Problème 03 Quadrilatère dans un carré
[1-3]
Quadrilatère dans un carré − ℎ .
Problème
Soit un carré de côté 1. Pour tout nombre tel
que 0 < 1, on note , , , les points appartenant
à[ ],[ ],[ ] et [ ] respectivement, tels que :
= = = =
Les points ,,et sont les points d’intersection des
droites ( ) et ( ),( ) et ( ),( ) et ( ),
( ) et ( ), et on admet que ces quatre points sont
distincts deux à deu :
On souhaite étudier la nature du quadrilatère .
Partie I Conjecture à l’aide de GeoGebra
Construire une figure dynamique avec GeoGebra.
Faire afficher les angles du quadrilatère , et les
longueurs des côtés de ce quadrilatère.
Emettre une conjecture sur la nature de .
Partie II [R.O.C.] Propriétés de projection
Prérequis : la distributivité du produit scalaire, la relation de
Chasles sur les vecteurs, la caractérisation de l’orthogonalité
de deux vecteurs à l’aide d’un produit scalaire.
1. Propriété de projection orthogonale ( 3 points )
Soient , , trois points du plan, ≠ . On
note H le projeté orthogonal de sur ( ).
Démontrer que :
⃗
.
⃗
=
⃗
.
⃗
2. Propriété de projection orthogonale ( 4 points )
Soient , , , quatre points du plan, ≠ .
On note le projeté orthogonal de sur ( ) et
le projeté orthogonal de sur ( ).
Montrer que :
⃗
.
⃗
=
⃗
.
⃗
Partie III Preuve que est un rectangle
1. Calculer
⃗
.
⃗
2. En déduire que : ( )⊥ ( ).
3. On montrerait de même que :
( )⊥ ( ),( )⊥ ( ) et ( )⊥( ).
Que peut-on en déduire pour la nature du
quadrilatère ?
Partie IV Preuve que est un carré
1. En raisonnant dans le triangle , montrer que :
= 1 +
2. Calculer :
⃗
.
⃗
3. Par définition de on a :
⃗
=
⃗
Montrer que :
⃗
=(1 − )
⃗
puis que :
⃗
.
⃗
= 1 −
4. Montrer que :
⃗
.
⃗
= × √1 + .
5. Déduire des deux expressions de
⃗
.
⃗
que :
= 1 −
√1 +
6. On montrerait de même que :
= = = 1 −
√1 +
Quelle est la nature exacte du quadrilatère ?
Compléments
Une autre méthode est possible : se placer dans le repère
orthonormé ( ;
⃗
,
⃗
), puis obtenir les coordonnées des
points , , , , , , , , chercher une équation des
droites dont les points d’intersection sont ,,et .
Le soucis est la grande lourdeur des calculs nécessaires !
Sans rapport, voyez-vous comment montrer que , , , sont
nécessairement distincts deux à deux ?
1S
Fin
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[2-3]
Corrigé
Partie I Conjecture à l’aide de GeoGebra
On peut raisonnablement penser que : « le quadrilatère
est un carré ».
Partie II [R.O.C.] Propriétés de projection
1. Propriété de projection orthogonale ( 3 points )
Soient , , trois points du plan, ≠ . On
note H le projeté orthogonal de sur ( ).
Démontrer que :
⃗
.
⃗
=
⃗
.
⃗
⃗
.
⃗
=
⃗
.
⃗
+
⃗
( ℎ )
⇔
⃗
.
⃗
=
⃗
.
⃗
+
⃗
.
⃗
Or, comme est le projeté orthogonal de sur
( ), on en déduit :
⃗
⊥
⃗
⃗
.
⃗
= 0
On a donc :
⃗
.
⃗
=
⃗
.
⃗
+ 0
⇔
⃗
.
⃗
=
⃗
.
⃗
2. Propriété de projection orthogonale ( 4 points )
⃗
.
⃗
=
⃗
. (
⃗
+
⃗
+
⃗
)( Chasles )
⃗
.
⃗
=
⃗
.
⃗
+
⃗
.
⃗
+
⃗
.
⃗
Or, est le projeté orthogonal de sur ( ) et
le projeté orthogonal de sur ( ), par
conséquent :
⃗
⊥
⃗
et
⃗
⊥
⃗
, donc :
⃗
.
⃗
= 0 et
⃗
.
⃗
= 0
On a donc :
⃗
.
