Activités préparatoires MATH IV Médecine et Dentisterie IV

Activités préparatoires MATH IV
Médecine et Dentisterie
IV : Géométrie et trigonométrie 1
Pierre Mathonet
Département de Mathématique
Faculté des Sciences
Liège, le 19 Août 2014
Distance ou pas distance
Voici une situation classique en sciences :
Taille (dm)
Poids (kg)
O1 20
10
120 P
E
18
60
Quelle est la distance entre le point Preprésentant le professeur et le
point Ereprésentant l’étudiant de corpulence moyenne ?
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P. Mathonet, Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.
Définitions élémentaires
Les définitions données sont en général valables en géométrie plane, ou
en géométrie dans l’espace. Quand une propriété n’est vraie qu’en
géométrie plane, on avertit en indiquant “Dans le plan...”.
Les objets élémentaires : point, droite, plan, demi-droite, segment
Postulat 4.1
Par deux points distincts Aet B, il passe une et une seule droite. Cette
droite est notée AB. Par trois points A,B,Cde l’espace, non alignés
(non sur une même droite) il passe un et un seul plan. On le note ABC.
Représentation : des droites det AB, un segment [C,D], une
demi-droite [E,F:
E
F
CD
A
B
AB
d
3
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Parallélisme, postulat et conséquences
Définition 4.2
Dans le plan, deux droites d1et d2dont l’intersection est un singleton
{I}sont dites sécantes (au point I). Dans le cas contraire, elles sont dites
parallèles, et on note d1//d2.
Attention : quand les droites d1et d2sont égales, elles sont parallèles.
Postulat 4.3 (Euclide)
Par un point (extérieur) à une droite, on peut mener une et une seule
parallèle à cette droite.
Proposition 4.4
•Si d1est parallèle à d2, alors d2est parallèle à d1.
•Si d1//d2et si d2//d3alors d1//d3.
•Dans le plan, si deux droites d1et d2sont parallèles, alors toute droite sécante à
l’une est sécante à l’autre.
•Dans le plan, si deux droites d3et d4sont sécantes, toute parallèle à l’une est
sécante à l’autre.
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Représentations :
E
d
d0
et
d2
d1
d
d3
d
d0
d4
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Repères et coordonnées cartésiennes du plan
On a donc une correspondance entre les points de “la droite” et les
nombres réels, si on fixe l’origine et une unité.
0
O
1
E1
3
A
5,2
B
d
La notion de repère cartésien du plan prolonge cette idée :
0
O
1
E1
A
p1(A)
p2(A)
d1
d2
1
E2
1
On associe un nombre réel a1àp1(A)et un nombre a2àp2(A). Ainsi au
point Acorrespond un couple de nombres (a1,a2).
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Définitions
•Le couple (a1,a2)formé par l’abscisse et l’ordonnée d’un point Aest
le couple de coordonnées de Adans le repère donné.
•Par habitude, on note xl’abscisse et yl’ordonnée d’un point du
plan. On note aussi xle premier axe du repère et yle second.
•L’association point du plan – couple de coordonnées est une
bijection (on dit aussi “correspondance biunivoque”) :
•deux points distincts ont des coordonnées distinctes ;
•tout couple de nombres réels (a1,a2)est le couple de coordonnées
d’un point A.
0
O1
A
a1
a2
x
y
1
Cette bijection permet de représenter de manière géométrique une
situation où il n’y a que des nombres, et de traiter de manière algébrique
une situation géométrique.
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Vecteurs liés : définition géométrique
Les définitions suivantes sont valides dans le plan ou dans l’espace.
Définition 4.5
Un vecteur lié en un point Aest un couple (A,B). De manière
équivalente, il est défini par un segment orienté de Avers B. On le note
parfois −→ AB et on le représente par une flèche de AàB.
Deux vecteurs liés en A.
A
B
C
En physique, le vecteur peut représenter une force, en mathématique, on
peut le voir comme une translation.
