Exercices Polynome

Universit´e d’Aix-Marseille Licence Math´ematiques et Informatique
Semestre 1 Planche 1
MATH´ EMATIQUES G´ EN´ ERALES 1
Planche : Polynˆomes
1 G´en´eralit´es, degr´e, op´erations avec les polynˆomes
Exercice 1. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur les r´eels λ, µ pour que
X4+λX3+µX2+ 12X+ 4 soit le carr´e d’un polynˆome de R[X].
Exercice 2. Soit n∈N∗.
1. Montrer que ∀P∈K[X]!n,∃˜ P∈K[X]!ntel que ˜ P(X2)=P(X)P(−X).
2. ´ Etablir que l’application
φ:K[X]!n→K[X]!n
P→˜ P
est bien d´efinie et v´erifie φ(PQ)=φ(P)φ(Q).
3. A-t-on φ(P+Q)=φ(P)+φ(Q)?
Exercice 3. Soient U, V ∈K[X]. Montrer que U+Vet U−Vsont constants si et
seulement si Uet Vle sont. On suppose U2−V2constant et non nul. Montrer que Uet
Vsont constants. Dire pourquoi U2−V2= 0 n’implique pas que Uet Vsont constants.
Exercice 4. Soient P, Q ∈K[X] deux polynˆomes de degr´e net drespectivement.
D´eterminer le degr´e de P◦Qet de Q◦P.
Exercice 5. Soient (α,β)∈C∗2tels que α'=β, soit A∈C[X].
Montrer que ∃!P∈C[X] tel que P(X−α)+P(X−β)=A(X).
Exercice 6. Soient P∈R[X] et a∈R. Montrer qu’il existe un unique Qa∈R[X] tel que
Qa(X−a)=P(X). (Q(X−a) est le d´eveloppement de Pen a.) D´eterminer Qalorsque
P(X)=X3+2X+ 1 et a= 1.
2 Division euclidienne, PGCD, ppcm, polynˆomes de
B´ezout
Exercice 7. Faire la division euclidienne de
1

3X5+4X2+ 1 par X2+2X+ 3 dans Q[X],
et de 4X3+X2par X+1+idans C[X].
Exercice 8. Calculer le reste de la division euclidienne du polynˆome Xn+X+ 1 par le
polynˆome (X−1)2.
Exercice 9. Pour n∈N, quel est le reste de la division de Xn+X+bpar (X−a)2?
Exercice 10. Pour n∈N, montrer que le polynˆome (X−1)n+2 +X2n+1 est divisible
par X2−X+ 1. Trouver le quotient si n= 2.
Exercice 11. D´eterminer a, b ∈Zde fa¸con `a ce que le polynˆome aXn+1 −bXn+ 1 soit
divisible par le polynˆome (X−1)2. Calculer alors le quotient des deux polynˆomes.
Exercice 12. Soit Pun polynˆome. Sachant que le reste de la division euclidienne de P
par X−aest 1 et celui de la division de Ppar X−best −1, (a'=b), quel est le reste de
la division euclidienne de Ppar (X−a)(X−b)?
Exercice 13. Soit P∈K[X] tel que les restes des divisions de Ppar X2+ 1 et X2−1
valent respectivement 2X−2 et −4X. Quel est le reste de la division de Ppar X4−1?
Exercice 14. Existe-t-il un polynˆome Pde degr´e 7 tel que (X−1)4divise P+ 1 et
(X+ 1)4divise P−1?
Exercice 15. Soient A, B, P ∈K[X] avec Pnon constant. Montrer que si A◦Pdivise
B◦P, alors Adivise B. Que peut on dire de la r´eciproque ?
Exercice 16. Calculer pgcd(P, Q) lorsque :
1. P=X3−X2−X−2 et Q=X5−2X4+X2−X−2,
2. P=X4+X3−2X+ 1 et Q=X3+X+ 1.
Exercice 17. Soit A∈K[X] et B∈K[X].
1. A-t-on pgcd(A, B)=1 ⇐⇒ pgcd(A+B, AB) = 1 ?
2. A-t-on pgcd(A, B) = pgcd(A+B, AB)?
Exercice 18. D´eterminer A, B ∈R[X] tels que (X3+ 1)A+(X2+X+ 1)B= 1.
Exercice 19. Soit nun entier positif.
1. D´eterminer le PGCD des polynˆomes (Xn−1) et (X−1)n.
2. D´eterminer les polynˆomes de B´ezout.
2

