cv - un probleme de simplification de fraction

CV - UN PROBLEME DE SIMPLIFICATION
DE FRACTION
On se pose le problème suivant : quels sont les nombres rationnels de la forme abc
bcd tels que
abc
bcd =a d.
Pour de tels nombres, tout revient à “simplifier” par bc (les notations abc,bcd, etc représentant l’écriture
décimale des nombres entiers, donc a,bet csont des entiers entre 0 et 9 et dest non nul).
Ce problème se traduit donc par l’égalité
100a+ 10b+c
100b+ 10c+d=a d,
ou encore si l’on pose U= 10b+c,100a+U
10U+d=a d,
ce qui équivaut à
100ad +Ud = 10Ua +ad ,
ou encore
U=99ad
10a−d.
Enfin, en posant s= 10a−d,
U=99a(10a−s)
s.
Remarquons tout d’abord que si a=d, alors U= 11a(et s= 9a), et nous avons l’égalité triviale
aaa
aaa =a a.
Nous pouvons donc éliminer cette situation.
Cherchons une condition nécessaire liant aet s.
Le nombre Uest compris entre 10 et 99, donc nécessairement
0<a(10a−s)
s≤1.
L’inégalité de gauche impose a > s/10. Celle de droite conduit à l’inéquation du second degré
10a2−as −s≤0.

CV 2
Une des racines du trinôme du membre de gauche est négative, l’autre vaut
α=s+√s2+ 40s
20 ,
ce que l’on peut majorer par
α < s+√s2+ 40s+ 400
20 =s 10 + 1 .
Donc nécessairement s
10 < a < s 10 + 1 .
Ceci signifie que pour une valeur de sdonnée, si aexiste, il vaut nécessairement
a= E s
10+ 1 ,
et en particulier aussi, que si sest divisible par 10, le nombre an’existe pas.
Inversement si aest donné, la condition
a(10a−s)
s≤1,
donne
s≥10a2
a+ 1 .
Si a= 1 on doit donc avoir s≥5,
si a= 2, on trouve s≥40/3donc s≥14,
si a= 3, on trouve s≥90/4donc s≥23.
Comme la fonction a7→ 10a2
a+ 1 est croissante sur R+, si a≥4, on trouve s≥160/5 = 32.
Maintenant, puisque Uest un nombre entier, le nombre sdoit diviser 99a(10a−s). Etudions les fac-
teurs premiers ppossibles pour s.
Si pdivise 99, il ne peut valoir que 3ou 11.
Si pdivise 10a−s, il divise 10a. Il peut donc valoir 2et 5. Alors, si
a=pia′, d = 10a−s=pjd′et s=pks′,
avec a′,d′et s′non divisibles par p, on a
U=pi+j−k99a′d′
s′,
ce qui nécessite, pour que Usoit entier, que i+j−k≥0.

