Groupes archimédiens et hyper-archimédiens

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
A LAIN B IGARD
Groupes archimédiens et hyper-archimédiens
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 21, no 1 (1967-1968), exp. no 2,
p. 1-13
<http://www.numdam.org/item?id=SD_1967-1968__21_1_A2_0>
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2-01
Séminaire DUBREIL-PISOT
(Algèbre et Théorie des
année, 1967/68,
21e
Nombres)
20 novembre
n~ 2
1967
GROUPES ARCHIMÉDIENS ET HYPER-ARCHIMÉDIENS
par Alain BIGARD
1. Notations et
Rappelons
tout d’abord
tout entier
uelaues résultats classiques.
rapp el de
groupe réticulé est dit archimédien si
qu’un
positif entraîne
n
valente, qui est souvent plus
positif, alors a e .
a ~-
On utilise
e .
commode :i Si
a ~
également
et si
e
une
b
b
pour
définition
équi-
pour tout entier
=
Les résultats suivants seront
supposés
(Von
connus
~~~~.
L. FUCHS
1.1. - Tout groupe archimédien est commutatif.
Ceci
nous
permet d’utiliser dorénavant
la
notation additive.
1.2. - Un groupe réticulé est archimédien si, et seulement si, il
gé
dans
En
un
groupe réticulé
la méthode de
fait,
peut être plon-
complet.
complétion
de Dedekind
s’applique
aux
groupes archimédiens.
1.3. - Un groupe totalement ordonné est archimédien si, et seulement si, il est
isomorphe à un
Nous ferons
à P. CONRAD
Un
sous-groupe de
un
R .
usage constant des
concepts suivants,
£-sous-groupe
est
convexe
un
sous-groupe
éléments positifs. On appelle idéal
engendré
par
on
At
est
Un idéal
pas
est
en
Tout
x-s-c
un
qui
convexe
distingué.
même
est
temps un
engendré par
Nous noterons
le
orthogonaux
si
~a~
0 . Pour toute
A
partie
A
de
pose
On dit
On
renvoyons
g .
Deux éléments sont dits
G ,
nous
[5] :
sous-treillis. Nous dirons dans la suite un " l-s-c".
ses
lesquels
pour
appelée composante
qu’un t-s-c
P
est
A . C’est
est
premier si
premier si, et
appelle valeur de
a .
P
de
a E
Toute valeur est
seulement
P
si,
G , tout
un
~-s-c . On notera
un
i-s-c premier.
G/P
maximal
a’
implique
au
lieu de
a E P
ou
(.a)~.
b E P .
est totalement ordonné.
parmi
ceux
qui
ne
contiennent
2~ Résultats
généraux~
On
archimédien, K
G
Soient
2, ~.
partie
C~
de
,
et
a :
l’absurde que
En
effet, supposons par
c.Ona 0b-tb,y
On
une
a
t
b A
b
c
donc
quels que soient
E K tel que
et
n
d ~ b .
.
(n - l)d ~
Supposons
(
(n - l)d - (n -
b . Conne
on a
t .
D’autre
d $ ’o - t , donc
part,
nd~d+(n-l.~d~b-t+t~b ,
Par
récurrence,
on a
pour tout
nd $ b
donc
n 9 donc
d =
0 ,
qui
ce
est contra-
dictoire.
2.2 PROPOSITION. -
c’est
médien,
une
Si
I
est
un
idéal fermé par
positifs est dit ~~orthogonal~~ si
assure
semble,
on a
infini dans
un
groupe archi-
composante.
Ceci résulte immédiatement du lemme
de Zorn
B/
ses
en
prenant
K = I . Un ensemble
éléments sont deux à deux orthogonaux. Ltaxiome
l’existence d’ensembles orthogonaux maximaux. Si
S’ = {0} ,
donc
d’éléments
S
S" = G . Le lemme donne alors la
S
est
un
tel
en-
proposition sui-
vante.
