FACTORISATION

FACTORISATION
Chapitre 2
2.1. Définitions
Factoriser une expression, c'est la transformer en un produit d'expressions.
Développer une expression, c'est la transformer en une somme d'expressions.
Exemples
3x3 + 6x2
se factorise en
3x2(x + 2)
3x2(x + 2)
se développe en
3x3 + 6x2
x2 – x – 2
se factorise en
(x + 1)(x – 2)
(x + 1)(x – 2) se développe en
x2 – x – 2
En lisant de gauche à droite, 3x3 + 6x2 = 3x2(x + 2) est une factorisation, alors que
3x2(x + 2) = 3x3 + 6x2 est un développement.
Factorisation et développement sont des actions contraires; pour vérifier qu'une factorisation est
correcte, il suffit de développer l'expression obtenue et de comparer avec l'expression de départ.
2.2. Pourquoi faut-il factoriser ?
La factorisation est une notion fondamentale du cours d'algèbre, car elle permet d'utiliser deux
propriétés importantes des nombres réels: la règle des signes et les règles de la multiplication par
zéro.
Par exemple, si l'on s'intéresse à l'expression x2 – x – 2 et que l'on sait déjà que
x2 – x – 2 = (x + 1)(x – 2), on peut facilement trouver les valeurs de x pour lesquelles cette
expression vaut zéro.
En effet, pour que x2 – x – 2 soit égal à zéro, il faut que le produit (x + 1)(x – 2) soit nul, mais
pour que ce produit soit nul, il faut que l'un des deux termes soit nul et ceci n'est possible que
si x = -1 ou x = 2.
Grâce à la factorisation, on voit donc que l'équation x2 – x – 2 = 0 possède exactement deux
solutions: -1 et 2.
De même si l'on veut trouver les valeurs de x pour lesquelles l'expression 3x3 + 6x2 est négative, il
suffit de savoir pour quelles valeurs le produit 3x2(x + 2) est négatif. Selon la règle des signes,
pour que ce produit soit négatif, il faut que l'un des termes soit négatif et l'autre positif. Mais on sait
déjà que le terme 3x2 n'est jamais négatif, donc on peut dire que le produit 3x2(x + 2) sera négatif
pour chaque valeur de x pour laquelle (x + 2) sera négatif, càd pour tous les x plus petits que -2.
Grâce à la factorisation, on voit donc que l'inéquation 3x3 + 6x2 < 0 possède une infinité de
solutions: tous les x tels que x < -2.
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Dans les deux exemples ci-dessus, il était fondamental d'avoir factorisé l'expression à étudier, car
les propriétés utilisées sont des propriétés de la multiplication des nombres réels.
Il existe deux grandes techniques pour factoriser une expression algébrique: la mise en évidence et
les identités remarquables.
2.3. Mise en évidence
La mise en évidence est la façon la plus simple de factoriser une expression et c'est la première à
laquelle il faut penser. Elle est définie par la relation
A·B ± A·C = A·(B ± C)
qui peut être généralisée à un nombre quelconque de termes
A·B ± A·C ± … ± A·N = A·(B ± C ± … ± N)
Mise en évidence et distributivité sont des actions contraires; pour vérifier qu'une mise en
évidence est correcte, il suffit d'effectuer la distributivité et de comparer le résultat obtenu avec
l'expression de départ.
Pratiquement, pour mettre en évidence un terme, il faut "voir" les expressions sous la forme de
somme de produits.
Exemple
Si l'on voit l'expression 3x3 + 6x2 sous la forme 3·x2·x + 2·3·x2, il devient évident que l'on
peut mettre en évidence le terme 3x2 ;
alors 3x3 + 6x2 = 3x2·x + 2·3x2 = 3x2(x + 2).
Dans le même ordre d'idées, il est souvent utile de "voir" A sous la forme 1·A et la différence
(A – B) sous la forme -(B – A).
Exemple
3ax – x = 3ax – 1·x = x(3a – 1)
(x – 1)2 + 2(1 – x) = (x – 1)2 – 2(x – 1) = (x – 1)[(x – 1) – 2] = (x – 1)(x – 3)
2.4. Identités remarquables
Les identités remarquables sont des formules que l'on peut démontrer facilement à l'aide des
propriétés des nombres réels. Nous utiliserons les trois identités remarquables suivantes:
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(1)
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(2)
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
(3)
(A – B)(A + B) = A2 – B2
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Démons.