⃗
= 0 +
⃗
.
⃗
+ 0
⇔
⃗
.
⃗
=
⃗
.
⃗
Partie III Preuve que est un rectangle
1. Calculer
⃗
.
⃗
⃗
.
⃗
=
⃗
+
⃗
. (
⃗
+
⃗
)( Chasles )
⇔
⃗
.
⃗
=
⃗
.
⃗
+
⃗
.
⃗
+
⃗
.
⃗
+
⃗
.
⃗
Or :
( )⊥ ( ) donc
⃗
⊥
⃗
⃗
.
⃗
= 0.
⃗
et
⃗
sont colinéaires et de même sens,
donc :
⃗
.
⃗
= + × . Comme = 1
et = 1, on en déduit que :
⃗
.
⃗
= .
⃗
et
⃗
sont colinéaires et de sens contraires,
donc :
⃗
.
⃗
= − × . Comme =
et = 1, on en déduit que :
⃗
.
⃗
= − .
( )⊥ ( ) donc
⃗
⊥
⃗
⃗
.
⃗
= 0.
On a donc :
⃗
.
⃗
= 0 + − + 0
⇔
⃗
.
⃗
= 0
2. En déduire que : ( )⊥ ( )
On a montré à la question précédente que
⃗
.
⃗
= 0
⃗
⊥
⃗
Comme
⃗
et
⃗
sont colinéaires, et
⃗
et
⃗
sont
colinéaires, on déduit de l’orthogonalités des
vecteurs
⃗
et
⃗
que
⃗
⊥
⃗
, et donc que :
( )⊥ ( ).
3. On montrerait de même que :
( )⊥ ( ),( )⊥ ( ) et ( )⊥ ( ).
Que peut-on en déduire pour la nature du
quadrilatère ?
Le quadrilatère possède quatre angles droits,
donc c’est un rectangle.
Partie IV Preuve que est un carré
1. En raisonnant dans le triangle , montrer
que : = √ +
Le triangle est rectangle en , donc d’après le
théorème de Pythagore, on en déduit que :
² = ² + ². Comme = 1 et = , on
en déduit que : ² = 1² + ² = √1 + .
2. Calculer :
⃗
.
⃗
Comme est le projeté orthogonal de sur ( ),
on a :
⃗
.
⃗
=
⃗
.
⃗
et comme :
⃗
.
⃗
=
⃗
² = ² = 1² = 1
on obtient finalement :
⃗
.
⃗
= 1.
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[3-3]
3. Par définition de on a :
⃗
=
⃗
Montrer que :
⃗
=(−)
⃗
On a :
⃗
=
⃗
+
⃗
( Chasles )
⇔
⃗
−
⃗
=
⃗
Or,
⃗
=
⃗
donc :
⃗
−
⃗
=
⃗
⇔
⃗
= 1
⃗
−
⃗
⇔
⃗
=(1 − )
⃗
puis que :
⃗
.
⃗
=−
On vient de montrer que :
⃗
=(1 − )
⃗
,
donc :
⃗
.
⃗
=(1 − )
⃗
.
⃗
=(1 − )×
⃗
.
⃗
Or, on a vu à la question précédente que :
⃗
.
⃗
= 1
donc :
⃗
.
⃗
=(1 − )× 1
⇔
⃗
.
⃗
= 1 −
4. Montrer que :
⃗
.
⃗
= ×√ +
est le projeté orthogonal de sur ( )et est le
projeté orthogonal de sur ( ); donc d’après la
propriété de projection ( version 4 points ), on a :
⃗
.
⃗
=
⃗
.
⃗
Comme
⃗
et
⃗
sont colinéaires et de même sens,
on a :
⃗
.
⃗
= + ×
Or, on a vu à la question 1. que : =√1 + ,
donc :
⃗
.
⃗
= ×1 +
5. Déduire des deux expressions de
⃗
.
⃗
que :
=−
√ +
On a d’une part :
⃗
.
⃗
= 1 − (question 3)
et :
⃗
.
⃗
= ×1 + (question 4)
Donc :
×1 + = 1 −
⇔ =
1 −
√1 +
6. On montrerait de même que :
= = =−
√ +
Quelle est la nature exacte du quadrilatère ?
On déduit de ce qui précède que :
= = =
Comme nous avions démontré à la question
précédente que , ce rectangle a ses quatre
côtés de même longueur, donc c’est un carré.
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