Trigonométrie et triangle rectangle

Trigonométrie et triangle rectangle
1 Triangle rectangle et demi-cercle
1.1 Une propriété des triangles rectangles :
Si un triangle est rectangle
alors il est inscrit dans un cercle dont le
centre est le milieu de l’hypoténuse.
Autrement dit :
Si ABC est un triangle rectangle en A;
alors il est inscrit dans un cercle dont le
centre est le milieu de l’hypoténuse [BC].
A
B
C
1.2 Et la propriété réciproque :
Si un triangle est inscrit dans un cercle
dont le centre est le milieu d’un côté,
Alors ce triangle est rectangle.
Autrement dit :
Si Zest un point du cercle de diamètre [IP ]
(distinct de Iet P) ;
Alors ZIP est un triangle rectangle en Z.
I P
Z
2 Les propriétés de Pythagore
2.1 Propriété de Pythagore :
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse
est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Autrement dit :
Si ABC est un triangle rectangle en A;
Alors BC2=AB2+AC2
2.2 Et la réciproque de Pythagore :
Dans un triangle,
si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés,
alors ce triangle est rectangle.
Autrement dit :
Si BC2=AB2+AC2;
Alors ABC est un triangle rectangle en A.
1

3 Formules trigonométriques
sin = côté opposé à
b
B
hypoténuse
cos = côté adjacent à
b
B
hypoténuse
tan = côté opposé à
b
B
côté adjacent à
b
B
sin
b
B=AC
BC
cos
b
B=AB
BC
tan
b
B=AC
AB
AB
C
adjacent à
b
B
opposé à
b
B
hypoténuse
Remarque : En ce qui concerne l’angle
b
Cdans le triangle ABC , son côté opposé est le côté
adjacent à
b
B, son côté adjacent est le côté opposé à
b
B, et donc :
sin
b
C=AB
BC = cos
b
B; cos
b
C=AC
BC = sin
b
B; tan
b
C=AB
AC = (tan
b
B)−1
Si deux angles aigus
b
Bet
b
Csont complémentaires (comme dans un triangle rectangle)
Alors :
sin
b
B= cos
b
C; cos
b
B= sin
b
C; tan
b
B=1
tan
b
C
Remarque : Compte-tenu des formules, et du fait que le plus grand côté d’un triangle rectangle
est l’hypoténuse, on a toujours :
0≤cos
b
B≤1et 0≤sin
b
B≤1
4 Angles particuliers
En appliquant les formules de trigono-
métries dans un demi carré, et dans un
triangle équilatéral, on obtient les va-
leurs ci-contre :
30◦45◦60◦
sin 1
2
√2
2
√3
2
cos √3
2
√2
2
1
2
tan √3
31√3
5 Relations trigonométriques
Soit
b
Bun angle aigu d’un triangle rectangle, alors :
(sin
b
B)2+ (cos
b
B)2= 1 ; tan
b
B=sin
b
B
cos
b
B
Remarque :
La relation précédente issue de la propriété de Pythagore peut s’écrire aussi :
sin2b B+ cos2b B= 1
2