Cours

Intégrales
1
Primitives
Prérequis savoir calculer les dérivées des fonctions usuelles (en particulier
fonctions composée !
1
xn
) et les dérivées des
Définition : F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et si · · ·
Comment tester un candidat primitive ?
Méthode : On trouve à peu près une primitive, on la dérive, puis on ajuste les constantes.
Exercice : f (x) = (3x + 1)3 ; g (x) = (ln (2x + 1))3
1
;
2x+1
h (x) = 2x
1
Puissances : f (x) = x1n alors F (x) = xn−1
a pour dérivée F 0 (x) = . . . donc une primitive est :
F (x) = . . .
f (x) = x1 se primitive en . . . sur ]0, +∞[ et . . . sur ]−∞, 0[ (ou bien ln |x| sur chacun de ces
deux intervalles)
Une puissance au dénominateur se primitive en une puissance de moins.
Une puissance au numérateur se primitive en une puissance de plus.
Fonction :
Usuelles :
()n
Presque primitive ()n+1
Exercice : f (x) =
1
;
(3x+1)3
g (x) =
1
()n
1
n−1
()
1
()
exp ()
ln (+) ou ln (−) exp ()
1
1
(ln(2x+1))3 2x+1
Produit : Un produit ne se primitive pas simplement sauf f (u (x)) u0 (x) : ...
Idées : changer un produit en puissance ou en somme.
1+x+x3
; h (x)
x2
(2x+2)2
w (x) = (x+1)4
Exercice : primitiver : f (x) = (x + 1)2 x; g (x) =
u (x) =
1
e2x ;
(e2x +1)3
2
v (x) = (e2x + 1) ex ;
=
x
;
(2x+1)2
k (x) = (x + 1)2 (x + 1)3
Théoréme : f fonction continue sur un intervalle I. Alors elle a une primitive F sur I (en fait, une
infinité).
N.B. En général, on ne peux pas exprimer les primitives avec les fonctions usuelles.
R x2 1
Exercice : Montrer que G : x → x ln(t)
dt est définie et dérivable sur ]0, 1[ .
2
Intégrale sur un segment d’une fonction continue.
Définition
: f fonction continue sur un intervalle I. a ≷ b ∈ I et F une primitive de f sur I alors
Rb
f
=
[F ]ba = F (b) − F (a) .
a
N.B. L’intégrale ne se calcule par primitivation que pour les fonctions continues.
R n+1
P R k+1
Découpages : Chasles (bornes variables et contenu fixe, nk=1 k 1t dt = 1 1t dt ),
R1P
P R1
linéarité (bornes fixes et contenu variable nk=0 0 tk dt = 0 nk=0 tk dt ),
constantes en facteur.
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Intégration par parties On dérive une partie et on primitive l’autre :
si u et v sont de classe C 1 sur [a, b] ou [b, a]
Rb
a
u0 (t) · v (t) dt = ...
Exercice Le démontrer en dérivant le produit u · v.
Pourquoi C 1 et pas simpelment dérivable ?
Relation de récurrence : se démontre en général par intégration par parties.
N.B. Bien choisir la partie à dériver et celle à primitiver.
R1
Exercice : In = 0 (1 − x)n ex dx. Exprimer In+1 en fonction de In .
Inégalités (positivité) : On encadre le contenu, pour tout x de l’intervalle d’intégration, puis on
intègre de part et d’autre par rapport à x, en vérifiant l’ordre des bornes.
1
dans le majorant de l’intégrale, on conserve une puissance n dans le
Empirique Pour avoir un n+1
majorant du contenu.
R 1 xex
x
Exercice : In = 0 (1+x)
n dx. Etudier les variations de x → xe sur [0, 1] et en déduire que 0 6 In 6
e
(n−1)
Rx
Intégrale fonction des bornes : Si f est continue sur I et que a ∈ I alors F (x) = a f (t) dt est
une primitive de f.
Si f est continue sur I et que a et b sont des fonctions dérivables sur J à valeurs dans I alors
R b(x)
G (x) = a(x) f (t) dt est dérivable sur J et G0 (x) = f (b (x)) b0 (x) − f (a (x)) a0 (x)
Exercice le démontrer (indication : partir d’une primitive formelle de f )
Rβ
Rb
Changement de variable : α f (x) dx = a f (u (t)) u0 (t) dt avec u de classe C 1 sur [a, b], f continue sur u ([a, b]) .
A utiliser : Pour une égalité d’intégrales avec changements de bornes et de contenu.
Pour exploiter la parité d’une fonction : utiliser x = −t
Mode d’emploi : on écrit d’abord le changement de variable, on le justifie ensuite.
Simple : quand l’ancienne variable x est fonction de la nouvelle : x = u (t) .
On remplace x par u (t) ; dx par u0 (t) dt; les bornes sur x par les valeurs correspondantes sur
t : il faut résoudre u (t) = a et u (t) = b.
