29. On fait appel ici au principe de conservation de l`énergie

29. On fait appel ici au principe de conservation de l’énergie mécanique : la valeur de l’énergie mécanique doit être la
même au sommet du mouvement qu’à la position initiale. La deuxième loi de Newton sert à déterminer le module de
la vitesse et, par conséquent, l’énergie cinétique au sommet. Là, la tension T dans la corde et la force gravitationnelle
sont toutes deux orientées vers le bas, vers le centre du cercle. On note que le rayon du cercle est r L d, de
sorte que la deuxième loi de Newton peut s’écrire T + mg = mv 2 /(L − d), où v est le module de la vitesse et
m est la masse de la balle. Quand la balle passe au point le plus élevé avec le plus petit module de la vitesse possible pour décrire une trajectoire circulaire, la tension est nulle. Donc,
v2
=⇒ v = g(L − d) .
mg = m
L−d
On considère ici que l’énergie potentielle gravitationnelle du système balle-Terre est nulle quand la balle se trouve
au point le plus bas de son mouvement. L’énergie potentielle initiale est alors mgL. L’énergie cinétique initiale est
nulle puisque la balle part du repos. L’énergie potentielle gravitationnelle finale, au sommet de sa trajectoire, est
2mg(L − d) et l’énergie cinétique finale est 12 mv 2 = 12 mg(L − d) si on utilise l’expression obtenue précédemment pour v. La conservation de l’énergie donne
1
mgL = 2mg(L − d) + mg(L − d) =⇒ d = 3L/5.
2
Si la valeur de d est supérieure à cette dernière, le point le plus élevé se trouve plus bas et le module de la vitesse
de la balle est supérieur quand elle atteint ce point ; la balle le franchit donc. Si la valeur de d est inférieure, la balle
ne peut effectuer un cercle autour de la cheville. Par conséquent, la valeur de d qu’on a déterminée est une limite
inférieure.