calcul intégral

CALCUL INTÉGRAL
Sujets
septembre 2011 Antilles-Guyane
avril 2011 Pondichéry
juin 2011 Métropole
juin 2012 Antilles-Guyane
Formulaire↓

CALCUL INTÉGRAL 1
Antilles-Guyane septembre 2011 Exercice 1↑→
On considère la fonction fdéfinie sur ]0 ; +∞[par f(x) = xln x−1
Partie A
1. Déterminer la limite de fen 0 et en +∞
2. Calculer f0(x)pour tout x > 0.
En déduire le tableau de variations de fsur ]0 ; +∞[
3. Montrer que l’équation f(x)=0admet une solution unique que l’on notera α.
Donner un encadrement de αau centième.
4. Déterminer le signe de f(x)lorsque x∈]0 ; +∞[
5. Montrer que ln α=1
α
Partie B
On a représenté ci-dessous la courbe Cde la fonction fdans un repère orthonormé. On considère
l’intégrale suivante :
I=Z4
α
f(x)dx
1. Justifier que l’intégrale Iest l’aire d’un domaine du plan que l’on hachurera sur le document
donné en annexe.
2. Montrer que la fonction définie pour tout x > 0par
F(x) = x2ln x
2−x2 4−x
est une primitive de fsur ]0 ; +∞[
3. En déduire l’égalité I=α2
4+α 2+ 16 ln 2 −8.
Donner une valeur approchée de Iau dixième.
Figure
-2 -1 1 2 3 4 5 6
-1
1
2
3
4
5
x
y
C
O

CALCUL INTÉGRAL 2
Pondichéry avril 2011 Exercice 1↑→
Partie II
On considère la fonction fdéfinie sur l’intervalle ]0 ; +∞[par
f(x) = ln x+ 1 −1
x
1. Déterminer les limites de faux bornes de son ensemble de définition.
2. Étudier les variations de fsur ]0 ; +∞[.
3. En déduire le signe de f(x)lorsque xdécrit l’intervalle ]0 ; +∞[.
4. Montrer que la fonction Fdéfinie sur l’intervalle ]0 ; +∞[par
F(x) = xln x−ln x
est une primitive de f.
5. Démontrer que Fest strictement croissante sur l’intervalle ]1 ; +∞[.
6. Montrer que l’équation F(x) = 1 −1
eadmet une unique solution dans l’intervalle ]1 ; +∞[
que l’on notera α.
Donner un encadrement de αd’amplitude 10−1.
Partie III
Soient get hles fonctions définies sur l’intervalle ]0 ; +∞[par
g(x) = 1
xet h(x) = ln x+ 1
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes Cget Ch
représentatives des fonctions get h.
-1 1 2 3 4
-1
1
2
3
O
A
P
Cg
Ch
t

CALCUL INTÉGRAL 3
1. Déterminer les coordonnées du point A, point d’intersection de Chavec l’axe des abscisses.
2. Le point P est le point d’intersection de Cget de Ch: montrer que les coordonnées du point
P sont (1 ; 1) .
3. On note Al’aire du domaine délimité par les courbes Cget Chet par les droites d’équations
respectives x=1
eet x= 1 (ce domaine est grisé sur le graphique) .
a) Exprimer Aen fonction de la fonction fdéfinie dans la partie précédente.
b) Montrer que A= 1 −1
e
4. Soit tun nombre réel de l’intervalle [1 ; +∞[.
On note Btl’aire du domaine délimité par les courbes Cget Chet par les droites d’équations
respectives x= 1 et x=t(ce domaine est hachuré sur le graphique) .
On souhaite déterminer une valeur de ttelle que A=Bt.
a) Montrer que Bt=tln t−ln t
b) Conclure

CALCUL INTÉGRAL 4
Métropole juin 2011 Exercice 3↑→
Pour tout entier naturel nsupérieur ou égal à 1, on désigne par fnla fonction définie sur Rpar
fn(x) = xne−x
On note Cnsa courbe représentative dans un repère orthogonal O , −→ i , −→ j.
On désigne enfin par (In)la suite définie par :
In=Z1
0
xne−xdx
1. On veut dans cette question calculer I1=Z1
0
xe−xdx
a) Soit Fla fonction définie par F(x)=(−x+k)e−xoù kest une constante.
Calculer F0(x)
b) Pour quelle valeur de kl’égalité F0(x) = xe−xest vérifiée quel que soit le réel x?
c) En déduire une primitive de f1et démontrer I1= 1 −2
e
2. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbes C1,C2,C3,C10,C20,C30
comprises dans la bande définie par 0≤x≤1.
O1
0,5
C1
C2
C3
C10
C20 C30
a) Proposer une conjecture sur le sens de variation de la suite (In)en la justifiant graphi-
quement.
b) Démontrer la conjecture proposée.
c) Démontrer que la suite (In)est positive. En déduire qu’elle est convergente.
d) Déterminer lim
n→+∞In.