CV 3
Si pdivise a, qui est plus petit que 9, il peut aussi valoir 7et ceci uniquement si a= 7. Dans ce
cas puisque a= E s
10 + 1, on aura 60 ≤s≤69. Mais le seul multiple de 7dans cet intervalle est
63 = 7 ×9, et dans ce cas a=d. Donc sne peut être divisible par 7.
Les seuls facteurs premiers possibles sont donc dans l’ensemble {2,3,5,11}.
Ces remarques étant faites, nous allons pour chaque valeur de a, écrire les valeurs de scomprises entre
10(a−1) + 1 et 10a−1dont les facteurs premiers sont 2, 3, 5 et 11 (sachant que l’on ne peut avoir à
la fois 2 et 5). Avec les conditions obtenues ci-dessus, il restera uniquement les cas cherchés.
a= 1
Le nombre sest compris entre 5et 9: les nombres spossibles sont 5, 6, 8, 9. Mais s= 9 = 9aest
exclu. Par ailleurs si s= 8 = 23= 2k, on a d= 10 −s= 21= 2jet a= 20= 2idonc k > i +j, et
s= 8 n’est pas possible. Il reste
a s d U
1 5 5 99 199
995 =1 5
1 6 4 66 166
664 =1 4
a= 2
Le nombre sest compris entre 14 et 19 : les nombres spossibles sont 15, 16, 18. Mais s= 18 = 9aest
exclu. Par ailleurs, si s= 16 = 24= 2k, on a d= 20 −s= 22= 2jet a= 21= 2idonc k > i +j, et
s= 16 n’est pas possible. Il reste
a s d U
2 15 5 66 266
665 =2 5
a= 3
Le nombre sest compris entre 23 et 29 : les nombres spossibles sont 24, 25, 27. Mais s= 27 = 9aest
exclu. Par ailleurs, si s= 24 = 3 ×23= 3 ×2k, on a d= 30 −s= 3 ×21= 3 ×2jet a= 3 ×20= 3 ×2i
donc k > i +j, et s= 24 n’est pas possible. De même si s= 25 = 52= 5k, on a d= 30 −s= 51= 5jet
a= 3×50= 3×5idonc k > i+j, et s= 25 n’est pas possible. Il n’y a pas de solution dans cette tranche.
a= 4
Le nombre sest compris entre 32 et 39. Les nombres spossibles sont 32, 33, 36. Mais s= 36 = 9aest
exclu. Il reste

CV 4
a s d U
4 32 8 99 499
998 =4 8
4 33 7 84 484
847 =4 7
a= 5
Le nombre sest compris entre 41 et 49 : les nombres spossibles sont 44, 45, 48. Mais s= 45 = 9a
est exclu. Par ailleurs, si s= 44 = 11 ×22= 11 ×2k, on a d= 50 −s= 3 ×21= 3 ×2jet
a= 5 ×20= 5 ×2idonc k > i +j, et s= 44 n’est pas possible. De même si s= 48 = 3 ×24= 3 ×2k,
on a d= 50 −s= 21= 2jet a= 5 ×20= 5 ×2idonc k > i +j, et s= 48 n’est pas possible. Il n’y a
pas de solution dans cette tranche.
a= 6
Le nombre sest compris entre 51 et 59 : les nombres possibles sont 54 et 55. Mais s= 54 = 9aest
exclu. Il reste
a s d U
6 55 5 54 654
545 =6 5
a= 7
Le nombre sest compris entre 61 et 69 : les nombres spossibles sont 64 et 66. Mais si s= 64 = 26= 2k,
on a d= 70 −s= 3 ×21= 3 ×2jet a= 7 ×20= 7 ×2idonc k > i +j, et s= 64 n’est pas possible.
Il reste
a s d U
7 66 4 42 742
424 =7 4
a= 8
Le nombre sest compris entre 71 et 79 : les nombres spossibles sont 72 et 75. Mais s= 72 = 9aest
exclu. Par ailleurs, si s= 75 = 3 ×52= 3 ×5k, on a d= 80 −s= 51= 5jet a= 8 ×50= 8 ×5idonc
k > i +j, et s= 75 n’est pas possible. Il n’y a pas de solution dans cette tranche.
a= 9
Le nombre sest compris entre 81 et 89 : les nombres spossibles sont 81 et 88. Mais s= 81 = 9aest
exclu. Par ailleurs, si s= 88 = 11 ×23= 11 ×2k, on a d= 90 −s= 21= 2jet a= 9 ×20= 9 ×2i
donc k > i +j, et s= 88 n’est pas possible. Il n’y a pas de solution dans cette tranche.

CV 5
En résumé les seuls nombres possibles sont
a s d U
1 5 5 99 199
995 =1 5
1 6 4 66 166
664 =1 4
2 15 5 66 266
665 =2 5
4 32 8 99 499
998 =4 8
4 33 7 84 484
847 =4 7
6 55 5 54 654
545 =6 5
7 66 4 42 742
424 =7 4