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Equipollence et vecteurs libres
Définition 4.6
Des vecteurs (A,B)et (C,D)liés en Aet en Csont équipollents si
ABDC est un parallélogramme, ou s’ils sont équipollents à un même
troisième. On note alors (A,B)↑(C,D).
A B
C D
E F
Remarque : on n’a pas ici (A,B)↑(D,C): l’ordre a de l’importance.
Définition 4.7
Un vecteur libre est un ensemble de vecteurs liés équipollents entre eux.
Chacun de ces vecteurs liés est un représentant du vecteur libre en
question. On note aussi −→ AB le vecteur libre représenté par (A,B).
Si (A,B)↑(C,D),−→ AB et −→ CD représentent la même force.
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Opérations sur les vecteurs (libres)
•L’Addition : on a −→
AB +−→ BC =−→ AC (c’est la relation de Chasles).
Cette définition est indépendante du représentant du vecteur.
A B
C
•L’addition est associative et suit la règle du parallélogramme ;
•Le vecteur (libre) −→
AA est neutre pour l’addition. On le note −→ 0 . C’est
le vecteur nul.
•Alors l’opposé du vecteur −→
AB est −→ BA. On le note aussi −−→ AB.
•On définit alors la soustraction −→
u−−→ vde deux vecteurs par
−→
u−−→ v=−→ u+ (−−→ v).
•On peut définir la multiplication par les nombres des vecteurs.
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Combinaisons linéaires, milieu, centre de gravité
En combinant les deux opérations, on peut former des multiples et des
sommes de plusieurs vecteurs (des combinaisons linéaires) Les règles de
priorité concernant les additions, multiplications et parenthèses sont
celles déjà rencontrées.
Définition 4.8
Soit [A,B]un segment de droite. Le milieu de [A,B]est l’unique point M
tel que −−→ AM =−−→ MB. Soient A,B,Ctrois points du plan (non alignés), le
centre de gravité du triangle ABC est le point, noté G, tel que
−→
GA +−→ GB +−→ GC =−→ 0 .
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Composantes de vecteurs associées à un repère
On considère un repère, déterminé par trois points O,E1,E2. On note
−→
e1=−−→ OE1et −→ e2=−−→ OE2.
Proposition 4.9
Tout vecteur (libre) −→ u se décompose de manière unique comme
−→
u=u1−→ e1+u2−→ e2,
où u1,u2sont des nombres réels. On note −→ u: (u1,u2). Ce sont les
composantes de −→ u dans le repère.
2 3 4 5 6 7
2
3
4
0
O
1x
y
E2
E1
−→
u
u1
−→
e1
u2
−→
e2
Remarque : Le couple (−→ e1,−→ e2)est la base associée au repère.

Composantes de combinaisons linéaires
Proposition 4.10
Si −→ u: (u1,u2),−→ v: (v1,v2)et r ∈R, alors
−→
u+−→ v: (u1+v1,u2+v2),et r−→ u: (ru1,ru2).
En particulier pour tous r,s∈R,
r−→ u+s−→ v: (ru1+sv1,ru2+sv2).
Conséquence : On définit l’addition des couples de réels et la
multiplication des couples par des nombres :
R2={(x,y) : x,y∈R}.
Addition dans R2:(a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2+b2).
Multiplication par un nombre : r(a1,a2)=(ra1,ra2).
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Lien avec les coordonnées
Soit un repère cartésien défini par O,E1et E2. Vu la définition des
composantes et des coordonnées, on a le lien suivant.
Proposition 4.11
Pour tout point A du plan, les coordonnées de A dans un repère sont les
composantes de −→ OA dans ce repère.
Si Best un autre point du plan , on a −→ OA +−→ AB =−→ OB, ou
−→
AB =−→ OB −−→ OA.
Proposition 4.12
Dans un repère, si A : (a1,a2)et si B : (b1,b2), alors
−→
AB : (b1,b2)−(a1,a2).
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Repère de l’espace
•C’est la même histoire... Il faut seulement trois axes gradués. On les
détermine avec quatre points O,E1,E2,E3non situés dans un même
plan.
