Th龐ories homotopiques dans les topos

Journal of Pure and Applied Algebra 174 (2002) 43 – 82
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Theories homotopiques dans les topos
Denis-Charles Cisinski
Institut de Mathematiques de Jussieu, Universit e Paris 7 Denis Diderot, Case Postale 7012, 2, Place
Jussieu, F-75251 Paris, Cedex 05, France
Received 27 June 2001; received in revised form 20 September 2001
Communicated by F. Morel
Abstract
The purpose of these notes is to give an ad hoc construction of a closed model category
structure on a topos inverting an arbitrary small set of arrows. Moreover, a necessary and
sucient condition for those structures to be proper is given. As an example, the Joyal closed
model category structure on the category of simplicial objects of a topos is constructed without
the use of (boolean) points. c 2002 Elsevier Science B.V. All rights reserved.
MSC: Primary: 18G55; 18F20; secondary: 18E35; 18B25; 18G30
0. Introduction
La comprehension de la localisation des topos a un premier interˆet evident en
ce que cela fournit des outils et un langage homotopiques alageometrie [15,8,12].
Cela contribute aussi l’etude des structures algebriques d’ordre superieur, comme les
!-categories [1] et les champs de Segal [8]. C’est enn un moyen d’approcher une
theorie homotopique des topos eux-mˆemes [5].
Dans ce texte, nous nous interessons al’etude des couples (E;W)o uEest un topos
arbitraire, et o uWest une classe de eches de E. Lorsque Wsatisfait a certains
axiomes de stabilite (voir la Denition 3.4), nous montrons que modulo des problemes
ensemblistes, la categorie Eadmet une structure de categorie de modeles fermee dont
les equivalences faibles sont les elements de W, et dont les cobrations sont les
monomorphismes de E(Theoreme 3.9).
La construction de ces structures de categorie de modeles fermee est menee en
regard des deux observations suivantes. Comme cela l’a ete remarque par Morel [14],
E-mail address: [email protected] (D.-C. Cisinski).
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PII: S0022-4049(01)00176-1

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les constructions de Gabriel et Zisman [4] gardent un sens dans un cadre beaucoup plus
general que celui des ensembles simpliciaux. D’autre part, les travaux de Hirschhorn
[7] sur la localisation peuvent s’interpreter dans un cadre legerement moins riche que
celui des categories de modeles fermees. Cela mene directement au Theoreme 2.13.
C’est seulement ensuite qu’un point de vue axiomatique est adopte.
Dans un second temps, nous nous sommes consacreal’etude de conditions necessaires
et susantes pour que les structures de categorie de modeles fermee obtenues soient
propres, nous inspirant en la matiere de Morel–Voevodsky [15].
En guise d’application, nous donnons une demonstration ad hoc de l’existence de
la structure de categorie de modeles fermee de Joyal sur les objets simpliciaux d’un
topos.
1. Accessibilite
1.1. Ce paragraphe a pour but de rappeler les techniques elementaires qui permet-
tront d’utiliser l’argument du petit objet assez librement dans un topos. Les notions
d’accessibilite telles que nous les envisageons ici sont celles de SGA 4 [6, I.9].
Lorsque Eest un ensemble, on note |E|son cardinal, et si Aest une categorie, on
note Ob Aet Fl Arespectivement l’ensemble de ses objets et celui de ses eches.
Denition 1.2. Soit un cardinal. Un ensemble ordonne Iest dit -ltrant;si c’est
un petit ensemble ordonne ltrant;et si tout sous-ensemble de Ide cardinal inferieur
ou egal a admet un majorant.
Remarque 1.3. Dans SGA 4;un ensemble ordonne -ltrant est appele un ensemble
ordonne grand devant .
Exemple 1.4. Soit un cardinal. Alors le cardinal successeur de ; vu comme un
ordinal (et donc comme un ensemble bien ordonne);est -ltrant.
Denition 1.5. Soit un cardinal.
Un foncteur f:A→Best -accessible si pour tout petit ensemble ordonne -ltrant
I; f commute aux limites inductives de type I. On dira qu’un foncteur est accessible
s’il est -accessible pour un certain cardinal .
Soit Cune categorie. Un objet Xde Cest -accessible (resp. accessible)sile
foncteur C→Ens; Y → HomC(X; Y ) l’est.
Remarque 1.6. Si ¿; tout foncteur -accessible est -accessible.
Exemple 1.7. Tout foncteur qui commute aux petites limites inductives est -accessible
pour tout cardinal .
Remarque 1.8. Soit Aune petite categorie. Dans la categorie ˆ Ades prefaisceaux
d’ensembles sur A; les objets representables sont -accessibles pour tout cardinal .
En eet;les limites inductives se calculent terme a terme dans ˆ A; ce qui peut se