2.3 PROPOSITION. - Si
chimédien,
I
on
S
est
un
a, pour tout
b >
0 ,
orthogonal
maximal dans
un
groupe
ar-
~
2.4
couple
ensemble
Un groupe
d’éléments
réticulé est archimédien si, et seulement si, pour tout
positifs,
Il est clair que cette condition est suffisante. Pour montrer
qu’elle
est néces-
saire,
appliquer
on va
b
montrer que
e
K
le lemme à l’ensemble
g e IL’ . Pour tout
0
K" . Soit
Knb - a) v 01 nE!}.
=
n ,
on at
v
n(b
n(b
c’est-à-dire
A
.~) ~
a .
b
suite,
Par
A
g
=
0 . En
On doit
C]=0 ~
appliquant
lemme, il
le
vient
Si
Par
sup(m , n) , nous avons
b A m[(nb - a)
s =
conséquente
est archimédien et
G
2.5 COROLLAIRE. - Si
G/N
v
N
idéal fermé par
un
il
dénombrable,
est archimédien.
En
(nb - a)
v
0
e
N
pour tout
+
b
=
N
et
N+ nb
tels que
0 ~ b$a
effet~ soient
n.
D’après
N +
que soit
quel
a
la démonstration du théorème
On
n ~
2.4,
on
a
voit
que1
N
donc
Considérons
être
plongé
valeur de
C !
a
un
dans
a
D ,
/
et
G/N
représentable
G
groupe
un
est archimédien.
y
D
D/C
est
un
est l’intersection des
isomorphe à
un
pour tout
a
a E
de
E
une
D,
on
de R ~ 5 ~.
G,
a’
a
est l’intersection des valeurs de
telle que
D . Il existe
un
b ~
n
Réciproquement, considérons
a .
donc il existe
C .
D
étant défini
tel que, dans
un
si, et seulement si~
est archimédien
Montrons la suffisance. Soient
car
est
C
x-s-c contenant strictement
sous-groupe
représentable
G
Un groupe
C
qui peut
,
2.6
leur
groupe réticulé
direct de groupes totalement ordonnés. Si
produit
et si
c’est- à-dire
D/C ~
p
groupe archimédien.
comme
on
ait
plus haut,
C +
a
on
C
+
a
une va-
b
nb ,
E
D ,
donc
un
b > 0
a > 0 . Prenons
Soit
a)
a =
On
g > 0 . Soit
a
~b ~ az .
On
P
un
et
+ h
(nc A a)
nc =
gi
idéal premier tel que
P , ce qui entraînerait g E P . Soit
g A h = 0 , on a hEP et a fortiori
Îvl
ne A a E
comme
a Ab> 0 ,9
c =
a
donc il existe
Posons :
tel que
n
avec
+ g.
P . On
a~ P,
a
valeur de
une
h E I1 . Il
en
a
car
sinon
contenant
P ,
résulte que
,
c~
donc
M,
9
b~
et finalement
3. Problème de la représentation
On sait que
conjecturé
KRULL avait
de fonctions réelles
sur un
que les groupes archimédiens sont les groupes
ensemble. NAKAYAMA
donné
a
contre-exemple prouvant
un
qu’il n’en est rien, et finalement P. JAFFARD [8J a exhibé un groupe archimédien
qui n’admet aucun homomorphisme non nul dans R . Dès lors9 il ne restait plus que
deux directions de recherche. La première consiste à rechercher des représentations
exigeantes. Cette voie
moins
abouti
a
au
théorème de
Bernau [1] :i
Tout groupe
ar-
chimédien peut être plongé dans le groupe des fonctions continues presque finies
sur un
espace de Stone.
