TERMINALE S CALCUL DE PRIMITIVES

TERMINALE S
CALCUL DE PRIMITIVES
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Cas des fonctions polynômes
Une seule formule à connaître
si f(x) = x
n
alors F(x) = x
n+1
n + 1 + k
Exemple :
Pour trouver une primitive F de la fonction f définie, sur R, par : f(x) = 2x
3
– 5x² + 7
3x - 1
SOLUTION
F(x) = 2 × x
4
4 – 5 × x
3
3 + 7 3 × x² 2 – 1x + k = x
4
2 – 5 3 x
3
+ 7
6 x² – 1x + k
Cas des fonctions usuelles non polynômes
Bien connaître les formules de dérivation des fonctions usuelles pour les lire « à l’envers »
1
x
’= -1
x²
( )
x’ = 1
2 x
( )
ln x ’ = 1
x
( )
e
x
’ = e
x
(sin x)’ = cos x (cos x)’ = -sin x Ainsi
• Une primitive de -1
x² est 1 x + k
• Une primitive de 1
2 x est x + k ou encore une primitive de 1 x est 2 x + k
• Une primitive de e
x
est e
x
+ k
• Une primitive de 1
x est ln (x) + k
• Une primitive de cos x est sin x + k
• Une primitive de sin x est - cos x + k
Exemple :
Déterminer une primitive F de la fonction f définie, pour x de ]0 ; +∞[, par :
f(x) = 1
x + 3 x² – e
x
+ 2
x + sin x
SOLUTION
Comme f(x) = 1
x - 3 × -1 x² – e
x
+ 2 × 1
x + sin x or 2 × 1 x = 4 × 1 2 x
Alors F(x) = ln x – 3 × 1
x – e
x
+ 4 × x - cos x + k = ln x – 3
x – e
x
+ 4 x - cos x + k

TERMINALE S
CALCUL DE PRIMITIVES
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Cas des fonctions composées
Bien connaître les formules des dérivées pour les lire « à l’envers »
ln (u) a pour dérivée u’
u donc une primitive de u’ u est ln (u) + k
e
u
a pour dérivée u’ e
u
donc une primitive de u’ e
u
est e
u
+ k
u a pour dérivée u’
2 u donc une primitive de u’ u est 2 u + k
u
n
a pour dérivée nu’u
n-1
donc une primitive de u’u
n
est u
n+1
n + 1+ k
sin (u) a pour dérivée u’cos (u) donc une primitive de u’cos (u) est sin (u) + k
cos (u) a pour dérivée -u’sin (u) donc une primitive de u’sin (u) est - cos (u) + k
Exemple :
Déterminer une primitive F de la fonction f définie, pour x de ]0 ; +∞[, par :
f(x) = 5xe
x²
+ 2x
x² + 1 - 4x
x
4
+ cos (3x – 4)
SOLUTION
Comme f(x) = 5
2 × 2xe
x²
+ 2 × 1
2 × 2x
x² + 1 - 2x
x² + 1 3 × 3cos (3x – 4)
Formes u’ e
u
et u’
u et u’
u et cos u
Alors
F(x) = 5
2 × e
x²
– 2 ×x² + 1 – ln(x
²
) + 1
3 × sin (3x – 4) + k =
5
2 e
x²
– 2 x² + 1 –ln(x²) + 1
3sin (3x – 4) + k