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reformuler en disant que si aest un objet de A; le foncteur Hom ˆ
A(a; :): ˆ
A→Ens
commute aux petites limites inductives.
Proposition 1.9. Soient Aune petite cat egorie;et =|Fl A|.Le foncteur lim
←:
Hom(A; Ens)→Ens est -accessible (Voir SGA 4;Corollaire I.9.8).
Demonstration. Il est bien connu que dans la categorie des ensembles;les limites
inductives ltrantes commutent aux limites projectives nies. On se ramene alors
facilement au cas o uAest une categorie discrete;i.e. un ensemble de cardinal .
En eet;si Fest un foncteur de Avers Ens; la limite projective de Fse calcule
comme le noyau d’une double eche dont le but est un produit des F(a) indexe par
l’ensemble des eches de A; et la source un produit des F(a) indexe par l’ensemble des
objets de A.
Soient Iun ensemble ordonne -ltrant, et (Fa)a∈Aune famille de foncteurs de I
vers Ens. Il faut montrer que l’application naturelle
: lim
→
a
Fa→
a
lim
→Fa
est bijective.
Soient xet ydeux elements de lim
→aFa. On peut supposer que xet ysont des
elements de aFa(i0) pour un i0∈Iconvenable, car Iest ltrant. Si (x)=(y),
alors pour tout a∈A, il existe ia∈Itel que xa=yadans Fa(i) pour iplus grand que
ia. Comme Iest -ltrant, il existe un i1∈Imajorant tous les ia. On a donc x=y
dans aFa(i1), ce qui montre l’injectivite.
si z∈alim
→Fa, pour chaque element ade A, il existe un ia∈Itel que zaprovienne
de l’ensemble Fa(ia). Encore une fois, vu que Iest -ltrant, il existe un majorant i
des ia, et donc les images des zadans Fa(i)denissent un antecedent de z.
Proposition 1.10. Soit Cune cat egorie admettant des limites inductives. On consid ere
un cardinal ; une petite cat egorie A; et un foncteur F:A→C;tels que pour tout
a∈Ob A; l’objet F(a)soit -accessible;et on note = max(; |Fl A|). Alors lim
→Fest
-accessible (Voir SGA 4;Corollaire I.9.9).
Demonstration. Soit Iun petit ensemble ordonne -ltrant;et soit :I→Cun fonc-
teur. On a alors les bijections suivantes:
lim
→
I
HomC(lim
→
A
F; )lim
→
I
lim
←
A◦
HomC(F; )
lim
←
A◦
lim
→
I
HomC(F; )
lim
←
A◦
HomC(F; lim
→
I
)
HomC(lim
→
A
F; lim
→
I
):

