3ème Activité – Découverte du PGCD 2010/2011 - g

3ème Activité – Découverte du PGCD 2010/2011
Partie 1 : Vérifions les acquis sur les nombres.
Cite moi tous les diviseurs du nombre 20 : __________________________________________________
Cite moi 5 multiples de 4 : ______________________________________________________________
Quel le critère de divisibilité d'un nombre par 2 ? ____________________________________________
par 3 ? ____________________________________________
par 5 ? ____________________________________________
par 9 ? ____________________________________________
par 10 ? ____________________________________________
Simplifie la fraction
42
63
: ______________________________________________________________
Écris la division euclidienne de 18 par 5 : ___________________________________________________
Partie 2 : A la découverte du PGCD.
Problème :
Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires.
Il veut faire des paquets de sorte que :
- tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges;
- tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires;
- toutes les billes rouges et les billes noires soient utilisées.
a) On cherche dans un premier temps le nombre maximal de paquets que l'on pourra réaliser. Pour cela, on va
chercher en combien on peut diviser chaque couleur de billes.
Cite et classe dans l'ordre croissant tous les diviseurs entiers positifs de 108 : (il y en a 12)
- - - - - - - - - - -
Cite et classe dans l'ordre croissant tous les diviseurs entiers positifs de 135 : (il y en a 8)
- - - - - - -
On appelle diviseur commun à deux nombres, un nombre qui divise à la fois ces deux nombres.
Cherche un diviseur commun à 108 et 135. Entoure le.
Combien peut-on alors réaliser de paquets de billes ?___________________________________________
b) Combien y aura-t-il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ? ___________________
__________________________________________________________________________________
Conclusion :
Dans des problèmes concrets, il nous arrive de chercher des diviseurs communs à deux nombres a et b.
Parmi ces diviseurs, il y en a un de particulier, le Plus Grand Commun Diviseur de deux nombres a et b est
appelé PGCD de a et b. On le note :
PGCD ( a ; b )

Partie 3 : Recherche du PGCD de deux nombres à partir d'algorithme :
a) Donner un diviseur d (différent de 1), commun à 45 et 35. _____________________________________
b) d est-il un diviseur de 45 + 35 ? ______________________
c) d est-il un diviseur de 45 – 35 ? _______________________
d) Complète: si d est un diviseur de deux entiers a et b , alors d est un diviseur de leur __________ et de
leur ______________.
Par conséquent : PGCD ( a ; b ) = PGCD ( a - b ; b )
Application : Si on veut calculer le PGCD de 26187 et 11223. Il s'agit de grands nombres, il sera donc très
fastidieux de rechercher tous les diviseurs de chacun des nombres puis de trouver le plus grand diviseur
commun. Nous allons nous aider de la propriété qu'on a vu précédemment et des algorithmes suivants :
• Algorithme des soustractions successives :
Utilise ce procédé pour
calculer le PGCD de 325 et
150 :
• Algorithme d'Euclide :
Utilise ce procédé pour
calculer le PGCD de 456 et
132 :
PGCD (325 ; 150) =
PGCD (456 ; 132) =