En suivant la méthode de
[2],
et BROWN
on
peut
déduire que tout groupe
en
archimédien est image homomorphe d’un groupe de fonctions réelles. La deuxième voie
consiste évidemment à déterminer des classes de groupes archimédiens
présentables
par des fonctions réelles. Dans cette
WEINBERG [10]
Soit
G
des idéaux
nous
que
groupe archimédien. Prenons
ne
contenant pas
x >
a
G
0 . Il existe
n
x =
On
a
Donc x
d’une part,9
E
+
pour tout
~~~a~
a > 0 . Soit
la borne
supérieure
l(a) .
tel que
I(a~.
na ~
et
x .
na
=
Posons :i
(x
D’autre part,q
na)
0
+ v
v ~
na
.
entraîne
Z(a~ .
3.2 LEM0152. - Dans
lentes
+
+ u
na E
x A
trouve le résultat de
a .
~z(a)
=
on
re-
généraliser.
un
3.1 LEMiE. - On
Soit
allons
voie y
qui sont
un
a >
groupe
0 ~1
archimédien,
les conditions suivantes sont
équiva-
(iii) ~~(a~ - s,s
(i)
t
a’
est maximal (iv)
(i) -- ~ (ii~ .
c’est-à-dire
(ii)
===>
~~(a~ ~-
Si
~~~
,
on
a
G
=
~’~
a~(a~
+
premier .
S!(a? 9
par définition de
donc
~. N
I~Î =; G .
(iii) .
On
a’ ~ 03A9(a) .
toujours
a
b n a > U
Q(b
qui implique
ce
E
a
est
A
a)
et
maximal. On
~~~ ~
A
on a
G
a) = s~(a~ ,
A
a
b ~ a’ ,
G
Si
et par suite
b
b~
A fortiori
(iii)
(iv)
==~
(i) . G%at
d’après (2.5).
~~I
Soit
=
Il est bien
lé,
à
9
est
premier. Il est archi-
a’
est
maximal,
donc
on
certainement
a
(iv)
est
~L(a~ ;
il
en
résulte
G .
dans tout grou.pe réticu-
équivalente,
basicft.
tous les
R(G~
de
G c ’ est-à-dire l’intersection
9
des
pour
a > 0 .
appellerons
représentation complète
toute
représentation qui
conserve
les
les ) infinis.
(donc
Si
tion
premier.
a’
car
a’ ~= i~’i , Comme
a
que la condition
connu
Considérons le radical
Nous
On
a .
~~(a~ - a’ ,
a~ . Finalement
ordonné,
~~(a~
=
Il n’a donc pas d’idéaux propres.
valeur de
une
a’
implique
est totalement
~
médien
M
(iv) ,car a ~ û~(a~
complète
Soit
est
un
groupe
et
G ~-~
l’est aussi. De
G/R(G)
archimédien,
dans le groupe des fonctions réelles
l’homomorphisme canonique
~~
maximale
G
plus ,
sur un
G~~~(G) .
admet
une
B/
représenta-
ensemble X.
Si
G ~
(~(a~~
est
on a
G = l (a) 0~(a) ~
donc
03C6(03A9(a))
Finalement
més, ce qui
y
est facteur direct dans
dans
ce
qui entraîne qu’ il
est fermé.
s’écrit
comme
intersection d’idéaux maximaux fer-
Pour
qu’un
groupe réticulé admette
établit le théorème.
3.4 COROLLAIRE
tation
G/R(G) ,
complète
dans le groupe des fonctions réelles
sur un
ensemble
une
représen-
il faut et il
suffit
En
soit archimédien et
qu’il
P. CONRAD
effet,
montré
a
tif si, et seulement si,
4.
complètement
son
distributif.
groupe abélien est
qu’un
complètement distribu-
radical est nul.
er-archimédiens.
Nous
que la condition archimédienne
déjà remarqué
avons
V
Nous définirons les groupes
hyper-archimédiens
’~
Les groupes
Nous dirons
f
g > 0 y
g ~ 0 , ~ m ,,
hyper-archimédiens peuvent
principal tout
4.1
Pour
un
A mg
peut s’écrire :i
mg .
par la condition
f
A
plus forte :
(m - 1, g .
mg ~
être caractérisés de la façon suivante :
l-s-c de la forme
groupe réticulé
Gy
les conditions suivantes sont
équiva-
lentes :â
(i)
(ii)
(iii)
(i)
G
est
hyper-archimédien ;
Tout
~-s-c
Tout
~-s-c
=:~
(ii)
principal
premier
Soit
est facteur
tel que
m
direct ;
est maximal.
f
A
mg $
(m - l)g .
