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TOPOLOGIE de la DROITE REELLE
peut se définir comme un corps totalement ordonné archimédien complet.
est archimédien : 0, , . est complet : toute suite de Cauchy, ie toute suite #$% & de réels vérifiant :
) 0, * , + * , , -$%./ 0 $% - 1 ) est convergente.
Nous ne donnerons pas ici de construction de , en indiquant seulement les deux principales : dans la
première, on construit les nombres réels comme des classes de suites de Cauchy de rationnels, deux
suites étant équivalentes si et seulement si leur différence tend vers zéro ; dans la deuxième, dite des
« coupures de Dedekind », on définit les notions de section commençante >? @ AB C B 1 D et de
coupure ouverte #ensemble contenant n’importe laquelle de ses sections commençantes&, alors chaque
coupure ouverte de C définit une section commençante de .
La complétude de est un axiome logiquement équivalent à l’axiome d’existence de la
borne supérieure : « toute partie non-vide majorée de admet un plus petit majorant ».
Cet axiome d’existence de la borne supérieure entraîne immédiatement comme
corollaires deux théorèmes d’usage courant :
-
Toute suite croissante et majorée est convergente
Deux suites adjacentes sont convergentes vers une limite commune
On dit que #$% & et #M% & sont adjacentes ssi :
#1& , $% O M% #2& #$% & est croissante, et #M% & est décroissante #3& M% 0 $% R 0 quand R ∞
On dit que les ensembles > et T sont adjacents ssi :
#1& >, U T, O U #2& ) 0 >, U T, U 0 1 )
Exercice : Montrer l’équivalence des deux axiomes en question.
a& On suppose l’axiome d’existence de la borne supérieure. Montrer les deux
théorèmes énoncés ci-dessus. En déduire la complétude.
Indication : Montrer d’abord qu’une suite #$% & de Cauchy est bornée. Considérer
alors les deux suites Y% @ Z[\]% #$\ & , ^% @ _$,\]% #$\ & et montrer qu’elles sont
adjacentes.
b& On suppose maintenant la complétude. Même question, sans faire usage de la
borne supérieure.
c& Définir la notion d’ensembles adjacents. Montrer grâce au théorème des suites
adjacentes que deux tels ensembles ont une borne commune.
d& Soit A une partie non-vide majorée de , et Maj#A& l’ensemble de ses majorants.
Justifier que A et Maj#A& sont deux ensembles adjacents.
e& Conclure sur la validité de l’axiome d’existence de la borne supérieure.
Une topologie sur un ensemble E est définie par l’ensemble des ouverts, qui sont des parties de E,
satisfaisant à des axiomes de stabilité par réunion et par intersection finie. Dans le cas de , on
appelle ouvert toute réunion d’intervalles ouverts (et dans le cas de % , toute réunion de pavés
ouverts, un pavé étant le produit cartésien de intervalles ouverts).
-
Montrer l’équivalence: Ω est ouvert dans f Ω, g ZhiMjjh k$Mhi, g l Ω
Montrer que toute réunion d’ouverts est un ouvert, et que toute intersection finie
d’ouverts est un ouvert.
Notion de Point d’Accumulation
On dit que est un point d’accumulation de l’ensemble > si tout ouvert contenant contient au
moins un point de > distinct de , et par conséquent une infinité de points de >.
Théorème : tout sous-ensemble infini borné de d’accumulation.
#resp. % & admet au moins un point
Ce théorème se montre par une méthode de dichotomie.
Notion de Point Adhérent
On dit que est un point adhérent à l’ensemble > si tout ouvert contenant contient au moins un
point de >.
Tout point de > peut donc être considéré comme adhérent à >, sans que l’on n’exige aucune
propriété topologique pour ce point ; en revanche, un point adhérent à > sans être dans > est
nécessairement un point d’accumulation de >.
On verra en topologie générale que l’ensemble des points adhérents à un ensemble > se définit
comme le plus petit fermé contenant >, cet ensemble est noté >m. L’ensemble des points
d’accumulation de > est parfois noté >n.