La correction du Bac blanc

TS - Maths -Bac blanc - Correction Février 2015 - 4h
Spécialité SVT ou Physique
Exercice 1 (5 points) Des probabilités
Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme
indiqué sur la figure ci-dessous.
0 point
5 points
0 point
3 points
On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.
1. Le joueur lance une fléchette.
On note p0la probabilité d’obtenir 0 point.
On note p3la probabilité d’obtenir 3 points.
On note p5la probabilité d’obtenir 5 points.
On a donc p0+p3+p5=1.
Sachant que p5=1
2p3et que p5=1 3p0, déterminer les valeurs de p0,p3et p5·
On a p5=1
2p3et p5=1 3p0soit p3=2p5et p0=3p5.
Ainsi, l’égalité p0+p3+p5=1 peut s’écrire 3p5+2p5+p5=1. On trouve donc p5=1
6.
Ainsi, p3=2p5=2
6soit p3=1 3et p0=3p5=3 6soit p0=1 2.
Remarque :
Les aires des secteurs angulaires du graphique de l’énoncé étaient proportionnelles à leur probabilité.
2. Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s’il
obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total
supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.
On note G2l’évènement : «le joueur gagne la partie en 2 lancers ».
On note G3l’évènement : «le joueur gagne la partie en 3 lancers ».
On note Pl’évènement : «le joueur perd la partie ».
On note p(A)la probabilité d’un évènement A.
(a) Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que p(G2)=5
36.
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0
1/2
0
1/2
3
1/3
5
1/6
3
1/3
0
1/2
3
1/3
5
1/6
5
1/6
0
1/2
3
1/3
5
1/6
On obtient un total d’au moins 8 points en deux lancers aux 6e, 8eet 9echemins.
Donc p(G2)=1
3×1 6+1 6×1 3+1 6×1 6=1 18 +1 18 +1 36 =5 36.
On admettra dans la suite que p(G3)=7
36.
(b) En déduire p(P).
Les évènement P,G2et G3forment une partition de l’univers. On a donc :
p(P)=1−p(G2)−p(G3)=1−5
36 −7 36 =36 36 −12 36 =24 36 =2 3.
Ainsi, p(P)=2
3
3. Pour une partie, la mise est fixée à 2 AC. Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 AC. S’il gagne en
trois lancers, il reçoit 3 AC. S’il perd, il ne reçoit rien.
On note Xla variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les va-
leurs possibles pour Xsont donc : −2, 1 et 3.
(a) Donner la loi de probabilité de X.
p(X=−2) =p(P)=2
3;p(X=1) =p(G3)=7 36 et p(X=3) =p(G2)=5 36.
La loi de probabilité de Xest donnée par le tableau suivant :
Valeurs xi
prises par X−2 1 3
p(X=xi)24
36
7
36
5
36
(b) Déterminer l’espérance mathématique de X. Le jeu est-il favorable au joueur ?
E(X)= −2×24
36 +1×7 36 +3×5 36 =−48+7+15 36 =−26 36 =−13 18 ≈−0,72 AC.
E(X)≈ −0,72 AC.
Un joueur perd en moyenne sur un grand nombre de parties 72 centimes par partie.
Le jeu est donc défavorable au joueur .
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(c) Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2.
Quelle est la probabilité qu’il gagne au moins une partie ? (Le résultat sera arrondi à 10−2)
•On considère l’expérience aléatoire qui consiste à jouer une partie avec les règles données à la
question 2. Cette expérience est une épreuve de Bernoulli puisqu’elle a deux issues possibles :
l’une appelée succès notée S : «la partie est gagnée »avec p(S)=p=1−p(P)=1
3; l’autre
appelée échec notée S:«la partie est perdue »avec p(S)=p(P)=2
3.
•On répète 6 fois cette expérience de façon identique, les expériences étant indépendantes entre
elles. La variable aléatoire Xqui sert à compter les succès (nombre de parties remportées sur
les 6 jouées) est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale Bµ6 ; 1
3¶.
•On a : P(X≥1) =1−P(X=0).
Avec la calculatrice, on a alors P(X≥1) ≈0,91 à 10−2près .
Exercice 2 (5 points) Q.C.M.
Commun à tous les candidats
Pour chaque question, écrire sur votre copie le numéro de la question et la réponse exacte.
Aucune justification n’est demandée.
Une mauvaise réponse ou l’absence de réponse rapportent 0 point. La bonne réponse rapporte 1 point.
1. Dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation z3−¡2+ip2¢z2+2¡1+ip2¢z−2ip2=0 a pour
solution :
•ip2• −ip2•i
P(ip2) =¡ip2¢3−¡2+ip2¢¡ip2¢2+2¡1+ip2¢¡ip2¢−2ip2
= −2ip2+2¡2+ip2¢+2ip2−2¡p2¢2−2ip2
= −4ip2+4ip2+4−4
=0
Ainsi, ip2 est une solution de l’équation P(z)=0.
