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TOPOLOGIE de la DROITE REELLE
peut se définir comme un corps totalement ordonné archimédien complet.
Nous ne donnerons pas ici de construction de
Une topologie sur un ensemble E est définie par l’ensemble des ouverts, qui sont des parties de E,
satisfaisant à des axiomes de stabilité par réunion et par intersection finie. Dans le cas de on
appelle ouvert toute réunion d’intervalles ouverts (et dans le cas de
, toute réunion de pavés
ouverts, un pavé étant le produit cartésien de intervalles ouverts).
Montrer l’équivalence: est ouvert dans
Notion de Point d’Accumulation
On dit que est un point d’accumulation de l’ensemble si tout ouvert contenant contient au
moins un point de distinct de , et par conséquent une infinité de points de .
Théorème : tout sous-ensemble infini borné de
Notion de Point Adhérent
On dit que est un point adhérent à l’ensemble si tout ouvert contenant contient au moins un
point de .
Tout point de peut donc être considéré comme adhérent à , sans que l’on n’exige aucune
propriété topologique pour ce point ; en revanche, un point adhérent à sans être dans est
nécessairement un point d’accumulation de .
On verra en topologie générale que l’ensemble des points adhérents à un ensemble se définit
comme le plus petit fermé contenant , cet ensemble est noté . L’ensemble des points
d’accumulation de est parfois noté .
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