Espaces vectoriels, Applications linéaires. Vocabulaire et résultats

Universit´ e de Nice L2MI
2007-08 Alg` ebre lin´ eaire
Espaces vectoriels, Applications lin´eaires.
Vocabulaire et r´esultats de base.
On travaille avec un corps, not´e K. Pour les exemples et les exercices Ksera le corps des r´eels R
ou celui des complexes C. Les ´el´ements du corps de base sont appel´es scalaires.
1. Les espaces vectoriels exemplaires
Pour une d´efinition de la structure d’espace vectoriel, voir 11.1.
1.1. K, K2, K3, et, plus g´en´eralement, Knpour nentier naturel. Un ´el´ement (x1, x2) de
K2s’´ecrit de mani`ere unique
(x1, x2) = x1(1,0) + x2(0,1).
La famille (e1, e2) := ((1,0),(0,1)) est donc une base (d´efinition en 11.2) de K2qu’on appelle base
canonique.
De mani`ere analogue, pour ifix´e entre 1 et n, on note eila liste de r´eels de longueur fix´ee ndont
le i-`eme terme est 1 et tous les autres 0. La famille (ici une liste de listes) (e1, e2, . . . , en) est une
base de Knqu’on appelle base canonique de Kn.
Pour l’anecdote : K0est l’espace vectoriel `a un seul ´el´ement 0 et sa base est vide.
1.2. L’espace vectoriel K[X]des polynˆomes `a coefficients dans K. Dire que tout polynˆome
P(X) de K[X] a une ´ecriture unique (sa forme d´evelopp´ee) P(X) = a0+a1X+. . . +adXd
avec a0, . . . , adscalaires, c’est dire que la liste infinie (1, X, . . . , Xn, . . .) est une base de K[X].
On l’appelle base canonique ou base des monˆomes de K[X]. On voit donc que K[X] est de
dimension infinie sur K(voir 11.2). Le polynˆome Pest repr´esent´e par la liste de ses coefficients
(a0, a1, . . . , ad). Elle est de longueur finie d, mais cette longueur d´epend du polynˆome choisi.
1.3. L’espace vectoriel F(A, K)des applications de Adans K pour Aensemble quel-
conque. Par exemple F([0,1],R) est un espace vectoriel, mˆeme si l’intervalle [0,1] n’en est pas
un. On sait qu’il existe au moins une base de F([0,1],R), mais on ne sait en expliciter aucune.
2. Applications lin´ eaires
Il y a plusieurs mani`eres de les donner.
2.1. Une application f:E−→ F´etant donn´ee, on v´erifie qu’elle est K-lin´eaire, c’est-`a-dire
compatible avec les op´erations de Eet F(voir la d´efinition en 11.4).
2.2. On part de deux espaces vectoriels Eet F. On dispose d’une base Bde Eet d’une base C
de F.
Th´eor`eme 1. Une application lin´eaire de Edans Fest d´etermin´ee par la donn´ee des images des
vecteurs de la base B(ces images sont donc des vecteurs de F).
Une application lin´eaire de f:E−→ Fest d´etermin´ee par la donn´ee des coordonn´ees dans la
base Cdes images des vecteurs de la base B. Le tableau de ces coordonn´ees est la matrice de f
dans les bases (B,C).