Compliqué : quand la nouvelle x est donnée en fonction de l’ancienne
Il faut alors faire apparaı̂tre le bloc u0 (t), puis cacher t dans un u (t) avant de pouvoir appliquer
la formule de changement de variable.
R1
R −1
Exemple : Montrer que si f est impaire et continue, −1 f (x) dx = 1 f (t) dt et en déduire sa
valeur.
On effectue le changement de variable x = −t
Réponse dx = −dt : x = 1 ⇐⇒ −t = 1 ⇐⇒ t = −1 : x = −1 ⇐⇒ t = 1
R1
f (x) dx =
−1
Donc
R1
−1
R −1
1
f (−t) − dt =
f (x) dx = −
R −1
1
R −1
1
f (t) dt car f impaire.
f (−t) − dt et 2
R1
−1
f (x) dx = 0.
Justification du changement de variable : u : t → −t est C 1 sur [−1, 1] et f est continue sur
u [−1, 1] = [−1, 1] .
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Exercice : Soit x > 0. Montrer que
Rx
1
R1 un−1
1
dt
=
du
tn (1 + t)
1/x 1 + u
Dérivée : On ne peut dériver le contenu qu’avec l’intégration par parties.
Mais, par changement de variable, on peut se ramener à un intégrale fonction des bornes.
R2
Exemple : f (x) = 1 1t e−tx dt. Montrer que f est dérivable sur ]0, +∞[ et calculer sa dérivée.
Indication : changement de variable tx = y où l’ancienne est fonction de la nouvelle puis
théorème ci-dessous.
R 2x
Réponse t = xy : dt = x1 dy : t = 1 ⇐⇒ y = x : t = 2 ⇐⇒ y = 2x et f (x) = x xy e−y x1 dy =
R 2x 1 −y
e dy.
x y
On applique alors le théorème sur les intégrales fonction des bornes.
y → y1 e−y continue sur ]0, +∞[.
Donc f est dérivable en x tel que x → x
et et x → 2x sont C 1 et appartiennent à ]0, +∞[ .
1 −2x
f est dérivable sur ]0, +∞[ et f 0 (x) = 2 2x
e
− x1 e−x .
R1
P
→ 0 f (t)dt
Rare : Sommes de Riemann si f est continue sur [0, 1] alors n1 nk=1 f nk P
C’est ce théorème qui fait le lien entre intégrale et aire (approchée par n1 nk=1 f nk ), et qui
permet de programmer le calcul de la valeur approchée d’une intégrale.
Méthode : Reconnaı̂tre le ”n” (à peu près la borne supérieure de la somme et dans le nk ) puis
faire apparaı̂tre n1 devant la sommet nk partout où il y a k. Reconnaı̂tre alors f est vérifier sa
continuité sur [0, 1] .
P
k
Exercice : Déterminer la limite quand n → +∞ de n1 2n+1
k=1 ln 1 + n
3
Intégrale sur un segment d’une fonction continue par morceaux.
Définition : f est continue par morceaux sur un intervalle [a, b] si on peut trouver des sous intervalles
(une subdivision) a = a1 < a2 < · · · < an = b et des fonctions f˜i continues sur [ai , ai+1 ] telles
que f = f˜i sur ]ai , ai+1 [ .
(si on peut prolonger f par continuité aux bornes)
N.B. On l’utilise quand on peut prolonger par continuité la ”formule” de f (x) .

 x si x ∈ ]0, 1[
ln (x) si x ∈ [1, 2[ est prolongeable par :
Exemple : f définie par f (x) =

1
si x > 2
x
N.B. La fonction prolongée ne coı̈ncide pas avec f aux bornes.
Définition de l’intégrale : si f est continue par morceaux prolongeable par f˜i continue sur [ai , ai+1 ]
Rb
R ai+1
P
alors a f (x) dx = n−1
f˜i (x) dx
i=1 ai
C’est l’intégrales des prolongements par continuités.
R3
Exemple : dans le cas précédent 0 f (x) dx = ...
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• La positivité, Chasles et linéarité restent vraies.
R b(x)
• Si elle converge, l’intégrale fonction des bornes G (x) = a(x) f (t) dt est continue sur J (a
et b sont continues sur J).
Elle est dérivable en x tel que f continue en a (x) et en b (x) .
Théorèmes :
• Le changement de variable et l’intégration par parties ne sont plus vraies pour des fonctions
continues par morceaux. On doit les faire sur chacun des sous intervalles.
4
4.1
Intégrale impropre en ±∞.
Définition et opérations
R +∞
Définition : Si f est continue ou continue par morceaux sur [a, +∞[, on dit que a f (t) dt est
impropre en +∞.
RM
Elle converge si a f (t) dt a une limite finie quand M → +∞
RM
R +∞
On note alors limM →+∞ a f (t) dt = a f (t) dt. (Elle diverge sinon.)
