Ch1 – Reperage_et_configurations_du_plan

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2nde
Chapitre 1 - Repérage et configurations du plan
2012-2013
Chapitre 1 - Repérage et configurations du plan
Activités d’approche
7
et 2 sur une droite graduée d’origine O. Placer A
3
1. (a) Deux points A et B ont pour abscisses
et B. Calculer la distance AB.
(b) Lire graphiquement : les coordonnées de C, l’ordonnée de D, l’abscisse de E.
y
×
E
1
×
0
1
D
x
×
C
2. Calculer (sans calculatrice) :
1 5
−
√
(e) 2 4
(f) (3 × 2)2
(a) (6 − 3)2
(b) 62 − 32
(c) 32 + 42
(d)
2
2
3. (a) Reconnaître ces configurations particulières. Donner les hypothèses et la (ou les) conclu2+
√
sion(s) que l’on peut en tirer.
(b) Quelle est la nature du triangle ABC :
i. si C appartient à la médiatrice de [AB] ?
ii. si AB = 12 cm, BC = 9 cm, AC = 15 cm ?
-1-
4
3
Chapitre 1 - Repérage et configurations du plan
2nde
I
2012-2013
Rappels
I.1
I.1.1
Les triangles
Droites remarquables dans un triangle
Définition 1
La médiatrice d’un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui perpendiculaire à ce segment.
A
B
Propriété
La médiatrice d’un segment est l’axe de symétrie de ce segment.
La médiatrice du segment [AB] est l’ensemble des points M équidistants de A et de B (c’est à dire
tels que AM = BM ).
Les médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes en un point O qui est le centre du cercle
circonscrit à ce triangle.
C
O
B
A
-2-
2nde
Chapitre 1 - Repérage et configurations du plan
2012-2013
Définition 2
La bissectrice d’un angle \
BAC est la demi-droite qui partage l’angle en deux angles adjacents
de même mesure.
Propriété
\ est équidistant des côtés (AB) et (AC).
Tout point de la bissectrice de l’angle BAC
B
A
C
Les bissectrices des trois angles d’un triangle sont concourantes en un point I qui est le centre du
cercle inscrit dans le triangle.
C
I
B
A
Définition 3
Dans un triangle ABC la médiane issue du sommet A est la droite passant par A et par le milieu
I du côté opposé [BC].
C
//
I
//
B
A
-3-
Chapitre 1 - Repérage et configurations du plan
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2012-2013
Définition 4
La hauteur issue du sommet A du triangle ABC est la perpendiculaire à (BC) passant par A .
C
B
A
I.1.2
Proportionnalité dans le triangle. Théorème de Thalès
Théorème (de Thalès : −627 et −547)
O, A, B sont trois points du plan non alignés, M et N appartiennent respectivement aux droites
(OA) et (OB).
OB
AB
OA
=
=
.
– Si les droites (AB) et (M N ) sont parallèles alors
OM
ON
MN
OB
OA
=
et si les points O, A, M et O, B, N sont alignés dans le même ordre alors les
– Si
OM
ON
droites (AB) et (M N ) sont parallèles.
N
B
b
b
B
b
M
b
b
b
O
O
b
b
b
A
A
b
M
N
Théorème (des milieux)
On se place dans un triangle quelconque.
– La droite passant par les milieux de deux des côtés est parallèle au troisième côté
– Si une droite passe par le milieu d’un premier côté et est parallèle au second côté alors elle passe
par le milieu du troisième côté.
-4-
Chapitre 1 - Repérage et configurations du plan
2nde
2012-2013
C
b
on a : D milieu de [AB]
E milieu de [AC]
E
b
A
I.1.3
b
b
b
D
alors : (DE) k (BC)
et
DE = 21 BC
B
Triangle rectangle
Définition 5
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.
Théorème (de Pythagore : −580, −500)
Si le triangle ABC est rectangle en A alors BC 2 = AC 2 + AB 2 .
C
K
A
B
Propriété
– Le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu de [BC] on a : BK = CK = AK
b = côté adjacent = AB
– cos B
hypoténuse
BC
AC
côté
opposé
b=
=
– sin B
hypoténuse
BC
côté opposé
AC
b
– tan B =
=
côté adjacent
AB
-5-
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2nde
I.1.4
2012-2013
Triangle isocèle
Définition 6
Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de la même longueur.
A
B
K
C
Propriété
Si ABC est un triangle isocèle en A alors :
b
– La médiane issue de A est aussi médiatrice de [BC], hauteur issue de A, bissectrice de A.
b = C.
b
– Cette droite est un axe de symétrie du triangle donc B
I.1.5
Triangle équilatéral
Définition 7
Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de la même longueur.
A
B
C
Propriété
Si ABC est équilatéral alors :
– Les médianes sont aussi hauteurs, médiatrices, bissectrices des angles et axes de symétrie du triangle
ABC.
b =C
b = 60˚.
– Ab = B
-6-
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2nde
I.2
2012-2013
Le cercle
Définition 8
Le cercle de centre O et de rayon r (r > 0) est l’ensemble des points M du plan tels que OM = r.
I.3
Le parallélogramme
Définition 9
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux à deux.
A
B
O
D
C
Propriété
Si ABCD est un parallélogramme alors :
– Les diagonales ont le même milieu. Ce milieu est le centre de symétrie du parallélogramme.
– ABCD a ses côtés opposés de même longueur et ses angles opposé de même longueur.
