25-10-2012 Exercice 1 ème Correction du Devoir surveillé n° 06 3 (3 points) Les nombres suivants sont-ils premiers entre eux ? Justifie. a) 218 et 162 sont divisibles par 2. Leur PGCD est donc différent de 1: ils ne sont pas premiers entre eux. b) 457 et 343. Calculons leur PGCD à l’aide de l’algorithme d’Euclide. On effectue la division euclidienne de a par b. L’algorithme s’arrête lorsque le reste est nul. Le PGCD est le dernier reste non nul. PGCD (457 ; 343) = 1 Donc 457 et 343 sont premiers entre eux. Exercice 2 a b reste 457 343 114 343 114 1 114 1 0 (4 points) 1) Donne la liste des diviseurs de 45. Diviseurs de 45 : 1 – 3 – 5 – 9 – 15 – 45 2) Donne la liste des diviseurs de 36. 3) En déduire le PGCD de 45 et 36. Diviseurs de 36 : 1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 9 – 12 – 18 – 36 Le PGCD est donc 9. Exercice 3 (4 points) 682 . Écris le nombre A sous la forme d’une fraction irréductible. Pour cela on calculera le PGCD des 496 nombres 682 et 496. Soit A = On calcule le PGCD des nombres 682 et 496 en utilisant l’algorithme d’Euclide. On effectue la division euclidienne de a par b. L’algorithme s’arrête a lorsque le reste est nul. 682 Le PGCD est le dernier reste non nul. PGCD (682 ; 496) = 62 496 A 682 682 : 62 = 496 496 : 62 Exercice 4 donc A= 11 8 b reste 496 186 186 124 186 124 62 124 62 0 (3 points) Simplifie les fractions suivantes après avoir décomposé le numérateur et le dénominateur en un produit de facteurs premiers. A= 56 2227 = 48 22223 Exercice 5 A= 7 6 B= 30 2 3 5 = 39 3 13 B= 10 13 (5 points) 1) Calcule le PGCD des nombres 135 et 210. On calcule le PGCD des nombres 135 et 210 en utilisant l’algorithme d’Euclide. On effectue la division euclidienne de a par b. L’algorithme s’arrête a lorsque le reste est nul. 210 Le PGCD est le dernier reste non nul. b reste 135 75 135 75 60 75 60 15 60 15 0 PGCD (135 ; 210) = 15 2) Dans une salle de bains, on veut recouvrir le mur situé au dessus de la baignoire avec un nombre entier de carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un nombre entier de centimètres le plus grand possible. a. Détermine la longueur, en cm, du côté d'un carreau, sachant que le mur mesure 210 cm de hauteur et 135 cm de largeur. Justifie. On veut un nombre entier de carreaux donc il n’y aura pas de découpe, de plus la forme est carrée, donc le côté du carreau doit être un diviseur de la longueur et de la largeur. Enfin on cherche le plus grand côté possible, c'est-à-dire le plus grand diviseur commun à la longueur et à la largeur. D’après le résultat du 1) la longueur du côté doit être égale à 15 cm. b. Combien faudra-t-il alors de carreaux ? 210 : 15 = 14 et 135 : 15 = 9. Soient 14 carreaux dans la hauteur et 9 dans la largeur. 14 × 9 = 126, ce qui donne un total de 126 carreaux pour couvrir le mur.