Par ailleurs,
P(−ip2) =¡−ip2¢3−¡2+ip2¢¡−ip2¢2+2¡1+ip2¢¡−ip2¢−2ip2
=2ip2+2¡2+ip2¢−2ip2+2¡p2¢2−2ip2
=2ip2+4+2ip2−2ip2+4−2ip2
=8
P(i) =i3−¡2+ip2¢i2+2¡1+ip2¢i−2ip2
= −i+¡2+ip2¢+2i−2p2−2ip2
=2−2p2+i−ip2
2. L’expression ln³pe7´+ln¡e9¢
ln¡e2¢est égale à :
•eln2−ln3
eln3+ln4 •eln2+ln3 eln3−ln4 •eln2+ln3 eln3+ln4
D’une part, on a :
ln³pe7´+ln¡e9¢
ln¡e2¢=1
2×lne7+9ln(e) 2ln(e) =7 2+9 2=8
D’autre part, on a :
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eln2−ln3
eln3+ln4 =eln 2
3
eln12 =
2
3
12 =2 3×1 12 =1 18
eln2+ln3
eln3−ln4 =eln6
eln 3
4=6
3
4=6×4
3=8
De plus, eln2+ln3
eln3+ln4 =eln6 eln12 =6
12 =1 2
3. Dans R, l’équation ln(x2)−ln(x)−6=6 admet :
•2 solutions •1 solution •aucune solution
On a : ln(x2)−ln(x)−6=6⇐⇒2ln(x)−ln(x)=12 ⇐⇒lnx=12 ⇐⇒ x=e12 donc une seule solution.
4. La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH. Les points I et J sont les milieux respectifs des
arêtes [GH] et [FG]. Les points M et N sont les centres respectifs des faces ABFE et BCGF.
AB
C
D
EF
G
HI
J
MN
Les droites (IJ) et (MN) sont :
•sécantes •parallèles •non coplanaires
La parallèle à (IJ) passant par N coupe la face HDCG et non la face ABFE donc les deux droites ne sont
pas parallèles.
Puisque N et M sont les milieux des faces ABFE et BCGE, alors le plan parallèle à EFGH passant par N
contient aussi le point M.Or (IJ) est incluse dans EFGH donc les droites (IJ) et (MN) ne peuvent être.
sécantes.
(IJ) et (MN) ne sont donc ni sécantes, ni parallèles elle sont donc non coplanaires.
5. On considère le cube ci-dessous. Les points I, J et M sont respectivement des points des segments [AE],
[BF] et[DH].
A B
C
D
EF
G
H
I
J
M
K
La section du cube par le plan (IJM) est :
•un quadrilatère •un pentagone •un hexagone
Exercice 3 (5 points) Une fonction logarithme
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Soit ula fonction définie sur ]0 ; +∞[par
u(x)=x2−2+lnx.
1. Étudier les variations de usur ]0 ; +∞[et préciser ses limites en 0et en +∞.
La fonction uest dérivable sur ]0 ; +∞[ comme somme de fonctions dérivables et pour tout réel x
strictement positif, u′(x)=2x+1
x. Pour tout réel xstrictement positif, u′(x)>0 comme somme de
termes positifs (dont l’un est non nul), la fonction uest donc strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
lim
x→+∞x2−2= +∞ et lim x→+∞ln(x)= +∞ donc, par somme, lim x→+∞u(x)=+∞ .
lim
x→0x2−2=−2 et lim x→0ln(x)= −∞ donc, par somme, lim x→0u(x)=−∞ .
2. (a) Montrer que l’équation u(x)=0admet une solution unique sur ]0 ; +∞[.
•La fonction uest dérivable sur ]0 ; +∞[ donc continue sur ]0 ; +∞[.
•La fonction uest strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
•On a lim
x→0u(x)=−∞ et lim
x→+∞u(x)=+∞. De plus, 0 ∈]−∞ ;+∞ [
D’après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement mono-
tones, il existe un unique réel αdans l’intervalle sur ]0 ; +∞[ tel que u(x)=0 donc l’équation
u(x)=0 admet une solution unique sur ]0 ; +∞[
(b) À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10−2de α.
À l’aide de la calculatrice on remarque que u(1,31) <0 et que u(1,32) >0 donc
u(1,31) <0<u(1,32). Or uest une fonction strictement croissante sur ]0 ; +∞[. Donc on a
1,31 <α<1,32
3. Déterminer le signe de u(x)suivant les valeurs de x.
Puisque uest strictement croissante sur ]0 ; +∞[, pour tout x∈]0 ; α[, u(x)<u(α) donc u(x)<0 et
pour tout x>α,u(x)>u(α) donc u(x)>0.
4. Montrer l’égalité : lnα=2−α2.
u(α)=0⇐⇒ α2−2+ln(α)=0⇐⇒ ln(α)=2−α2.
Partie B
On considère la fonction fdéfinie et dérivable sur ]0 ; +∞[par
f(x)=x2+(2−lnx)2.
On note f′la fonction dérivée de fsur ]0 ; +∞[.
1. Montrer que pour tout xde ]0 ; +∞[, f′(x)=2u(x)
x.
Pour tout xde ]0 ; +∞[, fest dérivable et f′(x)=2x+2×(2 −ln x)×−1
x=2 x(x2−2+lnx)=2 xu(x)
2. En déduire les varaitions de fsur ]0 ; +∞[.
2
xétant toujours positif sur ]0 ; +∞[, f′(x) est du signe de u(x), donc est strictement négative sur
]0 ; α[, et strictement positive sur ]α;+∞[ et s’annule en α. Par suite, la fonction fest strictement
décroissante sur ]0 ; α] et strictement croissante sur [α;+∞[ et atteint un minimum en α. On a :
x0α+∞
Signe de f′(x)−0+
variations
de ❅❅
❅❘ 
✒
f f (α)
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