Trigonométrie et triangle rectangle 1 Triangle rectangle et demi-cercle 1.1 Une propriété des triangles rectangles : Si un triangle est rectangle alors il est inscrit dans un cercle dont le centre est le milieu de l’hypoténuse. A C Autrement dit : Si ABC est un triangle rectangle en A ; alors il est inscrit dans un cercle dont le centre est le milieu de l’hypoténuse [BC]. 1.2 B Et la propriété réciproque : Z Si un triangle est inscrit dans un cercle dont le centre est le milieu d’un côté, Alors ce triangle est rectangle. Autrement dit : I P Si Z est un point du cercle de diamètre [IP ] (distinct de I et P ) ; Alors ZIP est un triangle rectangle en Z. 2 Les propriétés de Pythagore 2.1 Propriété de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Autrement dit : Si ABC est un triangle rectangle en A ; Alors BC 2 = AB 2 + AC 2 2.2 Et la réciproque de Pythagore : Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. Autrement dit : Si BC 2 = AB 2 + AC 2 ; Alors ABC est un triangle rectangle en A. 1 3 Formules trigonométriques C b côté opposé à B sin = hypoténuse b = AC sin B BC b côté adjacent à B cos = hypoténuse b = AB cos B BC b côté opposé à B tan = b côté adjacent à B b = AC tan B AB p hy se nu é t o b opposé à B B A b adjacent à B b dans le triangle ABC, son côté opposé est le côté Remarque : En ce qui concerne l’angle C b son côté adjacent est le côté opposé à B, b et donc : adjacent à B, b = AB = cos B b sin C BC ; b = AC = sin B b cos C BC ; b = AB = (tan B) b −1 tan C AC b et C b sont complémentaires (comme dans un triangle rectangle) Si deux angles aigus B Alors : b = cos C b ; cos B b = sin C b ; tan B b= 1 sin B b tan C Remarque : Compte-tenu des formules, et du fait que le plus grand côté d’un triangle rectangle est l’hypoténuse, on a toujours : b≤1 0 ≤ cos B 4 et b≤1 0 ≤ sin B Angles particuliers 30◦ sin En appliquant les formules de trigonométries dans un demi carré, et dans un triangle équilatéral, on obtient les valeurs ci-contre : cos tan 5 1 2 60◦ √ √ 2 2 √ 3 2 √ 45◦ 3 3 √ 2 2 1 3 2 1 2 √ 3 Relations trigonométriques b un angle aigu d’un triangle rectangle, alors : Soit B b 2 + (cos B) b 2=1 ; (sin B) b= tan B b sin B b cos B Remarque : La relation précédente issue de la propriété de Pythagore peut s’écrire aussi : b + cos2 B b=1 sin2 B 2