Cours

Int´egrales
1 Primitives
Pr´erequis savoir calculer les d´eriv´ees des fonctions usuelles (en particulier 1
xn) et les d´eriv´ees des
fonctions compos´ee !
D´efinition : Fest une primitive de fsur Isi Fest d´erivable sur Iet si · · ·
Comment tester un candidat primitive ?
M´ethode : On trouve `a peu pr`es une primitive, on la d´erive, puis on ajuste les constantes.
Exercice : f(x) = (3x+ 1)3;g(x) = (ln (2x+ 1))31
2x+1 ;h(x) = 2x
Puissances : f(x) = 1
xnalors F(x) = 1 xn−1a pour d´eriv´ee F0(x) = . . . donc une primitive est :
F(x) = . . .
f(x) = 1
xse primitive en . . . sur ]0,+∞[ et . . . sur ]−∞,0[ (ou bien ln |x|sur chacun de ces
deux intervalles)
Une puissance au d´enominateur se primitive en une puissance de moins.
Une puissance au num´erateur se primitive en une puissance de plus.
Usuelles :
Fonction : ()n1
()n
1
() exp ()
Presque primitive ()n+1 1
()n−1ln (+) ou ln (−) exp ()
Exercice : f(x) = 1
(3x+1)3;g(x) = 1 (ln(2x+1))3
1
2x+1
Produit : Un produit ne se primitive pas simplement sauf f(u(x)) u0(x) : ...
Id´ees : changer un produit en puissance ou en somme.
Exercice : primitiver : f(x) = (x+ 1)2x;g(x) = 1+x+x3
x2;h(x) = x
(2x+1)2;k(x) = (x+ 1)2(x+ 1)3
u(x) = 1
(e2x+1)3e2x;v(x) = (e2x+ 1)2ex;w(x) = (2x+2)2
(x+1)4
Th´eor´eme : ffonction continue sur un intervalle I. Alors elle a une primitive Fsur I(en fait, une
infinit´e).
N.B. En g´en´eral, on ne peux pas exprimer les primitives avec les fonctions usuelles.
Exercice : Montrer que G:x→Rx2
x
1
ln(t)dt est d´efinie et d´erivable sur ]0,1[ .
2 Int´egrale sur un segment d’une fonction continue.
D´efinition : ffonction continue sur un intervalle I. a ≷b∈Iet Fune primitive de fsur Ialors
Rb
af= [F]b
a=F(b)−F(a).
N.B. L’int´egrale ne se calcule par primitivation que pour les fonctions continues.
D´ecoupages : Chasles (bornes variables et contenu fixe, Pn
k=1 Rk+1
k
1
tdt =Rn+1
1
1
tdt ),
lin´earit´e (bornes fixes et contenu variable Pn
k=0 R1
0tkdt =R1 0Pn
k=0 tkdt ),
constantes en facteur.
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Int´egration par parties On d´erive une partie et on primitive l’autre : Rb
au0(t)·v(t)dt =...
si uet vsont de classe C1sur [a, b] ou [b, a]
Exercice Le d´emontrer en d´erivant le produit u·v.
Pourquoi C1et pas simpelment d´erivable ?
Relation de r´ecurrence : se d´emontre en g´en´eral par int´egration par parties.
N.B. Bien choisir la partie `a d´eriver et celle `a primitiver.
Exercice : In=R1
0(1 −x)nexdx. Exprimer In+1 en fonction de In.
In´egalit´es (positivit´e) : On encadre le contenu, pour tout xde l’intervalle d’int´egration, puis on
int`egre de part et d’autre par rapport `a x, en v´erifiant l’ordre des bornes.
Empirique Pour avoir un 1
n+1 dans le majorant de l’int´egrale, on conserve une puissance ndans le
majorant du contenu.
Exercice : In=R1
0
xex
(1+x)ndx. Etudier les variations de x→xexsur [0,1] et en d´eduire que 0 6In6
e
(n−1)
Int´egrale fonction des bornes : Si fest continue sur Iet que a∈Ialors F(x) = Rx
af(t)dt est
une primitive de f.
Si fest continue sur Iet que aet bsont des fonctions d´erivables sur J`a valeurs dans Ialors
G(x) = Rb(x)
a(x)f(t)dt est d´erivable sur Jet G0(x) = f(b(x)) b0(x)−f(a(x)) a0(x)
Exercice le d´emontrer (indication : partir d’une primitive formelle de f)
Changement de variable : Rβ
αf(x)dx =Rb af(u(t)) u0(t)dt avec ude classe C1sur [a, b], fcon-
tinue sur u([a, b]) .
A utiliser : Pour une ´egalit´e d’int´egrales avec changements de bornes et de contenu.
Pour exploiter la parit´e d’une fonction : utiliser x=−t
Mode d’emploi : on ´ecrit d’abord le changement de variable, on le justifie ensuite.
Simple : quand l’ancienne variable xest fonction de la nouvelle : x=u(t).