I.4
I.4.1
Rectangle, losange, carré
Rectangle
Définition 10
Un rectangle est quadrilatère qui a quatre angles droits.
A
B
O
D
C
-7-
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2nde
Propriété
Si ABCD est un rectangle alors :
– ABCD est un parallélogramme (donc il en a toutes les propriétés).
– Ses diagonales ont la même longueur.
I.4.2
Losange
Définition 11
Un losange est un quadrilatère qui a ses côtés de la même longueur.
B
A
C
O
D
Propriété
Si ABCD est un losange alors :
– ABCD est un parallélogramme.
– Ses diagonales sont perpendiculaires.
I.4.3
Carré
Définition 12
Un carré est un quadrilatère qui a ses côtés de la même longueur et quatre angles droits.
Propriété
Un carré est à la fois un rectangle et un losange (donc il a les mêmes propriétés).
-8-
2012-2013
Chapitre 1 - Repérage et configurations du plan
2nde
II
2012-2013
Coordonnées dans le plan
Définition 13
Définir un repère du plan, c’est choisir 3 points non alignés dans un ordre précis : O, I, J.
On note ce repère (O, I, J), et :
– le point O est l’origine du repère ;
– la droite (OI) est l’axe des abscisses et le point I donne l’unité sur cet axe ;
– la droite (OJ) est l’axe des ordonnées et le point J donne l’unité sur cet axe.
Remarque
– L’axe des abscisses est souvent horizontal mais ce n’est pas une obligation.
– Si le triangle OIJ est rectangle en O alors le repère (O, I, J) est dit orthogonal. Les axes du repère
sont perpendiculaires.
– Si le triangle OIJ est rectangle et isocèle en O alors le repère (O, I, J) est dit orthonormé. Les
axes du repère sont perpendiculaires et l’unité est la même sur les deux axes.
Définition 14
On considère un repère (O, I, J) du plan et un point quelconque M .
– En traçant la parallèle à la droite (OJ) passant par M , on obtient sur l’axe (OI) l’abscisse xM
du point M .
– En traçant la parallèle à la droite (OI) passant par M , on obtient sur l’axe (OJ) l’ordonnée
yM du point M .
– Le couple de réels (xM ; yM ) est le couple des coordonnées du point M dans le repère (O, I, J).
yM
J
b
O
b
b
b
I
xM
-9-
M
Chapitre 1 - Repérage et configurations du plan
2nde
III
2012-2013
Calcul de distances dans un repère orthonormé
TD : On considère le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J).
1. Placer les points A(2; 5) et B(6; 2).
2. Tracer la droite parallèle à (OJ) passant par le point A et la droite parallèle à (OI) passant par
le point B. Elles se coupent en C.
3. Déterminer la longueur AC et la longueur BC.
4. Déterminer la nature du triangle ABC. En déduire la longueur AB.
Propriété
On considère dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J) les points A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ).
La distance entre les points A et B est :
AB =
q
(xB − xA )2 + (yB − yA )2
l’unité de longueur étant l’unité commune aux deux axes.
Remarque
Dans la formule ci-dessus (xB − xA )2 peut être remplacé par (xA − xB )2 , car les nombres xB − xA et
xA − xB sont opposés et ont par conséquent le même carré. De même pour le terme en y.
Démonstration :
On raisonne dans le cas xA < xB et yA > yB .
On place le point C ayant même abscisse que A et même ordonnée que B. Les axes du repère étant
perpendiculaires, le triangle ABC est rectangle en C.
yA
A
b
J
b
xA
xB
b
b
O
b
C
I
b
yB
B
D’après le théorème de Pythagore, AB 2 = AC 2 + BC 2 .
Or BC = xB − xA et AC = yA − yB .
D’où : AB 2 = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 .
Une distance étant positive, on obtient : AB =
p
(xB − xA )2 + (yB − yA )2 .
-10-
2nde
Chapitre 1 - Repérage et configurations du plan
2012-2013
Algorithme : calcul de distance entre deux points
Variables :
xA , yA , xB , yB , d sont cinq nombres réels
Initialisation, entrées :
Saisir xA
Saisir yA
Saisir xB
Saisir yB
Traitement :
p
d prend la valeur (xB − xA )2 + (yB − yA )2
Sortie :
Afficher la valeur de d
IV
Coordonnées du milieu d’un segment
TD : Le plan est muni d’un repère.
On donne les coordonnées des points A et B dans le tableau ci-dessous.
K est le milieu du segment [AB].
A
B
K
cas n˚1
(2 ; 0)
(4 ; 6)
cas n˚2
(-2 ; 1)
(2 ; -3)
cas n˚3
(-6 ; -4)
(10 ; -3)
cas n˚4
(1,5 ; 4)
(2 ; 3)
1. Placer A et B puis K et compléter le tableau.
2. Proposer une formule qui permet de calculer l’abscisse de K à partir de celles de A et B.
Et pour l’ordonnée de K ?
Propriété (Admise)
On considère dans le plan muni d’un repère (O, I, J) les points A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ).
xA + xB y A + y B
;
).
Alors le milieu du segment [AB] a pour coordonnées (
2
2
Algorithme : calcul des coordonnées du milieu d’un segment
Variables :
xA , yA , xB , yB , x, y sont six nombres réels
Initialisation, entrées :
Saisir xA
Saisir yA
Saisir xB
Saisir yB
Traitement :
xA + xB
x prend la valeur
2
yA + yB
y prend la valeur
2
Sortie :
Afficher la valeur de x
Afficher la valeur de y
-11-
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