DS 3ème 05

25-10-2012 Correction du Devoir surveillé n° 06 3ème
a
b
reste
682
496
186
496
186
124
186
124
62
124
62
0
a
b
reste
457
343
114
343
114
1
114
1
0
a
b
reste
210
135
75
135
75
60
75
60
15
60
15
0
Exercice 1 (3 points)
Les nombres suivants sont-ils premiers entre eux ? Justifie.
a) 218 et 162 sont divisibles par 2. Leur PGCD est donc différent de 1: ils ne sont pas premiers entre eux.
b) 457 et 343. Calculons leur PGCD à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
On effectue la division euclidienne de a par b. L’algorithme s’arrête
lorsque le reste est nul. Le PGCD est le dernier reste non nul.
PGCD (457 ; 343) = 1
Donc 457 et 343 sont premiers entre eux.
Exercice 2 (4 points)
1) Donne la liste des diviseurs de 45. Diviseurs de 45 : 1 – 3 – 5 – 9 – 15 – 45
2) Donne la liste des diviseurs de 36. Diviseurs de 36 : 1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 9 – 12 – 18 – 36
3) En déduire le PGCD de 45 et 36. Le PGCD est donc 9.
Exercice 3 (4 points)
Soit A = 682
496 . Écris le nombre A sous la forme d’une fraction irréductible. Pour cela on calculera le PGCD des
nombres 682 et 496.
On calcule le PGCD des nombres 682 et 496 en utilisant l’algorithme d’Euclide.
On effectue la division euclidienne de a par b. L’algorithme s’arrête
lorsque le reste est nul.
Le PGCD est le dernier reste non nul.
PGCD (682 ; 496) = 62
A 682
496 = 682 : 62 496 : 62 donc A = 11
8
Exercice 4 (3 points)
Simplifie les fractions suivantes après avoir décomposé le numérateur et le dénominateur en un produit de facteurs
premiers.
A = 56
48 = 2
2 2 7
2 2 2 2 3 A= 7
6 B = 30
39 = 2
3 5
3 13 B = 10
13
Exercice 5 (5 points)
1) Calcule le PGCD des nombres 135 et 210.
On calcule le PGCD des nombres 135 et 210 en utilisant l’algorithme d’Euclide.
On effectue la division euclidienne de a par b. L’algorithme s’arrête
lorsque le reste est nul.
Le PGCD est le dernier reste non nul.
PGCD (135 ; 210) = 15
2) Dans une salle de bains, on veut recouvrir le mur situé au dessus de la baignoire avec un nombre entier de
carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un nombre entier de centimètres le plus grand possible.
a. Détermine la longueur, en cm, du côté d'un carreau, sachant que le mur mesure 210 cm de hauteur et 135 cm
de largeur. Justifie.
On veut un nombre entier de carreaux donc il n’y aura pas de découpe, de plus la forme est carrée, donc le côté du
carreau doit être un diviseur de la longueur et de la largeur.
Enfin on cherche le plus grand côté possible, c'est-à-dire le plus grand diviseur commun à la longueur et à la largeur.
D’après le résultat du 1) la longueur du côté doit être égale à 15 cm.
b. Combien faudra-t-il alors de carreaux ?
210 : 15 = 14 et 135 : 15 = 9. Soient 14 carreaux dans la hauteur et 9 dans la largeur.
14 × 9 = 126, ce qui donne un total de 126 carreaux pour couvrir le mur.