TERMINALE S CALCUL DE PRIMITIVES

TERMINALE S
CALCUL DE PRIMITIVES
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Cas des fonctions polynômes
Une seule formule à connaître
xn+1
si f(x) = xn alors F(x) =
+k
n+1
Exemple :
7
Pour trouver une primitive F de la fonction f définie, sur R, par : f(x) = 2x3 – 5x² + x - 1
3
SOLUTION
x4
x3 7 x²
x4 5 3 7
F(x) = 2 × – 5 × + × – 1x + k =
– x + x² – 1x + k
4
3 3 2
2 3
6
Cas des fonctions usuelles non polynômes
Bien connaître les formules de dérivation des fonctions usuelles pour les lire « à l’envers »
1
1’ -1
(ln x)’ = 1
(ex)’ = ex
x =
x) ’ =
(
  x²
x
2 x
(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = -sin x
Ainsi
-1
1
• Une primitive de est + k
x²
x
1
1
• Une primitive de
est x + k
ou encore
une primitive de
est 2 x + k
x
2 x
• Une primitive de ex est ex + k
1
• Une primitive de est ln (x) + k
x
• Une primitive de cos x est sin x + k
• Une primitive de sin x est - cos x + k
Exemple :
Déterminer une primitive F de la fonction f définie, pour x de ]0 ; +∞[, par :
2
1 3
+ sin x
f(x) = + – ex +
x x²
x
SOLUTION
1
-1
1
1
1
– ex + 2 ×
+ sin x
or 2 ×
=4×
Comme f(x) = - 3 ×
x
x²
x
x
2 x
1
3
Alors F(x) = ln x – 3 × – ex + 4 × x - cos x + k = ln x – – ex + 4 x - cos x + k
x
x
TERMINALE S
CALCUL DE PRIMITIVES
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Cas des fonctions composées
Bien connaître les formules des dérivées pour les lire « à l’envers »
u’
u’
ln (u) a pour dérivée
donc une primitive de est ln (u) + k
u
u
u
u
e a pour dérivée u’ e
donc une primitive de u’ eu est eu + k
u’
u’
u a pour dérivée
donc une primitive de
est 2 u + k
u
2 u
un+1
un a pour dérivée nu’un-1
donc une primitive de u’un est
+k
n+1
sin (u) a pour dérivée u’cos (u)
donc une primitive de u’cos (u) est sin (u) + k
cos (u) a pour dérivée -u’sin (u)
donc une primitive de u’sin (u) est - cos (u) + k
Exemple :
Déterminer une primitive F de la fonction f définie, pour x de ]0 ; +∞[, par :
2x
4x
f(x) = 5xex² +
- 4 + cos (3x – 4)
x² + 1 x
SOLUTION
5
1
2x
2x 1
Comme f(x) = × 2xex² + 2 × ×
- + × 3cos (3x – 4)
2
2
x² + 1 x² 3
u’
u’
Formes
u’ eu et
et
et cos u
u
u
Alors
1
5
F(x) = × ex² – 2 × x² + 1 – ln(x²) + × sin (3x – 4) + k =
3
2
5 x²
1
e – 2 x² + 1 –ln(x²) + sin (3x – 4) + k
2
3