On remplace xpar u(t) ; dx par u0(t)dt; les bornes sur xpar les valeurs correspondantes sur
t: il faut r´esoudre u(t) = aet u(t) = b.
Compliqu´e : quand la nouvelle xest donn´ee en fonction de l’ancienne
Il faut alors faire apparaˆıtre le bloc u0(t), puis cacher tdans un u(t) avant de pouvoir appliquer
la formule de changement de variable.
Exemple : Montrer que si fest impaire et continue, R1
−1f(x)dx =R−1 1f(t)dt et en d´eduire sa
valeur.
On effectue le changement de variable x=−t
R´eponse dx =−dt :x= 1 ⇐⇒ −t= 1 ⇐⇒ t=−1 : x=−1⇐⇒ t= 1
R1
−1f(x)dx =R−1 1f(−t)−dt =R−1 1f(t)dt car fimpaire.
Donc R1
−1f(x)dx =−R−1 1f(−t)−dt et 2 R1 −1f(x)dx = 0.
Justification du changement de variable : u:t→ −test C1sur [−1,1] et fest continue sur
u[−1,1] = [−1,1] .
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Exercice : Soit x > 0.Montrer que
x
R
1
1
tn(1 + t)dt =
1
R
1/x
un−1
1 + udu
D´eriv´ee : On ne peut d´eriver le contenu qu’avec l’int´egration par parties.
Mais, par changement de variable, on peut se ramener `a un int´egrale fonction des bornes.
Exemple : f(x) = R2
1
1
te−txdt. Montrer que fest d´erivable sur ]0,+∞[ et calculer sa d´eriv´ee.
Indication : changement de variable tx =yo`u l’ancienne est fonction de la nouvelle puis
th´eor`eme ci-dessous.
R´eponse t=y
x:dt =1 xdy :t= 1 ⇐⇒ y=x:t= 2 ⇐⇒ y= 2xet f(x) = R2x
x
x
ye−y1 xdy =
R2x
x
1
ye−ydy.
On applique alors le th´eor`eme sur les int´egrales fonction des bornes.
y→1
ye−ycontinue sur ]0,+∞[.
Donc fest d´erivable en xtel que x→x
et et x→2xsont C1et appartiennent `a ]0,+∞[.
fest d´erivable sur ]0,+∞[ et f0(x) = 2 1
2xe−2x−1 xe−x.
Rare : Sommes de Riemann si fest continue sur [0,1] alors 1
nPn
k=1 fk
n→R1
0f(t)dt
C’est ce th´eor`eme qui fait le lien entre int´egrale et aire (approch´ee par 1
nPn
k=1 fk
n), et qui
permet de programmer le calcul de la valeur approch´ee d’une int´egrale.
M´ethode : Reconnaˆıtre le ”n” (`a peu pr`es la borne sup´erieure de la somme et dans le k
n) puis
faire apparaˆıtre 1
ndevant la sommet k npartout o`u il y a k. Reconnaˆıtre alors fest v´erifier sa
continuit´e sur [0,1] .
Exercice : D´eterminer la limite quand n→+∞de 1
nP2n+1
k=1 ln 1 + k
n
3 Int´egrale sur un segment d’une fonction continue par morceaux.
D´efinition : fest continue par morceaux sur un intervalle [a, b] si on peut trouver des sous intervalles
(une subdivision) a=a1< a2<· · · < an=bet des fonctions ˜ ficontinues sur [ai, ai+1] telles
que f=˜ fisur ]ai, ai+1[.
(si on peut prolonger fpar continuit´e aux bornes)
N.B. On l’utilise quand on peut prolonger par continuit´e la ”formule” de f(x).
Exemple : fd´efinie par f(x) = 
xsi x∈]0,1[
ln (x) si x∈[1,2[
1
xsi x > 2
est prolongeable par :
N.B. La fonction prolong´ee ne co¨ıncide pas avec faux bornes.
D´efinition de l’int´egrale : si fest continue par morceaux prolongeable par ˜ ficontinue sur [ai, ai+1]
alors Rb
af(x)dx =Pn−1
i=1 Rai+1
ai
˜
fi(x)dx
C’est l’int´egrales des prolongements par continuit´es.
Exemple : dans le cas pr´ec´edent R3
0f(x)dx =...
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Th´eor`emes : •La positivit´e, Chasles et lin´earit´e restent vraies.
•Si elle converge, l’int´egrale fonction des bornes G(x) = Rb(x)
a(x)f(t)dt est continue sur J(a
et bsont continues sur J).
Elle est d´erivable en xtel que fcontinue en a(x) et en b(x).
•Le changement de variable et l’int´egration par parties ne sont plus vraies pour des fonctions
continues par morceaux. On doit les faire sur chacun des sous intervalles.
4 Int´egrale impropre en ±∞.
4.1 D´efinition et op´erations
D´efinition : Si fest continue ou continue par morceaux sur [a, +∞[, on dit que R+∞
af(t)dt est
impropre en +∞.
Elle converge si RM
af(t)dt a une limite finie quand M→+∞
On note alors limM→+∞RM
af(t)dt =R+∞ af(t)dt. (Elle diverge sinon.)