Exercice 20. Trouver TOUS les polynˆomes (pas seulement les polynˆomes de B´ezout) U
et Vde R[X] tels que AU +BV soit un PGCD de Aet Bavec A=X4−2X3−2X2+10X−7
et B=X4−2X3−3X2+ 13X−10.
Exercice 21. Soient a∈K∗et n > k ∈N∗. Notons qle quotient et rle reste de
la division euclidienne de npar k. Montrer que le reste de la division euclidienne de
Xn−anpar Xk−akest ´egal `a akq(Xr−ar). Notons d= pgcd(n, k). Montrer que
pgcd(Xn−an,Xk−ak)=xd−ad. En d´eduire que Xn−1 et Xm−1 ont une racine
commune diff´erente de 1 si et seulement si pgcd(n, m)'= 1. Donner une interpr´etation
g´eom´etrique de ce r´esultat.
Exercice 22. Montrer que les polynˆomes complexes P=X1998 +X+1 et Q=X5+X+1
sont premiers entre eux.
Exercice 23. D´eterminer tous les polynˆomes Pet Q∈R[X], premiers entre eux, tels
que P2+Q2=(X2+1)2. En d´eduire que l’´equation x2+y2=z2a une infinit´e de solutions
(non proportionnelles) dans Z.
3 Polynˆomes irr´eductibles
Exercice 24. Soient A,Bet Cles polynˆomes de R[X] suivants :
A=(X+ 3)2(X+ 1)(X2+ 1)3
B=(X+ 3)2(X+ 2)2(X2+ 1)
C=(X+ 3)(X+ 2)(X2+ 1)2.
1. Combien Aposs`ede-t-il de diviseurs normalis´es ? et B? et C?
2. ´ Ecrire le PGCD et le ppcm de Aet B.
3. ´ Ecrire le PGCD et le ppcm des trois polynˆomes A,Bet C.
Exercice 25. Soient P=2X4−2X3+3X2−X+1 et Q=X4−X3+3X2−2X+2 ∈R[X].
Calculer pgcd(P, Q) et factoriser Pet Qen produit de polynˆomes irr´eductibles de R[X].
Exercice 26. Soient P, Q deux polynˆomes premiers entre eux. Montrer qu’alors Pnet
Qmsont premiers entre eux o`u n, m sont deux entiers positifs.
Exercice 27. Factoriser P=X4+X2+ 1 et Q=X4−X2+ 1 en produit de polynˆomes
irr´eductibles et unitaires de R[X]. Montrer que Qest un polynˆome irr´eductible de Q[X].
3

4 Fonction polynomiale, racines
Exercice 28. Trouver les racines complexes de X2−(3 + 4i)X−1 + 7i.
Exercice 29. Soient P, Q ∈K[X] tels que X2+X+ 1 divise P(X3)+XQ(X3). Montrer
que P(1) = Q(1) = 0. Que peut on dire de la r´eciproque ?
Exercice 30. Soit P=X4+X3+X2+3∈R[X]. Montrer que Pn’a pas de racine
r´eelle. Pest-il irr´eductible dans R[X]?
Exercice 31. Soit P=X3−X2−2∈Q[X]. Soient p∈Zet q∈N∗tels que pgcd(p, q)=
1. Montrer que Pn’a pas de racine rationnelle et en d´eduire que Pest un polynˆome
irr´eductible de Q[X].
Exercice 32. Soient P∈R[X] et Q(X)=XP(X) + (2 + 3i)∈C[X]. Montrer que si z
est une racine de Qalors z'∈ Ret Q(¯z)'= 0.
Exercice 33. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur p, q ∈Cpour que les
deux ´equations
z4+2z2+p=0
z3+z+q=0
aient deux solutions communes distinctes.
Exercice 34. Soit P=2X5+5X4+8X3+7X2+4X+1∈R[X]. Combien Pa-t-il de
racines multiples dans C? Factoriser Pen produit de polynˆomes irr´eductibles et unitaires
de R[X].
Exercice 35. Trouver les polynˆomes Ptels que P+ 1 soit divisible par (X−1)4et P−1
par (X+ 1)4:
1. en utilisant la relation de B´ezout,
2. en consid´erant le polynˆome d´eriv´e P".
Combien y a-t-il de solutions de degr´e !7?
Exercice 36. Trouver tous les polynˆomes divisibles par leur d´eriv´ee.
Exercice 37. R´esoudre l’´equation d’inconnue P∈R[X] suivante
X(X+ 1)P” + (X+ 2)P"−P=0
Exercice 38. Montrer que ∀n∈N∃!Pn∈Q[X] tel que Pn−P"
n=Xn.
Calculer Pn.
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