Ch1 – Reperage_et_configurations_du_plan

2nde Chapitre 1 - Repérage et configurations du plan 2012-2013
Chapitre 1 - Repérage et configurations du plan
Activités d’approche
1. (a) Deux points Aet Bont pour abscisses 7
3et 2 sur une droite graduée d’origine O. Placer A
et B. Calculer la distance AB.
(b) Lire graphiquement : les coordonnées de C, l’ordonnée de D, l’abscisse de E.
0 1
1
×C
×D
×E
x
y
2. Calculer (sans calculatrice) :
(a) (6 −3)2(b) 62−32(c) √32+ 42(d)
2 + 4
3
2(e)
1
2−5 4
2(f) (3 ×√2)2
3. (a) Reconnaître ces configurations particulières. Donner les hypothèses et la (ou les) conclu-
sion(s) que l’on peut en tirer.
(b) Quelle est la nature du triangle ABC :
i. si Cappartient à la médiatrice de [AB] ?
ii. si AB = 12 cm, BC = 9 cm, AC = 15 cm ?
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I Rappels
I.1 Les triangles
I.1.1 Droites remarquables dans un triangle
Définition 1
La médiatrice d’un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui perpendi-
culaire à ce segment.
A
B
Propriété
La médiatrice d’un segment est l’axe de symétrie de ce segment.
La médiatrice du segment [AB] est l’ensemble des points Méquidistants de Aet de B(c’est à dire
tels que AM =BM).
Les médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes en un point Oqui est le centre du cercle
circonscrit à ce triangle.
AB
C
O
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Définition 2
La bissectrice d’un angle
\
BAC est la demi-droite qui partage l’angle en deux angles adjacents
de même mesure.
Propriété
Tout point de la bissectrice de l’angle
\
BAC est équidistant des côtés (AB) et (AC).
B
C
A
Les bissectrices des trois angles d’un triangle sont concourantes en un point Iqui est le centre du
cercle inscrit dans le triangle.
AB
C
I
Définition 3
Dans un triangle ABC la médiane issue du sommet Aest la droite passant par Aet par le milieu
Idu côté opposé [BC].
AB
C
I
// //
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Définition 4
La hauteur issue du sommet Adu triangle ABC est la perpendiculaire à (BC)passant par A.
AB
C
I.1.2 Proportionnalité dans le triangle. Théorème de Thalès
Théorème (de Thalès : −627 et −547)
O,A,Bsont trois points du plan non alignés, Met Nappartiennent respectivement aux droites
(OA) et (OB).
– Si les droites (AB) et (MN) sont parallèles alors OA
OM =OB ON =AB MN .
– Si OA
OM =OB ON et si les points O,A,Met O,B,Nsont alignés dans le même ordre alors les
droites (AB) et (MN) sont parallèles.
OA
B
M
N
OA
B
M
N
Théorème (des milieux)
On se place dans un triangle quelconque.
– La droite passant par les milieux de deux des côtés est parallèle au troisième côté
– Si une droite passe par le milieu d’un premier côté et est parallèle au second côté alors elle passe
par le milieu du troisième côté.
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AB
C
D
E
on a : Dmilieu de [AB]
Emilieu de [AC]
alors : (DE)k(BC)
et DE =1
2BC
I.1.3 Triangle rectangle
Définition 5
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.
Théorème (de Pythagore : −580, −500)
Si le triangle ABC est rectangle en Aalors BC2=AC2+AB2.
AB
C
K
Propriété
– Le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu de [BC] on a : BK =CK =AK
– cos b B=côté adjacent
hypoténuse =AB BC
– sin b B=côté opposé
hypoténuse =AC BC
– tan b B=côté opposé
côté adjacent =AC AB
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