Trigonométrie et triangle rectangle

Trigonométrie et triangle rectangle
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Triangle rectangle et demi-cercle
1.1
Une propriété des triangles rectangles :
Si un triangle est rectangle
alors il est inscrit dans un cercle dont le
centre est le milieu de l’hypoténuse.
A
C
Autrement dit :
Si ABC est un triangle rectangle en A ;
alors il est inscrit dans un cercle dont le
centre est le milieu de l’hypoténuse [BC].
1.2
B
Et la propriété réciproque :
Z
Si un triangle est inscrit dans un cercle
dont le centre est le milieu d’un côté,
Alors ce triangle est rectangle.
Autrement dit :
I
P
Si Z est un point du cercle de diamètre [IP ]
(distinct de I et P ) ;
Alors ZIP est un triangle rectangle en Z.
2
Les propriétés de Pythagore
2.1
Propriété de Pythagore :
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse
est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Autrement dit :
Si ABC est un triangle rectangle en A ;
Alors BC 2 = AB 2 + AC 2
2.2
Et la réciproque de Pythagore :
Dans un triangle,
si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés,
alors ce triangle est rectangle.
Autrement dit :
Si BC 2 = AB 2 + AC 2 ;
Alors ABC est un triangle rectangle en A.
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Formules trigonométriques
C
b
côté opposé à B
sin =
hypoténuse
b = AC
sin B
BC
b
côté adjacent à B
cos =
hypoténuse
b = AB
cos B
BC
b
côté opposé à B
tan =
b
côté adjacent à B
b = AC
tan B
AB
p
hy
se
nu
é
t
o
b
opposé à B
B
A
b
adjacent à B
b dans le triangle ABC, son côté opposé est le côté
Remarque : En ce qui concerne l’angle C
b son côté adjacent est le côté opposé à B,
b et donc :
adjacent à B,
b = AB = cos B
b
sin C
BC
;
b = AC = sin B
b
cos C
BC
;
b = AB = (tan B)
b −1
tan C
AC
b et C
b sont complémentaires (comme dans un triangle rectangle)
Si deux angles aigus B
Alors :
b = cos C
b ; cos B
b = sin C
b ; tan B
b= 1
sin B
b
tan C
Remarque : Compte-tenu des formules, et du fait que le plus grand côté d’un triangle rectangle
est l’hypoténuse, on a toujours :
b≤1
0 ≤ cos B
4
et
b≤1
0 ≤ sin B
Angles particuliers
30◦
sin
En appliquant les formules de trigonométries dans un demi carré, et dans un
triangle équilatéral, on obtient les valeurs ci-contre :
cos
tan
5
1
2
60◦
√
√
2
2
√
3
2
√
45◦
3
3
√
2
2
1
3
2
1
2
√
3
Relations trigonométriques
b un angle aigu d’un triangle rectangle, alors :
Soit B
b 2 + (cos B)
b 2=1 ;
(sin B)
b=
tan B
b
sin B
b
cos B
Remarque :
La relation précédente issue de la propriété de Pythagore peut s’écrire aussi :
b + cos2 B
b=1
sin2 B
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