•On note −→
e1=−−→ OE1,−→ e2=−−→ OE2,−→ e3=−−→ OE3.
•Tout point Ade l’espace est déterminé par trois coordonnées, mais
on doit utiliser des plans pour le voir.
Proposition 4.13
Tout vecteur −→ u de l’espace se décompose de manière unique comme
combinaison linéaire de −→ e1,−→ e2et −→ e3. Les coefficients de la combinaison
linéaire sont les composantes du vecteur −→ u dans le repère.
Les raisonnements tenus pour les vecteurs du plan s’étendent pour des
vecteurs de l’espace.
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Equations de droites dans le plan
•Données : une droite, et un repère cartésien du plan, donné par
O,E1,et E2(ou O,−→ e1et −→ e2).
•But 1 : déterminer des coordonnées de certains points de la droite
(équation paramétrique) ;
•But 2 : étant donné un point Xdu plan, déterminer si oui ou non il
appartient à la droite (une équation cartésienne), au moyen d’une
relation simple à vérifier sur les coordonnées de X.
L’idée se voit :
B
A
AB
X
X0
Donc on a X∈AB si, et seulement si, −→ AX est multiple de −→ AB.
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Equations paramétriques de AB
D’après ce que nous avons vu, si dans le repère déterminé par O,E1et
E2, on a A: (a1,a2)et B: (b1,b2)(avec A6=B) alors on a toujours
X∈AB ⇔ ∃r∈R:−→ AX =r−→ AB.
C’est une équation paramétrique vectorielle de AB.
En termes des coordonnées de X, on a toujours
X: (x,y)∈AB ⇔ ∃r∈R:x−a1=r(b1−a1)
y−a2=r(b2−a2)(4.1)
Ce sont des équations paramétriques cartésiennes de AB, qui règlent la
question 1 : si on donne des valeurs particulières à r, on trouve des
coordonnées de points de AB.
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Equations cartésiennes de AB
Pour obtenir une équation cartésienne de AB, il suffit d’exprimer la
condition (4.1). Trois cas peuvent se produire :
•b1−a16=0, b2−a26=0 : alors
X: (x,y)∈AB ⇔x−a1
b1−a1
=y−a2
b2−a2
.(4.2)
•b1=a1,b2−a26=0 : alors AB est parallèle à l’axe yet
X: (x,y)∈AB ⇔x−a1=0.(4.3)
•b1−a16=0, b2=a2: alors AB est parallèle à l’axe yet
X: (x,y)∈AB ⇔y−a2=0.(4.4)
En résumé : on applique le cas général (4.2), et quand un dénominateur
s’annule, on remplace l’équation par l’annulation du numérateur
correspondant. On peut aussi écrire
AB ≡(b2−a2)(x−a1)=(b1−a1)(y−a2).
Cette équation prend en compte tous les cas.
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Droite donnée par un point et un vecteur directeur
•On se donne un vecteur libre −→
vnon nul :−→ v=−→ CD avec C6=D.
•On se donne un point A.
•Il existe une seule droite dparallèle à CD et passant par A.
A
d
CD
−→
v
C
D
•On a X∈dsi, et seulement si, −→
AX est multiple de −→ v.
•On remplace donc −→
AB par −→ vdans les développements précédents.
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Equation générale d’une droite
•Toute droite admet une équation du type
ax +by +c=0,
avec (a,b)6= (0,0);
•Réciproque : l’ensemble des points dont les coordonnées satisfont
une telle équation est une droite :
a) Si b6=0, on vérifie que c’est la doite AB où A: (0,−c
b)et B: (1,−a+c b).
b) Si b=0, on vérifie que c’est la doite AB où A: (−c
a,0)et B: (−c a,1).
•Dans les deux cas, un vecteur directeur est donné par (−b,a).
•Si b6=0, la pente d’une telle droite est donnée par −a
b.
•Si b6=0, l’équation est équivalente à y=−a
bx−c b.
•On retrouve donc l’équation sous la forme y=mx +p.
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