[f - (m - l)g] A
qui peut slécrire
ce
0
Par
f
E
=
[f
conséquent,
g1
A
g] V
f -
( (m -
(ii) .~..~ (i) . Soient
f =
a +
b ~
(m - l)g .
b
0
avec
Par
g ~ 0 ,
l)g]
=
f et
a
g’
E
g
et
A
g
-’
G =
g’ ù~
v
car
Ag,
(m - l)g
f)]
A
A
f
g ~ 0 .
A g .
donc
E
on a
I(g~ .
positifs. Puisque
0 ~ b ~
G~
[f - ((m - l)g
g’ . Mais
A
Ceci prouve que
+
C
(- (m -. l)g ~ - .,J
+
a
°
= [[f - (m - l)g]
~
On
G =
Il existe
un
I(~7~ ~
on
entier
m
peut écrire
tel que
suite,
Donc
remontant le calcul
précédent,
on
retrouve
f
(ii
a
gt
==~
(iii) .
Soit
donc
P
un
G =
g’
(iii) ==> (ii) . (iii)
premier. Supposons
+
N , c’est-à-dire
entraîne évidemment que tout
N
=
G .
premier est minimal.
et I(g~ . Si
s~ engendré par g’
G , et considérons le
avait N l G , alors on pour rait trouver un
premier P contenant N .
près la propriété caractéristique des premiers minimaux ~~~9 g E P implique
g E
Prenons
on
D’a-
g’~P ,
et ceci
Un
donne
nous
contradiction.
une
hyper-archimédien
de groupe
exemple
est fourni par le groupe des fonctions
prennent qu’un nombre fini de valeurs. La ques.tion de savoir si tout groupe hyper-archimédien peut être représenté de cette manière est ouverte. On dispose cependant de la représentation suivante 2
réelles
X
ensemble
sur un
qui
ne
,
/
hyper-archimédien si et seulement si,
réelles sur un espace séparé, à supports
Un groupe reticulé est
4.2
peut être représenta,
par des fonctions
il
com-
pacts.
G
Soit
la
hyper-archimédien.
représentation G 2014~ ! )i
Soit
E
G/P ,
où
l’ensemble des idéaux premiers. Nous
G/P
isomorphe à
est
avons
sous-groupe de
un
R .
PEE
Pour
f E
G ,y
posons
1 f ~ P~ .
~~(f~
On vérifie facilement que la
d’ouverts est
et
effet,y
f1
L(f)
est
s’il n’en était pas
P . On
a
donc
f
pour cette
compact
ainsi,
e
+
z(f) ~
Réciproquement,
soit
G
-->
...
V
n
L(g)
base
I(f ) ,
+
U
la
.. o
P
E
E
tel que
qui implique
ce
1(i~) .
U
représentation donnée.
Soient
f & 0
et
,
=
ÎP
est ouvert dans
=
comme
Si
pourrait trouver
on
i(i~)
il G/P
topologie.
g ? 0 . Posons:
V
~( f ~
admettant les
séparée.
Montrons que
En
E
de
topologie
OE
£(g) )1
£(g) ,
UV. Prenons
un
car
ng
+
P » f
+
P)
£( (f - ng))
+
recouvrement fini
=
£(g)
est
L(g)
n
[ £((f -
ng) ) .
compact donc fermé. De plus,
=
V u .. , uV. Soit
ni
~k
m
le
des
plus grand
On
n..
a
mg + P > f
Il
en
pour tout
+P
03A3(g) .
