3ème Activité – Découverte du PGCD 2010/2011 - g
publicité
3ème Activité – Découverte du PGCD 2010/2011 Partie 1 : Vérifions les acquis sur les nombres. Cite moi tous les diviseurs du nombre 20 : __________________________________________________ Cite moi 5 multiples de 4 : ______________________________________________________________ Quel le critère de divisibilité d'un nombre par 2 ? ____________________________________________ par 3 ? ____________________________________________ par 5 ? ____________________________________________ par 9 ? ____________________________________________ par 10 ? ____________________________________________ 42 Simplifie la fraction 63 : ______________________________________________________________ Écris la division euclidienne de 18 par 5 : ___________________________________________________ Partie 2 : A la découverte du PGCD. Problème : Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. Il veut faire des paquets de sorte que : - tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges; - tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires; - toutes les billes rouges et les billes noires soient utilisées. a) On cherche dans un premier temps le nombre maximal de paquets que l'on pourra réaliser. Pour cela, on va chercher en combien on peut diviser chaque couleur de billes. Cite et classe dans l'ordre croissant tous les diviseurs entiers positifs de 108 : (il y en a 12) - - - - - - - - - - - Cite et classe dans l'ordre croissant tous les diviseurs entiers positifs de 135 : (il y en a 8) - - - - - - - On appelle diviseur commun à deux nombres, un nombre qui divise à la fois ces deux nombres. Cherche un diviseur commun à 108 et 135. Entoure le. Combien peut-on alors réaliser de paquets de billes ?___________________________________________ b) Combien y aura-t-il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ? ___________________ __________________________________________________________________________________ Conclusion : Dans des problèmes concrets, il nous arrive de chercher des diviseurs communs à deux nombres a et b. Parmi ces diviseurs, il y en a un de particulier, le Plus Grand Commun Diviseur de deux nombres a et b est appelé PGCD de a et b. On le note : PGCD ( a ; b ) Partie 3 : Recherche du PGCD de deux nombres à partir d'algorithme : a) Donner un diviseur d (différent de 1), commun à 45 et 35. _____________________________________ b) d est-il un diviseur de 45 + 35 ? ______________________ c) d est-il un diviseur de 45 – 35 ? _______________________ d) Complète: si d est un diviseur de deux entiers a et b, alors d est un diviseur de leur __________ et de leur ______________. Par conséquent : PGCD ( a ; b ) = PGCD ( a - b ; b ) Application : Si on veut calculer le PGCD de 26187 et 11223. Il s'agit de grands nombres, il sera donc très fastidieux de rechercher tous les diviseurs de chacun des nombres puis de trouver le plus grand diviseur commun. Nous allons nous aider de la propriété qu'on a vu précédemment et des algorithmes suivants : • Algorithme des soustractions successives : Utilise ce procédé pour calculer le PGCD de 325 et 150 : PGCD (325 ; 150) = • Algorithme d'Euclide : Utilise ce procédé pour calculer le PGCD de 456 et 132 : PGCD (456 ; 132) =
