Ch 6 FRACTIONS et QUOTIENTS Sommaire 0- Objectifs 1- Fraction et quotient 2- Multiples et diviseurs (nombres entiers) 3- Fractions égales 4- Utilisation de la calculatrice 5- Pourcentages 0- Objectifs · Utiliser des fractions pour : » rendre compte de partage de grandeurs dans des cas simples, » exprimer un quotient. · Multiples et diviseurs des nombres d’usage courant, critères de divisibilité (2, 3, 4, 5, 9, 10). · Établir des égalités entre des fractions simples. 1- Fraction et quotient Une fraction a plusieurs interprétations. Exemple : La fraction 6 peut s'interpréter comme 6 fois 4 ¼→ 6 1 = 6× 4 4 Cette fraction peut aussi s'interpréter comme le quart de 6 → 6 = 6÷4 4 Règle : Pour tout nombre a et tout nombre b différent de 0, a 1 =a× =a÷b b b Exemples : 28 45 = 28÷4 = 7 = 45÷45 = 1 4 45 23 23 3 = 23÷5 = 4,6 et de façon plus précise : = 4+ 5 5 5 2 1 1 2 3× = 3×2× = 6× = 6÷3 = 2 donc 3× = 2 3 3 3 3 Règle : Lorsqu'on multiplie une fraction par son dénominateur, on obtient son numérateur. a Pour tout nombre a et tout nombre b différent de 0, b× =a b Exemples : 0,7 • 48 × = 0,7 48 • 486 × 12 = 12 486 • Quel est le nombre n qui rend vraie l'égalité n × 9 = 8 ? 8 D'après la règle ci-dessus, × 9 = 8 que l'on compare à l'égalité n × 9 = 8 9 8 donc, le nombre qui rend vraie l'égalité est n = 9 2- Multiples et diviseurs (nombres entiers uniquement) Ce paragraphe ne concerne que les nombres entiers. Définition : Un nombre entier m est un multiple d'un nombre entier n quand m est un nombre entier de fois n. On dit aussi que n est un diviseur de m. Exemples : • 6 est un multiple de 2 car 6 = 3 × 2. On a aussi : 2 est un diviseur de 6 • Les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3 et 6 car 6 = 1 × 6 et 6 = 2 × 3 6 est un nombre parfait car 1 + 2 + 3 = 6 (il est la somme de ses diviseurs différents de 6) • Les diviseurs de 7 sont 1 et 7 car 7 = 1×7 7 est un nombre premier car il n'a que 2 diviseurs. Pour savoir si un nombre entier est divisible par 2, ou par 3, ..., il existe des critères, les critères de divisibilité. Voici les principaux : Critère pour 2 : Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. Critère pour 5 : Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. Critère pour 3 : Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Critère pour 9 : Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Exemple : • Donner quelques diviseurs de 3 588 3 588 est divisible par 2 (car il se termine par 8), par 3 (car 3 + 5 + 8 + 8 = 24 qui est divisible par 3) mais pas par 5 (car il ne se termine ni par 0, ni par 5) ni par 9 (car 24 n'est pas divisible par 9). 3- Fractions égales Règle : En multipliant (ou en divisant) à la fois le numérateur et le dénominateur par un même nombre différent de 0, on obtient une fraction égale à cette fraction. Pour tout nombre a et tous nombres b et c différents de 0, a a×c a a÷c = = b b×c b b÷c Exemples : 3,2 en fraction 0,71 3,2 3,2×100 320 = = 0,71 0,71×100 71 • Transformer • Simplifier 27 21 il faut chercher une table dans laquelle se trouvent 27 et 21 : la table de 3 convient donc : 27 3×9 9 = = 21 3×7 7 7 en douzièmes 4 7 7×3 21 = = 4 4×3 12 • Transformer • Écrire 3,6 en fraction 36 36÷2 18 3,6 = = = 10 10÷2 5 on retrouve le résultat obtenu avec la calculatrice 5 en écriture décimale 4 5 5×25 125 = = = 1,25 4 4×25 100 • Écrire 9 21 et sont-elles égales ? 12 28 9 9÷3 3 21 21÷7 3 = = et = = donc 12 12÷3 4 28 28÷7 4 • 9 21 = 12 28 4- Utilisation de la calculatrice Pour rentrer des fractions dans la calculatrice, on utilise la touche b Exemples : 2 7 + 3 4 Suite des touches sur lesquelles on tape : • Calculer b2N3$+b7N4$l On obtient 29 12 donc 2 7 29 + = 3 4 12 Remarque : On peut aussi utiliser la suite de touches suivantes pour obtenir le même résultat : 2M3+7M4l en effet, une fraction est une division : 2 7 + = 2÷3 + 7÷4 3 4 3 en écriture décimale 4 Suite des touches sur lesquelles on tape : • Transformer b3N4$lx On obtient 0.75 donc 3 = 0,75 4 De même, la suite de touches 3 = 3÷4 4 3M4Ll convient puisque 2 7 Suite des touches sur lesquelles on tape : • Donner une valeur approchée de 2M7Ll On obtient 0.2857142857 donc 2 ≈ 0,29 (arrondi au centième) 7 • Transformer 3,6 en fraction Suite des touches sur lesquelles on tape : 18 18 On obtient donc 3,6 = 5 5 3,6l 5- Prendre une fraction d'une quantité et pourcentage Exemple : • Calculer trois quarts de 32 L 3 1 On sait que = 3× 4 4 on calcule d'abord un quart de 32 L : 32 L:4 = 8 L donc un quart de 32 L est égal à 8 L puis on en prend 3 fois plus : 3×8 L= 24 L donc trois quarts de 32 L est égal à 24 L. Définition : Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est égal à 100. Exemple : 0,3 = 0,30 = 15 %= 30 = 30 % 100 15 = 0,15 100 Quelques pourcentages à connaître : 25 1 25 % = = 0,25 = 100 4 50 1 50 % = = 0,5 = 100 2 75 3 75 % = = 0,75 = 100 4 20 1 20 % = = 0,2 = 100 5 100 100 % = =1 100 Autre exemple : • Calculer 15 % de 750 g 15 15 % = = 0,15 100 donc 15 % de 750 g = 0,15×750 g = 112,5 g