2
2.3. Op´erations sur les applications lin´eaires.
(1) ´ Etant donn´ees deux applications lin´eaires f:E−→ Fet g:E−→ F, l’application f+g
est lin´eaire et, pour λscalaire, l’application λf est lin´eaire.
(2) La compos´ee de deux applications lin´eaires est lin´eaire (attention, pour composer favec g
pour former f◦gil faut que le but de gsoit ´egal `a la source de f). Lorsqu’une application
lin´eaire est bijective, sa r´eciproque est lin´eaire.
(3) On dispose d’applications lin´eaires de r´ef´erence, par exemple, pour ide 1 `a n, la i-`eme
fonction coordonn´ee sur Kn, qu’on appelle aussi i-`eme projection :
pri:Kn−→ K
(x1, . . . , xn)7−→ xi
On se donne une application f:E−→ Kn. En composant favec la i-`eme fonction
coordonn´ee sur Knon obtient une fonction fi:E−→ K. Pour x´el´ement de Eon a donc
f(x) = (f1(x), . . . , fn(x)). L’´enonc´e suivant est vrai (le d´emontrer) : fest lin´eaire si et
seulement si f1,f2,..., fnsont toutes lin´eaires.
Exercice 1.Le corps est R. Pourquoi l’application
f:R4−→ R
(x, y, z, t)7−→ 3x−4y+t
est-elle R-lin´eaire ? Quelles sont les images par fdes vecteurs de la base canonique de R4? Quelle
est la matrice de fdans les bases canoniques respectives de R4et R?
On consid`ere maintenant l’application
g:R4−→ R2
(x, y, z, t)7−→ (3x−4y+t, 6y−7t).
Reprendre les questions pr´ec´edentes `a propos de g.
3. Sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E
3.1. Ils sont tr`es souvent donn´es comme
(1) Noyau d’une application lin´eaire (voir 11.4),
(2) Image d’une application lin´eaire (voir 11.4),
(3) Sous-espace engendr´e par une partie Ade E: c’est l’ensemble de toutes les combinai-
sons lin´eaires finies d’´el´ements de A. On le note Vect(A).
On peut aussi prouver qu’un sous-ensemble Fd’un espace vectoriel Eest un sous-espace vectoriel
en v´erifiant qu’il est non vide (par exemple parce qu’il contient 0) et stable par addition et
par multiplication par un scalaire.
Exemple 3.1.1. Cette stabilit´e est parfois la cons´equence d’un th´eor`eme important. Ainsi, dire
que l’ensemble C([0,1],R) des fonctions continues sur l’intervalle [0,1] est un sous-espace vectoriel
de F([0,1],R), c’est affirmer que la fonction constante 0 est continue, que la somme de deux
fonctions continues est continue et que le produit par un scalaire d’une fonction continue est
continue.

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On consid`ere alors l’espace vectoriel C([0,1],R) des fonctions continues sur l’intervalle [0,1] `a
valeurs dans R. Un r´esultat fondamental de la th´eorie de l’int´egration est que l’int´egrale
C([0,1],R)−→ R
f7−→ Z1
0
f(t)dt
est une application lin´eaire.
Exemple 3.1.2. Il r´esulte des th´eor`emes de base sur l’existence et les propri´et´es de la d´erivation
que l’ensemble C1([0,1],R) des fonctions d´erivables sur l’intervalle [0,1] `a d´eriv´ee continue est un
sous-espace vectoriel de F([0,1],R) et que l’application :
C1([0,1],R)−→ C([0,1],R)
f7−→ f0
est une application lin´eaire.
On consid`ere un espace vectoriel Esur K. Un sous-espace vectoriel de Eest en particulier un
espace vectoriel sur K. Si Eest de dimension finie (voir 11.2), alors tous ses sous-espaces vectoriels
sont de dimension finie et on a le r´esultat important suivant :
Th´eor`eme 2. On consid`ere deux sous-espaces vectoriels Fet Gd’un espace vectoriel Esur K.
Si F⊂G, alors dim F≤dim Gavec ´egalit´e si et seulement si F=G.
Autrement dit, lorsque Fest inclus dans G, et Fdiff´erent de G, la dimension de Fest strictement
plus petite que la dimension de G.
Exemple 3.1.3. On peut d´eterminer ainsi, par exemple, tous les sous-espaces vectoriels de R2.
Leur dimension est au plus 2, donc 2, 1 ou 0.
– dimension 2 : il n’y a que R2.
– dimension 1 : Si F⊂R2est un sous-espace de dimension 1, il a une base `a un ´el´ement. Les
sous-espaces de dimension 1 de R2sont les droites vectorielles, chacune engendr´ee par un vecteur
non nul.
– dimension 0 : le sous-espace r´eduit `a (0,0).
On consid`ere un espace vectoriel Esur un corps Ket un sous-espace vectoriel Fde E. On dira
que F0est un suppl´ementaire de Fdans Esi on peut trouver une base Bde F, une base B0de
F0telles que B ∪ B0est une base de E.
Le th´eor`eme de la base incompl`ete (voir 11.3) montre que tout sous-espace Fadmet au moins un
suppl´ementaire dans E.
Th´eor`eme 3. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
(1) Fet F0sont deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires dans E.
(2) La r´eunion d’une base de Fet d’une base de F0est une base de E.
(3) Tout vecteur de Es’´ecrit de mani`ere unique comme somme d’un vecteur de Fet d’un
vecteur de F0.
(4) Tout vecteur de Es’´ecrit comme somme d’un vecteur de Fet d’un vecteur de F0et
l’intersection F∩F0est r´eduite `a {0}.
Lorsque l’une de ces propri´et´es est vraie, on ´ecrit E=F⊕F0et on dit que Eest la somme directe
de Fet F0.` A cause de (2), si Eest de dimension finie et E=F⊕F0, on a dim E= dim F+dim F0.

