Problème 03 Quadrilatère dans un carré

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Quadrilatère dans un carré − ℎ
1S
.
Problème
Soit
que 0 
à[
],[
un carré de côté 1. Pour tout nombre tel
< 1, on note , , , les points appartenant
],[
] et [
=
] respectivement, tels que :
=
=
=
Les points , , et sont les points d’intersection des
droites ( ) et ( ), ( ) et ( ), ( ) et ( ),
( ) et ( ), et on admet que ces quatre points sont
distincts deux à deu :
 Partie I
Conjecture à l’aide de GeoGebra
Construire une figure dynamique avec GeoGebra.
Faire afficher les angles du quadrilatère
, et les
longueurs des côtés de ce quadrilatère.
Emettre une conjecture sur la nature de
.
1. Propriété de projection orthogonale ( 3 points )
Soient , , trois points du plan, ≠ . On
note H le projeté orthogonal de sur (
).
⃗. ⃗ =
⃗. ⃗
Démontrer que :
 Partie III
1. Calculer
Preuve que
⃗.
est un rectangle
⃗
est un carré
⃗.
⃗
3. Par définition de
=
on a :
Montrer que :
1+
⃗=
⃗
⃗ = (1 − ) ⃗
puis que :
4. Montrer que :
, montrer que :
⃗.
⃗.
⃗ = 1−
⃗=
× √1 +
5. Déduire des deux expressions de
1−
=
√1 +
.
⃗.
⃗ que :
6. On montrerait de même que :
=
=
=
1−
√1 +
Quelle est la nature exacte du quadrilatère
?
Compléments
2. En déduire que : ( ) ⊥ ( ).
3. On montrerait de même que :
( ) ⊥ ( ), ( ) ⊥ ( ) et ( ) ⊥ (
.
Preuve que
1. En raisonnant dans le triangle
2. Calculer :
 Partie II
[R.O.C.] Propriétés de projection
Prérequis : la distributivité du produit scalaire, la relation de
Chasles sur les vecteurs, la caractérisation de l’orthogonalité
de deux vecteurs à l’aide d’un produit scalaire.
2. Propriété de projection orthogonale ( 4 points )
Soient , , , quatre points du plan, ≠ .
On note le projeté orthogonal de sur (
) et
le projeté orthogonal de sur (
).
Montrer que : ⃗. ⃗ = ⃗. ⃗
On souhaite étudier la nature du quadrilatère
 Partie IV
).
Que peut-on en déduire pour la nature du
quadrilatère
?
[1-3]
Une autre méthode est possible : se placer dans le repère
orthonormé ( ; ⃗ , ⃗), puis obtenir les coordonnées des
points , , , , , , , , chercher une équation des
droites dont les points d’intersection sont , , et .
Le soucis est la grande lourdeur des calculs nécessaires !
Sans rapport, voyez-vous comment montrer que , , , sont
nécessairement distincts deux à deux ?
Fin
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Corrigé
2. En déduire que : ( ) ⊥ ( )
2. Propriété de projection orthogonale ( 4 points )
⃗.
⃗.
⃗=
⃗=
⃗. ( ⃗ +
⃗.
⃗+
⃗+
⃗.
⃗) ( Chasles )
⃗+
⃗.
⃗.
⃗+0
On a montré à la question précédente que
⃗. ⃗ = 0  ⃗ ⊥ ⃗
⃗
Or, est le projeté orthogonal de sur (
) et
le projeté orthogonal de sur (
), par
⃗
⃗
⃗
conséquent :
⊥
et
⊥ ⃗, donc :
⃗. ⃗ = 0 et ⃗. ⃗ = 0
Comme ⃗ et ⃗ sont colinéaires, et ⃗ et ⃗ sont
colinéaires, on déduit de l’orthogonalités des
vecteurs ⃗ et ⃗ que ⃗ ⊥ ⃗, et donc que :
( ) ⊥ ( ).
On a donc :
⇔
 Partie III
1. Calculer
 Partie I
Conjecture à l’aide de GeoGebra
On peut raisonnablement penser que : « le quadrilatère
est un carré ».
 Partie II
[R.O.C.] Propriétés de projection
1. Propriété de projection orthogonale ( 3 points )
Soient , , trois points du plan, ≠ . On
note H le projeté orthogonal de sur (
).
⃗. ⃗ =
⃗. ⃗
Démontrer que :
⃗.
⃗=
⃗.