E
P
résulte que
(f + P~ A[(m+
et finalement
f
n
(m
quel
que soit
P ,9
1 ~g
+
Il résulte immédiatement de la définition que tout sous-groupey sous-treillis
hyper-archimédien, est hyper-archimédien. Grâce à (4.1 (iii)) on voit
que la prcpriété se conserve par passade au quotient. Elle ne se conserve pas par
produit direct infini car R[0,1] n’est pas hyper-archimédien. Par contre, on a la
propriété suivante1
d’un groupe
y
4.3 PROPOSITION. - Une
si
et seulement
Soit
g
=
G =
9
est
g03BB ,
on
directe de groupes réticulés est
si9 chaque sommant
Prenons
+ ... +
g
somme
g
> 09
hyper-archimédien.
est
I(g)
et montrons que
l(g) ==
donc
hyper-archimédienne
+
peut
...
a
+
+f~+t
...
est facteur direct. On
avec
f i E Gi .
Puisque
Gi
hyper-archimédien,
fi = ui + si
Nous
avons
t
et
si E g’
u =
te
+
où
+
u E
g’ , donc s = s1
u1
...
I(gi)
u. E
+
+
...
et
s. E
et d’autre
+
part,
g’ . Finalement,
... + sx + t e
.
Le résultat suivant fournit
dien et
complètement
4.4
un
exemple
de groupe
qui
est à la fois
hyper-archimé-
distributif.
P our
un
groupe réticulé
G,
les conditions suivantes sont
’
valentes :
(i)
G
est
(ii) Tout
(iii) G est
archimédien,
est f acteur
isomorphe à
(i) -- ~ (ü~ .
fermé par
V
et tout élément n’a
une
nombre fini de
valeurs ;
direct ;
somme
Si tout élément n’a
infini
qu’un
directe de sous-groupes de
qu’un
[3J. D’après (2.2)
y
nombre fini de
nous
R .
valeurs,
tout
avons, pour tout idéal
est
J,
(ii) =~ (iii) .
dien.
P E
Ey
p
Grâce
Considérons,
tel que
=
a’ . Par
G,y
L(f)
P
tout
f
donc
G-/P ~ G ,
E
( ü.i ~ - > ( i ~ .
dien. Nous
est
nous
compact
la
I-
G=
représentation
est
a’ . Puisque
P
voyons que
P =
et
9
proposition
tenant pas
est
P
maximale
=
Il
P..
(4 n4 ~
Dans l’ énoncé
-.
a’ ~ P ,
on a
a ,
a’
donc
p~ n , , ,
n
-.-;
~~~ G/P.
Pour
PEE
il existe
donc
=
P’t
a E
{.P) .
Pour
plus,
donc il existe
un
idéal premier
tel que
i
un
est
G
que
est
P1
peut être remplacée par une condition plus forte,
une condition plus faible : "tout idéal est fermé
qu’un
ne
Comme
P1 ~ ~P .
sont les valeurs de
la condition "tout élément n’a
9
C
hyper-archiméx. = 0) . Si a E G , nous avons
Pn . Si P
résulte que les
en
(4 .3 ~,
1
R.. Posons
i~I
a = a~ + ... + an. ~
G
maximale
~~(a~ ,
hyper-archimé-
est
que
donc fini. De
discret~
Nous savons, par la
avons
savons
nous
la démonstration.
qui achevé
ce
y
il
(3.2)
(4.1),
(4.2) ,
dans
comme
P = P~’ _
avons
nous
théorème
au
con-
Pi
a .
nombre fini de valeurs"
la condition
(F)
de
Conrad,
ou
par
5.