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Corollaire 1.11. Soient Aune petite cat egorie;et Xun pr efaisceau sur A.On note
=|Fl A=X |;o uA=X d esigne la cat egorie dont les objets sont les couple (a; u);
a∈Ob A; u ∈Hom ˆ
A(a; X );et dont les 
eches (a; u)→(a;u
)sont les 
eches f:a→
ade A; telles que uf=u.Alors Xest -accessible.
Demonstration. D’apres la Remarque 1.8;cela resulte trivialement de la proposition
ci-dessus et du fait que Xest la limite inductive dans ˆ Adu foncteur A=X →ˆ A; (a; u)→
a.
1.12. On xe apresent un topos E, et on choisit un petit site (C; J ) tel que E
s’identie a la categorie des faisceaux sur ce dernier. On note i:E→ˆ Cle foncteur
d’inclusion canonique de Edans la categorie des prefaisceaux sur C,eta:ˆ C→Eson
adjoint a gauche, le foncteur “faisceau associe”.
Lemme 1.13. Le foncteur compos eia :ˆ C→ˆ Cest accessible.
Demonstration. On rappelle que le foncteur ia peut se construire comme suit. On
denit un foncteur L:ˆ C→ˆ Cen posant pour chaque prefaisceau Xsur C; et chaque
objet Ude C
LX (U) = lim
→R∈J(U)
Hom ˆ
C(R; X );
o uJ(U)designe l’ensemble des cribles couvrants de U; ordonne par l’ordre dual de
l’inclusion. On a alors un isomorphisme de foncteurs L2ia. Il sut donc de montrer
que le foncteur Lest accessible. Soit un cardinal tel que pour tout objet Ude C; tout
crible couvrant Rde Usoit -accessible (ce qui existe en vertu du Corollaire 1.11).
Comme toute limite inductive de foncteurs accessibles est accessible;on s’apercoit
aussitˆot que le foncteur Ll’est.
Proposition 1.14. Tous les objets de Esont accessibles.
Demonstration. Soit Xun objet de E. On choisit un cardinal tel que iX et ia soient
-accessibles (ce qui existe grˆace au Corollaire 1.11 et au Lemme 1.13). On va montrer
que Xest -accessible. Considerons un ensemble ordonne -ltrant I; et un foncteur
F:I→E. Comme iest pleinement dele;et comme le foncteur acommute aux petites
limites inductives (car c’est un adjoint a gauche);on a les isomorphismes suivants:
ilim
→Filim
→aiF ia lim →iF lim →iaiF lim →iF:
On en deduit les bijections ci-dessous:
HomE(X; lim
→F)Hom ˆ
C(iX; i lim
→F)
Hom ˆ
C(iX; lim
→iF)
lim
→
Hom ˆ
C(iX; iF)
lim
→
HomE(X; F):

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Denition 1.15. Un objet Xde Eest de taille 6s’il existe un sous-prefaisceau Rde
iX ; tel que l’inclusion R→iX soit couvrante pour la topologie Jsur C(i.e. induise
un isomorphisme aR aiX X);et tel que |Fl C=R|6.
Remarque 1.16. Si ¿|Fl C|est un cardinal inni;un objet Xde Eest de taille 6
si et seulement s’il existe une famille couvrante {Ui→X}i∈Ide X; dont l’ensemble
d’indice Isoit de cardinal 6. Cela revient encore a dire qu’il existe un prefaisceau
Rsur C; tel que pour tout objet Ude C; |R(U)|6; et tel que aR X.
1.17. Pour chaque cardinal , on note Acc(E) (resp. T(E)) la sous-categorie pleine
de Eformee des objets -accessibles (resp. des objets de taille 6).
Proposition 1.18. Soit un cardinal inni qui majore |Fl C|;et tel que pour tout
objet Ude C; le faisceau aU soit -accessible. Alors tout objet de Eest la r eunion
-ltrante de ses sous-objets -accessibles. En outre;onal’ egalit e:
T(E)=Acc(E):
En particulier;la cat egorie Acc(E)est essentiellement petite.
Demonstration. Soit Xun objet de taille 6. Alors par denition;il existe un sous-
prefaisceau Rde iX tel que aR X; et |Fl C=R|6. On sait qu’on a un isomorphisme
lim
→
(U; :U→R)∈C=R
UR; d’o u lim
→
(U;:U→R)∈C=R
aU X:
Il resulte de la Proposition 1.10 que Xest -accessible. On a donc une inclusion
T(E)⊂Acc(E).
Soit Xun objet de E. On note Il’ensemble de ses sous-objets de taille 6, ordonne
par l’inclusion, et :I→Ele foncteur d’inclusion canonique. L’ensemble Iest un
ensemble ordonne -ltrant. Cela vient du fait que l’ensemble Jdes sous-prefaisceaux
Yde iX tels que |Fl C=Y |6, ordonne par l’inclusion, est -ltrant. En outre, la eche
canonique lim
→→Xest un isomorphisme. C’est en eet un monomorphisme, car c’est
un limite inductive ltrante de monomorphismes, et les limites inductives ltrantes
sont exactes dans E. Pour voir que c’est un epimorphisme, on montre aussitˆot que le
morphisme lim
→i →iX est dejaunepimorphisme, car pour tout objet Ude C, tout
morphisme U→iX se factorise par son image. Si on suppose que Xest -accessible,
alors on a deux bijections canoniques
lim
→
HomE(X; )HomE(X; lim
→)HomE(X; X ):
Cela montre qu’il existe un sous-objet Yde X, de taille 6, tel que l’inclusion
Y→Xadmette une section, et donc tel que Y=X, ce qui acheve la demonstration.