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3.2. Applications lin´eaires et sous-espaces vectoriels. On part d’une application lin´eaire f:
E−→ Fentre deux espaces vectoriels sur K. Le r´esultat fondamental concernant les applications
lin´eaires est le suivant :
Th´eor`eme 4 (du rang).On consid`ere deux espaces vectoriels Eet Fsur le corps Ket une
application lin´eaire f:E−→ F. Le noyau de fest un sous-espace vectoriel de Eet l’image f(E)
un sous-espace vectoriel de F.
Si de plus Eest de dimension finie (c’est-`a-dire poss`ede une base finie) alors ker fet f(E)
sont de dimension finie et l’´egalit´e suivante est vraie :
dim E= dim ker f+ rgf.
o`u rgf, appel´e rang de f, est la dimension de f(E).
On a d´ej`a dit que le noyau ker fest un sous-espace vectoriel de E. Plus g´en´eralement, si Gest
un sous-espace vectoriel de Falors l’image inverse f−1(G) est un sous-espace vectoriel de E.
D’autre part, si Hest un sous-espace vectoriel de E, alors f(H) est un sous-espace vectoriel de F
(voir la d´efinition de l’image inverse en 11.5).

Universit´ e de Nice L2MI
2006-07 Alg` ebre
Matrices et applications lin´eaires.
4. Matrices
4.1. Un tableau `a nlignes et pcolonnes d’´el´ements de Kest appel´e matrice n×p. L’ensemble
de ces matrices est un espace vectoriel sur K. On le note Mn,p(K) (et Mn(K) lorsque n=p).
Pour ientier de 1 `a net jentier de 1 `a pon consid`ere la matrice Ei,j dont tous les coefficients
sont nuls sauf celui situ´e `a la ligne iet `a la colonne jqui est ´egal `a 1. La famille (Ei,j ), index´ee
par les couples (i, j), ide 1 `a net jde 1 `a p, est une base de Mn,p(K). La dimension de Mn,p(K)
est donc np.
Pour une matrice Mde Mn,p(K), on a :
M=X
1≤i≤n,1≤j≤p
Mi,j Ei,j
o`u Mi,j est le coefficient de Msitu´e `a la ligne iet `a la colonne j.
Exercice 2.Montrer que les matrices triangulaires sup´erieures forment un sous-espace vectoriel
de Mn(K) de dimension n(n+ 1)/2. 
On se donne deux matrices Aet B`a coefficients dans K. Si le nombre de colonnes de Aest ´egal
au nombre de lignes de B, alors le produit AB est d´efini.
On se donne par exemple les deux matrices
A:= 0 5 −1
3 6 −4et B:= 
1−306
4 12 1 2
5−150
Le produit BA n’est pas d´efini. En revanche le produit AB existe. Pour le calculer, il est commode
de disposer ainsi les matrices :
1−306
4 12 12
5−1−50
0 5 −1
3 6 4   ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −14 ∗
On a fait apparaˆıtre sur ce sch´ema que le calcul du coefficient situ´e `a la ligne 2 et `a la colonne
3 de AB ne d´epend que de la ligne 2 de Aet de la colonne 3 de B, qui ont toutes les deux 3
coefficients. On obtient −14 en faisant 3 ×0+6×1+4×(−5).
La formule g´en´erale est la suivante : pour Amatrice de Mn,p(K) et Bmatrice de Mp,q(K), le
produit AB existe. C’est une matrice de Mn,q(K) et
(AB)i,k =
p
X
j=1
ai,j bj,k
pour ide 1 `a net kde 1 `a q.
On en d´eduit les formules suivantes, pour Aet A0dans Mn,p(K), Bet B0dans Mp,q(K) :
(A+A0)B=AB +A0Bet A(B+B0) = AB +AB0.