Soit
V
booléen
qu’il
n
espace vectoriel
un
est
existe
tel que
monogène
élément
un
x $
ne .
base les
X(f) =={.?~ V j~
théorème
(4.2)
ment que
E
téristique
clopen,
de
donc
à
est
c’est dire
monogène,
x ,3 il existe
un
entier
est
un
un
un
Comme
~LT 7;
de
il résulte immé diatement du
=
espace de Boole.
espace de
Boole
9
nous
noterons
E
l’ espace
vectoriel
caractéristiques des "clopens". On vérifie aiséest réticulé. Il possède un élément archimédien2 la fonction caracE . Il est hyper-archimédien, car tout f ~ F
a pour support un
un
5.1
qu’il
"archimédien" :i pour tout
f~
est
que
Inversement, si E
sur
R engendré par
Dire
~-espace
un
l-espace booléen, nous pouvons lui associer
idéaux premiers;, avec la topologie admettant comme ouverts
V*
ses
est
V
l’espace
de
réticulé. Nous dirons que c’ext
hyper-archimédien.
et
e % 0
Si
sur R
les fonctions
compact
Si
E
(4.2).
ea,t
un
espace
topologique booléen,
’
(E*)*
est
homomorphe
E .
A tout
x
cation est
E , associons l’ idéal premier Mx = {f e
injective, car deux points distincts de E
;;
donc par
une
f(x)
e
fonction de
F ,
sont
=
séparés
.-
0} .
par
Cette
un
appii-
clopen’
tout
?4 - ?4
e
.
x
I.l $ 1>1x , car
Les L(f )
x
E
ce
supposons par l’ absurde que ?1 # ?4 x pour
est maximal, donc, pour tout x , il existe un
É,
idéal premier de
un
Alors
x .
$ fx
0
est
?,l
Si
,
1«1
forment
£(£~l)
#
recouvrement ouvert de
un
u
u . * .
Donc
B .
£(f ) .
~n
qui est impossible.
~ II
Inapplication x
un homëomorphisme,
Considérons,
Soit
est
un
et
V
~
g
soit
P
a +
envoyé
~(g)
un
avec
f.
e
de
V.
C
C ’ est-à-dire
C
E(f)
=
bre fini de
valeursy
Alors
a~V
mf
A
résulte que
V.
de
C S(e - r) ’
ce
(V )
Comme
Z(g)
(p(g)
qui signifie que
ne
est
compact,
on
peut
nombre fi-
prend qu’un
Comme
(v’V .
est
C
ouverte
il
peut s’écrire
C
=
U
ÂeA
03A3(f03BB)
étant compacta
C
V ~
est isomorphe à
donc
a
clopen
un
clopens, qui sont
V/P dans R (et un
identifions V/P à son image.
isomorphisme
1. Nous
(p(v) ~
C
(V )
fait
en
représentation :1
sur
~
==
recouvrement fini,
ni de valeurs. On
Soit
les
C’est
r
.
un
la
(E ) .
contient les fonctions constantes.
clopen. De plus
extraire
réticule booléen,
espace
(4.2),
conditions,
ces
Si
dans
un
de
archimédien. Il existe
tel que
bijection de E sur
E
est engendrée par
une
topologie
f e E
est
V
Si
comme
V
a e
seul),
Dans
pour
THÉORÈME. -
5.2
la
car
03A3(f)
de la forme
est donc
x
a
~~
~=
avec
=
Z(f~)
f ~
f
u
v
Il
...
...
v
peut trouver m tel
la
pour image, par 03C6 ,
(p(v) d’où l’égalité.
on
o
E(f~) .
f
e
V . Comme
que
fonction
1
f
ne
prend qu’un
pour tout
caractéristique
P
de
e
nom-
C .
C . Il
en
5.3 PROPOSITION. - Il existe
des
respondent
composantes
Si
aux
est
li
un
ouvert,
L
de
idéaux
£t ,1e treillis
e.t les
J
Si
f
est
Jy
e
E(f)=
un
idéal,
clopens
aux
cor-
idéaux principaux.
=
[f
é
£~~ )1
£i) u
posons
Réciproquement,
cette dernière condition est évidemment vérifiée.