⃗ + ⃗ ( ℎ
)
⃗. ⃗ = ⃗. ⃗ + ⃗. ⃗
⇔
Or, comme est le projeté orthogonal de sur
(
), on en déduit : ⃗ ⊥ ⃗  ⃗. ⃗ = 0
On a donc :
⃗. ⃗ =
⃗. ⃗ + 0
⇔
⃗.
⃗=
⃗.
⃗
⃗.
⇔
⃗.
⃗ =0+
⃗. ⃗ =
Preuve que
⃗.
⃗.
⃗
est un rectangle
⃗
⃗ + ⃗ . ( ⃗ + ⃗ ) ( Chasles )
⃗=
⃗ . ⃗ = ⃗ . ⃗ + ⃗. ⃗ + ⃗ . ⃗ + ⃗ .
Or :
 ( ) ⊥ ( ) donc ⃗ ⊥ ⃗ ⃗. ⃗ = 0.
 ⃗ et ⃗ sont colinéaires et de même sens,
⃗.
⃗=+
. Comme
=1
⃗
⃗
et
= 1, on en déduit que :
.
= .
 ⃗ et ⃗ sont colinéaires et de sens contraires,
donc : ⃗ . ⃗ = −
×
. Comme
=
donc :
et
(
3. On montrerait de même que :
( ) ⊥ ( ), ( ) ⊥ ( ) et ( ) ⊥ ( ).
Que peut-on en déduire pour la nature du
quadrilatère
?
×
= 1, on en déduit que : ⃗ . ⃗ = − .
) ⊥ ( ) donc ⃗ ⊥ ⃗  ⃗ . ⃗ = 0.
On a donc :
⃗.
⃗ =0+ −
⇔ ⃗. ⃗ = 0
[2-3]
+0
Le quadrilatère
possède quatre angles droits,
donc c’est un rectangle.
⃗
 Partie IV
Preuve que
est un carré
1. En raisonnant dans le triangle
que :
, montrer
=√ +
Le triangle
est rectangle en , donc d’après le
théorème de Pythagore, on en déduit que :
²=
² + ². Comme
= 1 et
= , on
en déduit que :
2. Calculer :
Comme
on a :
⃗.
² = 1² + ² 
⃗.
⃗
⃗.
⃗=
= √1 +
est le projeté orthogonal de
⃗ = ⃗. ⃗
et comme :
on obtient finalement :
⃗² =
⃗.
sur (
² = 1² = 1
⃗ = 1.
.
),
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⃗
3. Par définition de on a : ⃗ =
Montrer que : ⃗ = ( − ) ⃗
On a :
⃗ = ⃗ + ⃗ ( Chasles )
Or,
⃗−
⇔
donc :
⃗−
puis que :
⃗.
⇔
⇔
⃗=
⃗
⃗=
et :
⃗
⃗= ⃗
⃗ =1 ⃗−
⃗ = (1 − ) ⃗
⃗=
5. Déduire des deux expressions de
−
=
√ +
On a d’une part :
−
Donc :
⃗
On vient de montrer que : ⃗ = (1 − ) ⃗ ,
donc :
⃗. ⃗ = (1 − ) ⃗ . ⃗ = (1 − ) × ⃗ .
Or, on a vu à la question précédente que :
⃗. ⃗ = 1
4. Montrer que :
⇔
⃗.
⃗
⃗ = (1 − ) × 1
⃗. ⃗ = 1 −
⃗=
×√ +
sur (
est le projeté orthogonal de
⃗=
⃗ = 1 − (question 3)
× 1+
=
=
⃗=+
×
Or, on a vu à la question 1. que :
donc :
⃗. ⃗ = × 1 +
−
On déduit de ce qui précède que :
=
=
=
) et est le
= √1 +
=
√ +
Quelle est la nature exacte du quadrilatère
Comme nous avions démontré à la question
précédente que
, ce rectangle a ses quatre
côtés de même longueur, donc c’est un carré.
⃗ sont colinéaires et de même sens,
⃗.
(question 4)
6. On montrerait de même que :
projeté orthogonal de sur ( ) ; donc d’après la
propriété de projection ( version 4 points ), on a :
⃗. ⃗ = ⃗. ⃗
Comme ⃗ et
on a :
⃗ que :
× 1+
=1−
1−
⇔ =
√1 +
donc :
⃗.
⃗.
⃗.
⃗.
,
[3-3]
?