De même en −∞.
R +∞
Exemple : Montrer que 0 e−x dx (impropre en +∞) converge et calculer sa valeur.
R +∞
Exercice : Intégrales de Riemann. Montrer que si α > 1 alors 0 x1α dx converge et diverge si
α 6 1.
Opérations : Le plus simple est de revenir à l’intégrale partielle pour laquelle il n’y a pas de
problème de convergence.
Sinon, il faut d’abord prouver la convergence de chaque morceau avant d’opérer.
R +∞
R +∞
Rb
R +∞
Chasles : Si b f (t) dt converge alors a f (t) dt = a f (t) dt + b f (t) dt
R +∞
R +∞
Linéarité : Si a f (t) dt et a g (t) dt convergent alors
R +∞
R +∞
R +∞
αf (t) + βg (t) dt = α a f (t) dt + β a g (t) dt
a
R +∞
R +∞
R +∞
Positivité : Si a f (t) dt et a g (t) dt convergent et que f (t) 6 g (t) sur [a, +∞[ alors a f (t) dt 6
R +∞
g (t) dt
a
Ra
Rx
Intégrale fonction des bornes : Si −∞ f (t) dt converge alors G (x) = −∞ f (t) dt est dérivable
là où f est continue et G0 (x) = f (x)
Rx t
Exemple : Soit F (x) = −∞ et2 dt. Montrer que F est dérivable sur ]−∞, 0[ et calculer sa dérivée
Intégration par parties et changement de variables : on revient à l’intégrale partielle.
R +∞
Exercice Calculer 1 ln(t)
dt
t2
4.2
Comparaison pour les fonctions positives
Théorèmes
et que f 6 g sur [a, +∞[ (ou que f = o (g) ) alors
R +∞ : Si f et g sont Rpositives
+∞
si a f diverge alors a g diverge ”par minoration de fonctions positives”.
R +∞
R +∞
si a g converge alors a f converge ”par majoration de fonctions positives”.
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Rx
Démonstration : Si f est positive alors F (x) = a f (t) dt est croissante, en revenant à la définition
du sens de variation.
Ry
Si x 6 y alors F (y) = F (x) + x f (t) dt qui est positive par positivité de l’intégration.. Donc
F (x) 6 F (y)
Il
n’y a alors que deux possibilités
: F a une limite finie en +∞ ou F tend vers +∞. Donc si
R +∞
Rx
f diverge c’est que a f → +∞.
a
R +∞
R +∞
Théorèmes : Si f et g sont positives et que f ∼ g en +∞ alors a f et a g sont de même
nature ”par équivalence de fonctions positives”.
R +∞
Références : Intégrales de Riemann 1 x1α dx converge si α > 1 et diverge si α 6 1. Exponentielles
R +∞
: 1 eαx dx converge si α < 0 et diverge si α ≥ 0
R +∞ 2 −x
Exemple : Prouver la convergence de 1 xx+e
4 +x dx impropre en +∞.
R +∞
R +∞
Définition et théorème : si a |f | converge on dit que a f converge absolument. Elle est
alors convergente.
Ce théorème permet d’appliquer les critères de comparaison précédents à des fonctions au signe
changeant.
P
Le retour de la série : Si f est positive continue ou CPM et décroissante, alors la série : k≥0 f (k)
R +∞
et l’intégrale impropre en +∞ : 0 f (t) dt sont de même nature.
L’avantage d’étudier la convergence de l’intégrale plutôt que celle de la série est que l’on a plus
de primitives et que l’on peut y faire des intégrations par parties.
5
Intégrale impropre en un point fini
Rb
Définition : f continue ou continue par morceaux sur ]a, b] . On dit que a f est impropre en a.
Rb
Rb
Rb
Ra
Si x f a une limite finie quand x → a, on dit que a f converge et a f = limx→a x f
R1
Exemple : Montrer la convergence et calculer 0 ln (t) dt.
R1
Référence : Riemann si α ≥ 1 alors 0 x1α dx diverge et converge si α < 1. (c’est l’inverse du
comportement en +∞ )
Théorèmes : Les théorèmes de comparaison, minoration, majoration de fonctions positives restent
valables.
Opérations : Chasles et linérarité, positivité ne peuvent se faire qu’après vérification de la convergence de chaque morceau.
IPP et changement de variable se font en revenant à l’intégrale partielle.
Multi-impropriété : si une intégrale est impropre en plusieurs points, on isole chacun des points
d’impropreté.
Elle convergera si elle converge en chacun des points d’impropreté et elle sera la somme des
sous intégrales impropres.
Exemple : f (x) = x12 si x < 1 : f (x) =
R +∞
Calculer −∞ f (t) dt
Intégrales
√1
−x
si x ∈ [0, 1] et f (x) = e−x si x > 0.
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