De mˆeme en −∞.
Exemple : Montrer que R+∞
0e−xdx (impropre en +∞) converge et calculer sa valeur.
Exercice : Int´egrales de Riemann. Montrer que si α > 1 alors R+∞
0
1
xαdx converge et diverge si
α61.
Op´erations : Le plus simple est de revenir `a l’int´egrale partielle pour laquelle il n’y a pas de
probl`eme de convergence.
Sinon, il faut d’abord prouver la convergence de chaque morceau avant d’op´erer.
Chasles : Si R+∞
bf(t)dt converge alors R+∞ af(t)dt =Rb af(t)dt +R+∞ bf(t)dt
Lin´earit´e : Si R+∞
af(t)dt etR+∞ ag(t)dt convergent alors
R+∞
aαf (t) + βg (t)dt =αR+∞ af(t)dt +βR+∞ ag(t)dt
Positivit´e : Si R+∞
af(t)dt et R+∞ ag(t)dt convergent et que f(t)6g(t) sur [a, +∞[ alors R+∞ af(t)dt 6
R+∞
ag(t)dt
Int´egrale fonction des bornes : Si Ra
−∞ f(t)dt converge alors G(x) = Rx −∞ f(t)dt est d´erivable
l`a o`u fest continue et G0(x) = f(x)
Exemple : Soit F(x) = Rx
−∞
et
t2dt. Montrer que Fest d´erivable sur ]−∞,0[ et calculer sa d´eriv´ee
Int´egration par parties et changement de variables : on revient `a l’int´egrale partielle.
Exercice Calculer R+∞
1
ln(t)
t2dt
4.2 Comparaison pour les fonctions positives
Th´eor`emes : Si fet gsont positives et que f6gsur [a, +∞[ (ou que f=o(g) ) alors
si R+∞
afdiverge alors R+∞ agdiverge ”par minoration de fonctions positives”.
si R+∞
agconverge alors R+∞ afconverge ”par majoration de fonctions positives”.
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D´emonstration : Si fest positive alors F(x) = Rx
af(t)dt est croissante, en revenant `a la d´efinition
du sens de variation.
Si x6yalors F(y) = F(x) + Ry
xf(t)dt qui est positive par positivit´e de l’int´egration.. Donc
F(x)6F(y)
Il n’y a alors que deux possibilit´es : Fa une limite finie en +∞ou Ftend vers +∞.Donc si
R+∞
afdiverge c’est que Rx af→+∞.
Th´eor`emes : Si fet gsont positives et que f∼gen +∞alors R+∞
afet R+∞ agsont de mˆeme
nature ”par ´equivalence de fonctions positives”.
R´ef´erences : Int´egrales de Riemann R+∞
1
1
xαdx converge si α > 1 et diverge si α61. Exponentielles
:R+∞
1eαxdx converge si α < 0 et diverge si α≥0
Exemple : Prouver la convergence de R+∞
1
x2+e−x
x4+xdx impropre en +∞.
D´efinition et th´eor`eme : si R+∞
a|f|converge on dit que R+∞ afconverge absolument. Elle est
alors convergente.
Ce th´eor`eme permet d’appliquer les crit`eres de comparaison pr´ec´edents `a des fonctions au signe
changeant.
Le retour de la s´erie : Si fest positive continue ou CPM et d´ecroissante, alors la s´erie : Pk≥0f(k)
et l’int´egrale impropre en +∞:R+∞
0f(t)dt sont de mˆeme nature.
L’avantage d’´etudier la convergence de l’int´egrale plutˆot que celle de la s´erie est que l’on a plus
de primitives et que l’on peut y faire des int´egrations par parties.
5 Int´egrale impropre en un point fini
D´efinition : fcontinue ou continue par morceaux sur ]a, b].On dit que Rb
afest impropre en a.
Si Rb
xfa une limite finie quand x→a, on dit que Rb afconverge et Rb af= limx→aRa xf
Exemple : Montrer la convergence et calculer R1
0ln (t)dt.
R´ef´erence : Riemann si α≥1 alors R1
0
1
xαdx diverge et converge si α < 1.(c’est l’inverse du
comportement en +∞)
Th´eor`emes : Les th´eor`emes de comparaison, minoration, majoration de fonctions positives restent
valables.
Op´erations : Chasles et lin´erarit´e, positivit´e ne peuvent se faire qu’apr`es v´erification de la conver-
gence de chaque morceau.
IPP et changement de variable se font en revenant `a l’int´egrale partielle.
Multi-impropri´et´e : si une int´egrale est impropre en plusieurs points, on isole chacun des points
d’impropret´e.
Elle convergera si elle converge en chacun des points d’impropret´e et elle sera la somme des
sous int´egrales impropres.
Exemple : f(x) = 1
x2si x < 1 : f(x) = 1
√−xsi x∈[0,1] et f(x) = e−xsi x > 0.
Calculer R+∞
−∞ f(t)dt
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