Nous allons démontrer la première identité en justifiant chaque étape:
(A + B)2 = (A + B)(A + B)
déf. du carré
= A2 + AB + BA + B2 distributivité (généralisée …)
= A2 + AB + AB + B2 commutativité de la multiplication
= A2 + 2AB + B2
addition des termes semblables
On démontre de la même façon les deux autres identités.
Remarque
Le terme 2AB s'appelle double produit et se lit "2 a b".
Les identités remarquables sont donc des égalités vraies quelques soient les valeurs de A et B; nous
les utiliserons aussi bien pour le développement que pour la factorisation d'une expression.
Exemples
(x + 3)2 (= x2 + 2·3·x + 32) = x2 + 6x + 9
(5x2 + 2ay)2 (= (5x2)2 + 2·5x2·2ay + (2ay)2) = 25x4 + 20ax2y + 4a2y2
4x2 – 9y2 = 22x2 – 32y2 = (2x)2 – (3y)2 = (2x + 3y)(2x - 3y)
Remarque
Il existe d'autres identités remarquables donnant, par exemple, le développement de
(A ± B)3 ou de (A ± B)4 ; nous en étudierons quelques unes par la suite.
Pour factoriser une expression donnée, il faut toujours commencer par mettre en évidence le
maximum de termes possibles et ensuite seulement penser aux identités remarquables:
si on ne met en évidence que le x dans l'expression 5x3 – 125x, on ne voit pas comment continuer
la factorisation :
5x3 – 125x = x(5x2 – 125) = ?
mais si l'on voit qu'il est possible de mettre en évidence 5x, alors
5x3 – 125x = 5x(x2 – 25) = 5x(x – 5)(x + 5).
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2.5. Fractions rationnelles
Définition
Une fraction rationnelle est une expression algébrique qui peut être mise sous la forme
d'un quotient de deux polynômes.
Exemples
x+3
1) x – 5
2)
et
x+ x+3
x–5
x2 + 3x – 4
1 + x2
sont des fractions rationnelles.
n'est pas une fraction rationnelle.
Contrairement aux expressions algébriques vues jusqu'ici, les fractions rationnelles peuvent ne pas
exister pour certaines valeurs de la variable; càd qu'il peut exister des valeurs de la variable pour
lesquelles il n'est pas possible de calculer la valeur de la fraction rationnelle.
x+3
Par exemple, il est possible de calculer la valeur de la fraction rationnelle x – 5 lorsque x = 3 (on
trouve -3), mais il est impossible de déterminer sa valeur lorsque x = 5 (car il faudrait diviser 8 par
0, ce qui est impossible !).
Définition
Le domaine de définition d'une expression mathématique est l'ensemble des nombres
réels pour lesquels cette expression existe, càd pour lesquels il est possible de
déterminer sa valeur.
On note généralement DA le domaine de définition de l'expression A.
Exemples
x+3
1) Si A(x) = x – 5 , alors DA = R\{5}, car 5 est la seule valeur pour laquelle la fraction
rationnelle A(x) n'existe pas; pour tous les autres nombres réels, il est possible de
calculer la valeur de cette expression.
x2 + 3x – 4
2) Si B(x) = 1 + x2 , alors DB = R, car cette expression existe pour n'importe quelle
valeur de la variable (car 1 + x2 n'est jamais égal à zéro).
Pour additionner, soustraire, multiplier ou diviser des fractions rationnelles, on agit de la même
façon qu'avec des fractions numériques. Il faut donc passer par un dénominateur commun pour les
additions et les soustractions, alors que la division se fait en multipliant par la fraction inverse.
Exemples
5
x–2
5(x + 2) + (x – 2)(x – 3)
5x + 10 + x2 – 5x + 6
x2 + 16
=
= (x – 3)(x + 2)
x–3 + x+2 =
(x – 3)(x + 2)
(x – 3)(x + 2)
5 :x–2
5
x+2
5(x + 2)
=
·
=
x–3 x+2
x–3 x–2
(x – 3)(x – 2)
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