On écrit
=
=
1078 …… ……
On a simplifié par le …….. de 322 et 1078, le plus grand diviseur commun de 322 et 1078, donc la
fraction obtenue est …………….
Exemple : Ecrire
b) Exercice type brevet.
1.
2.
Déterminer le PGCD des nombres 108 et 135.
Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. Il veut faire des paquets de sorte que :
- tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges,
- tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires,
- toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées.
a. Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser ?
b. Combien y aura-t- il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ?
1. On calcule PGCD ( 108 ; 135 ) en utilisant l ’……………. de Mr …………..
Dans le tableau suivant, r est le reste dans la division euclidienne de a par b.
a
b
r
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
2. a) Il faut que tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges et que toutes les billes rouges
soient utilisées, donc le nombre de ……….. doit diviser le nombre de ………………………..
Il faut que tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires et que toutes les billes noires soient
utilisées, donc le nombre de ……….. doit diviser le nombre de ………………………..
Donc le nombre de ……………. est un diviseur …………du nombre de billes rouges et du nombre
de billes noires, et comme on veut qu’il soit le maximum possible, il s’agit ………………………..
Donc il pourra réaliser au maximum …… paquets.
b) il y aura alors dans chaque paquet ….. : ….. = ……. billes rouges et ….. : ….. = ……. billes
noires.
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