2(g) ,
U
E
posons
çJ(i£)
Si
isomorphisme entre le treillis des ouverts de
. Dans cet isomorphisme, £es ouverts réguliers
un
91
si
a
on
g~J
E(f) ~
Il
en
p(a(J))
(~
=
ainsi que les
dent.
...
...
v
u
~.(~)
v
=
.-
v
g~)
.
v
=l(~
v
g~) ~ J
v
...
.
I .
entre les deux
l’isomorphisme
Dans
u
résulte
le
Donc
~(~)
compléments.
les
treillis,y
pseudo-compléments
La deuxième assertion
en
se
correspon-
résulte immédiatement.
~~
5.4 COROLLAIRE. -
est
E
espace stonien
un
si,
et seulement
si,
dans
Ey toute
composante est facteur direct.
/
B
5.5 THEOREME. - Un espace réticulé booléen
il n’a
nombre fini d’idéaux
qu’un
est
V
complet si,
et seulement
siy
premiers.
~
En vertu de
(5.l)
et
(5.2)y
nous
pouvons raisonner
E
1~ensemble des applications continues de
complet si,
et seulement
si,
E
dans
sur
]R .
E
==
V . Soit
On sait que
C(E y R~)
~) est
[9~.
est stonien
~
~
Si
E
est
fini,
il est
complet. Toute composante
stonien,
donc
est facteur
E
=
(E , R)
directe donc
E
est
complet. Supposons
est stonien
(5.4).
E
Montrons
.;..
C(E , R)
que
tout
0
complété
est le
C(E , R) ,
h E
CONRAD et Mc ALLISTER
v =
ri .De plus,
est bornée
égale à
Nous
donc
C =
gèbre
du
U
est
C
clopen vérifie
De la démonstration
inférieure > 0 . La fonction
complémentaire, appartient à E , et
s,
C
Soit
une
E
nous
clopens. On
compact.
L’al-
donc elle est finie. Il
des
complétion
d’un groupe
hyper-archimédienne.
deux espaces booléens. Il existe
F
et
F)
tion entre l’ensemble
e(E , F) ,
est
C
car
ascendante,
conclure que la
peut
on
n’est pas nécessairement
des
vérifie
est fini.
précédente,
E)
suite croissante de
réunion finie,
une
la condition de chaîne
5.6 PROPOSITION. - Soient
semble
peut prendre
eux.
C
v
g > 0 . Alors
avec
lui-même
E
hyper-archimédien
le
h
l’un d’ entre
clopen. C’est
un
s
borne
sa
sur
e R . On
r
réunion de clopens. Soit
une
0
03A3(gn)
C =
résulte que
en
bornée par
E _ C(E , R) .
donc
peut écrire C
h
s
0
telles
[6J). Supposons
et à
C ,
sur
avons
y
E
dans
et atteint
C ,
il suffit de montrer que, pour
v
est
sur
cela,
et
il existe
(P.
h
E . Pour
de
applications continues
E
de
une
F
dans
bijecet l t en-
homomorphismes d’espace réticulé qui préservent
tité.
Si 03C6
E
E
car
Soit
T E
/
~
y =
c~(x) ,
associons 03C6 ,
sépare
~B
Hom(F 9 E ) ,
préserve l’identité.
Posons
lui
f
les
/
c~
un
est
y
est continue. En
03C6 , 03C6 = T
o
~
B
--> T(f)(x)
Il existe donc
f
E .
de
points
B /
;(f) =
définie par
e
F
effet,
un
homomorphisme
unique,
soit
tel que
C =
de
F
sur R . Il
T(f)(x) = f(y) .
un
clopen
de
F . On
a :
.. ~ C ~ 1 l
donc -1 (C ) _
X E
C
~( T (f
~===~ f[(p(x)] ~
est
un
clopen.
0
Montrons que
T(f)(x) _ f(c~(x)) - ~(f)(x)
donc
ï(f) = (f) .
0
,ç ~- ‘
T
=
’~ .
pour tout
x ,
~===~
X E
E(ï(f)) ,
2-13
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