IE2_2014

Interrogation de Mécanique n˚2
Mardi 18 Mars 2014, durée 1h30
Les documents et les calculatrices sont interdits.
Les exercices sont indépendants.
1
Questions de cours
1. Enoncer les trois lois de Kepler.
2. (a) Ecrire l’équation d’une ellipse en coordonnées polaires. Comment doit être e l’excentricité pour que ce soit
bien une ellipse.
(b) Dessiner une ellipse et placer sur ce dessin : a demi grand axe, b demi petit axe et p paramètre de l’ellipse.
2
Changement de référentiel : Train dans un virage
Lors de la construction d’une nouvelle ligne de train, un ingénieur de la SNCF veut calculer l’angle d’inclinaison
optimal des rails pour le confort des passagers pendant un virage. Le but de la première partie de l’exercice est de
l’aider à trouver cet angle.
On sait que le train a une vitesse de croisière (que l’on notera v) de 200 km/h. De plus, on considère que le virage est
en arc de cercle de rayon R = 500 m.
u~θ
u~z
u~r
R
α
u~r
O
Toutes les questions de cet exercice sont partiellement ou totalement indépendantes. Elles peuvent donc être traité
même si la question précédente n’a pas été trouvée.
1. Montrez que le vecteur rotation ω
~ s’écrit : ω
~ =
v
R
u~z
Dans la suite de l’exercice on travaillera dans le référentiel du train (référentiel non galiléen). Le système que l’on
étudie est un passager, immobile dans son siège.
2. Quelle force cherche-t-on a compenser en inclinant les rails ? Donnez son expression générale et la calculer avec
les données de l’énoncé.
3. Sur un schéma dans le plan (O, u~r , u~z ), placer la force d’inertie et le poids. En déduire l’angle α dont il faut
incliner les rails pour que la somme de ces deux forces soit suivant la verticale du train.
Quelques mois plus tard, l’ingénieur inaugure cette nouvelle ligne de train. Alors qu’il est tranquillement installé en
première classe en train de savourer son verre de... Cola, il s’aperçoit que les ouvriers n’ont pas respecté ses ordres
(α = 0) : son verre trop plein est sur le point de se renverser ! Il réfléchit vite et décide d’utiliser la force de Coriolis
pour compenser la force d’entraînement.
4. (a) Dans quel sens l’ingénieur doit-il déplacer son verre ? La réponse doit être justifié grâce au calcul de la force.
(b) A quel vitesse doit-il déplacer son verre pour entièrement compenser la force d’entraînement ? Faire l’application numérique. Commentaire ?
5. De quelle autre manière beaucoup plus simple aurait-il pu sauver son Cola ?
3
Moment cinétique
Nous allons étudier le mouvement d’un enfant glissant sans frottement sur un toboggan. Celui-ci est représenté
par un arc de cercle, de centre O, de rayon R, comme indiqué sur la figure. A l’instant t = 0, l’enfant part avec une
vitesse nulle d’un angle θ0 = 10˚.
1. Faire le bilan des forces et donner leurs composantes dans le repère (u~r , u~θ ).
2. Calculer le moment des forces en M par rapport à O.
3. Donner l’expression de la vitesse dans le repère (u~r , u~θ )., puis calculer le moment cinétique de M par rapport
à O à l’instant t.
4. En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, montrer que l’équation différentielle du mouvement se met sous
la forme :
1
θ̈ − 2 cos(θ) = 0
τ
5. Donner l’expression et la dimension de τ .
4
Force centrale
Un golfeur américain et un golfeur français s’opposent dans un tournoi de golf. Chacun d’entre eux décide de s’aider
en plaçant un dispositif dans le trou et dans la balle de golf, leur permettant d’appliquer une force d’attraction entre
la balle et le trou.
Le français opte pour une force centrale de la forme :
A
F~F r = − 3 u~r
r
L’américain choisit d’utiliser une force centrale de la forme :
B
F~U SA = − 2 u~r
r
On notera m la masse de la balle et O la position du trou, origine du repère (u~r , u~θ , u~z ). A l’instant t = 0, la balle
−−−→
se situe au point M0 , à une distance d0 du trou, de telle sorte que OM0 = d0 u~r . Pour tester leur dispositif, les deux
golfeurs donnent à la balle une vitesse initiale v~0 = v0 u~θ . On supposera qu’elle glisse sur le green sans frottement.
1. Montrer que la trajectoire de la balle de golf est contenue dans un plan.
2. Déterminer l’expression du moment cinétique de la balle de golf par rapport à O à l’instant t en fonction de m,
r, θ et de leurs dérivées.
3. En déduire que la vitesse angulaire s’écrit : θ̇ = dr0 2v0 . Que devient cette vitesse angulaire lorsque la balle
s’approche du trou ?
4. Donner l’expression de l’accélération en fonction de r, θ et de leurs dérivées. Puis en fonction de r, ses dérivées,
d0 et v0 .
5. En déduire l’équation différentielle, du deuxième ordre en r, du mouvement de la balle pour le joueur américain.
(On ne demande pas de la résoudre)
6. Déterminer l’expression de l’énergie potentielle EpU SA (r) (respectivement EpF r (r)) dont dérive la force F~U SA
(respectivement F~F r ). Dans les deux cas, on choisit l’origine des énergies potentielles à l’infini.
7. Donner l’expression de l’énergie mécanique de la balle pour les deux golfeurs. Est-elle conservée ?
8. (a) Dans l’expression de l’énergie mécanique reconnaitre le terme de barrière centrifuge que l’on notera Eb (r).
(b) Quelle condition doit satisfaire Ep + Eb pour que la balle rentre dans le trou ?
9. Pour le golfeur français :
(a) Cette condition peut-elle avoir lieu ? Si oui, en déduire une condition sur A.
(b) Tracer l’allure de Ep (r) + Eb (r) dans le cas A > mv02 d20 et A < mv02 d20 .
10. Pour le golfeur américain :
(a) Cette condition peut-elle avoir lieu ?
(b) Tracer l’allure de Ep (r) + Eb (r).
11. Qui a fait le meilleur choix ?