Fraction et quotient

Ch 6
Sommaire
0- Objectifs
1- Fraction et quotient
2- Multiples et diviseurs (nombres entiers)
3- Fractions égales
4- Utilisation de la calculatrice
5- Pourcentages
0- Objectifs
· Utiliser des fractions pour :
» rendre compte de partage de grandeurs dans des cas simples,
» exprimer un quotient.
· Multiples et diviseurs des nombres d’usage courant, critères de divisibilité
(2, 3, 4, 5, 9, 10).
· Établir des égalités entre des fractions simples.
FRACTIONS et QUOTIENTS

1- Fraction et quotient
Une fraction a plusieurs interprétations.
Exemple :
La fraction
6
4
peut s'interpréter comme 6 fois ¼ →
6
4
= 6×
1
4
Cette fraction peut aussi s'interpréter comme le quart de 6 →
6
4
= 6÷4
Règle :
Pour tout nombre a et tout nombre b différent de 0,
a
b
=a×
1
b
=a÷b
Exemples :
28
4
= 28÷4 = 7
45
45
= 45÷45 = 1
23
5
= 23÷5 = 4,6 et de façon plus précise :
23
5
= 4+
3
5
3×
2
3
= 3×2×
1
3
= 6×
1
3
= 6÷3 = 2 donc 3×
2
3
= 2
Règle :
Lorsqu'on multiplie une fraction par son dénominateur, on obtient son
numérateur.
Pour tout nombre a et tout nombre b différent de 0, b ×
a
b
= a
Exemples :
• 48 ×
0,7
48
= 0,7 • 486 ×
12
486
= 12
• Quel est le nombre n qui rend vraie l'égalité n × 9 = 8 ?
D'après la règle ci-dessus,
8
9
× 9 = 8 que l'on compare à l'égalité n × 9 = 8
donc, le nombre qui rend vraie l'égalité est n =
8
9

2 - Multiples et diviseurs (nombres entiers uniquement)
Ce paragraphe ne concerne que les nombres entiers.
Définition :
Un nombre entier m est un multiple d'un nombre entier n quand m est un
nombre entier de fois n . On dit aussi que n est un diviseur de m .
Exemples :
• 6 est un multiple de 2 car 6 = 3 × 2. On a aussi : 2 est un diviseur de 6
• Les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3 et 6 car 6 = 1 × 6 et 6 = 2 × 3
6 est un nombre parfait car 1 + 2 + 3 = 6 (il est la somme de ses diviseurs
différents de 6)
• Les diviseurs de 7 sont 1 et 7 car 7 = 1×7
7 est un nombre premier car il n'a que 2 diviseurs.
Pour savoir si un nombre entier est divisible par 2, ou par 3, ..., il existe des
critères, les critères de divisibilité. Voici les principaux :
Critère pour 2 :
Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Critère pour 5 :
Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Critère pour 3 :
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Critère pour 9 :
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemple :
• Donner quelques diviseurs de 3 588
3 588 est divisible par 2 (car il se termine par 8), par 3 (car 3 + 5 + 8 + 8 = 24
qui est divisible par 3) mais pas par 5 (car il ne se termine ni par 0, ni par 5)
ni par 9 (car 24 n'est pas divisible par 9).

3 - Fractions égales
Règle :
En multipliant (ou en divisant) à la fois le numérateur et le dénominateur par
un même nombre différent de 0, on obtient une fraction égale à cette
fraction.
Pour tout nombre a et tous nombres b et c différents de 0,
a
b
=
a×c
b×c
a
b
=
a÷c
b÷c
Exemples :
• Transformer
3,2
0,71
en fraction
3,2
0,71
=
3,2×100
0,71×100
=
320
71
• Simplifier
27
21
il faut chercher une table dans laquelle se trouvent 27 et 21 : la table de 3 convient
donc :
27
21
=
3×9
3×7
=
9
7
• Transformer
7
4
en douzièmes
7
4
=
7×3
4×3
=
21
12
• Écrire 3,6 en fraction
3,6 =
36
10
=
36÷2
10÷2
=
18
5
on retrouve le résultat obtenu avec la calculatrice
• Écrire
5
4
en écriture décimale
5
4
=
5×25
4×25
=
125
100
= 1,25
•
9
12
et
21
28
sont-elles égales ?
9
12
=
9÷3
12÷3
=
3
4
et
21
28
=
21÷7
28÷7
=
3
4
donc
9
12
=
21
28

4 - Utilisation de la calculatrice
Pour rentrer des fractions dans la calculatrice, on utilise la touche b
Exemples :
• Calculer
2
3
+
7
4
Suite des touches sur lesquelles on tape :
b2N3$+b7N4$l
On obtient
29
12
donc
2
3
+
7
4
=
29
12
Remarque :
On peut aussi utiliser la suite de touches suivantes pour obtenir le même
résultat : 2M3+7M4l
en effet, une fraction est une division :
2
3
+
7
4
= 2÷3 + 7÷4
• Transformer
3
4
en écriture décimale
Suite des touches sur lesquelles on tape :
b3N4$lx
On obtient 0.75 donc
3
4
= 0,75
De même, la suite de touches 3M4Ll convient puisque
3
4
= 3÷4
• Donner une valeur approchée de
2
7
Suite des touches sur lesquelles on tape :
2M7Ll
On obtient 0.2857142857 donc
2
7
≈ 0,29 (arrondi au centième)
• Transformer 3,6 en fraction
Suite des touches sur lesquelles on tape : 3,6l
On obtient
18
5
donc 3,6 =
18
5