Division euclidienne (rappels) Si a et b sont deux nombres entiers naturels (avec b non nul), alors on peut trouver deux entiers q et r tels que : a =b xq + r avec 0 ≤ r < b reste dividende diviseur quotient ( ≠ 0) Quand on pose l’opération, cela donne : dividende diviseur quotient reste Exemple : Effectuons la division euclidienne de 52 par 3. 52 3 22 17 ce qui s’écrit aussi 52 = 3 x 17 + 1 1 Division euclidienne (rappels) Si a et b sont deux nombres entiers naturels (avec b non nul), alors on peut trouver deux entiers q et r tels que : a =b xq + r avec 0 ≤ r < b reste dividende diviseur quotient ( ≠ 0) Quand on pose l’opération, cela donne : dividende diviseur quotient reste Exemple : Effectuons la division euclidienne de 52 par 3. 52 3 22 17 1 ce qui s’écrit aussi 52 = 3 x 17 + 1 Exercices sur la division euclidienne Exercice 1 : Effectuer les divisions euclidiennes et vérifier les résultats à la calculatrice 138 5 138 = 5 x 192 + 192 = 6 x 6 369 + 3 369 = 3 x + Par exemple, pour le premier, la suite de touches sur lesquelles il faut taper est : (sur la Casio fx-92) 138 5 Exercice 2 : 271 élèves d’un collège doivent participer à une course d’orientation. 30 adultes seront présents pour encadrer cette sortie. 1/ Le déplacement doit s’effectuer dans des bus de 55 places maximum. Combien de bus faut-il ? 2/ Les professeurs décident de constituer le plus d’équipes possibles de 8 élèves. Combien d’équipes complètes ferontils ? Exercice 3 : On a 12 croissants et 18 pains au chocolat que l’on veut répartir dans des corbeilles ayant toutes le même contenu. Combien faut-il prévoir de corbeilles ? (Chercher toutes les possibilités) Exercice 4 : Le célèbre pirate Edward Teach, dit « Barbe-noire », pille, en 1 718, un navire chargé d’or. Il dit à ses 300 hommes : « Comptez ces pièces d’or. Partagez-les de façon à ce que chacun en ait le même nombre et donnez-moi le reste ! » Le décompte montre que le butin s’élève à 6 850 pièces d’or. Que peut-on dire de ce partage ? Exercice 5 : Madame Champ vient de recevoir un arrivage de 84 grandes marguerites et 48 roses. Elle souhaite répartir toutes ces fleurs dans des bouquets identiques. (Tous les bouquets sont pareils) 1/ Peut-elle faire 7 bouquets ? 3 bouquets ? Si oui, quelle est alors la composition de chaque bouquet ? (combien y a-t-il de roses, et combien y a-t-il de grandes marguerites ?) 2/ Ecrire la liste de tous les diviseurs de 48, puis la liste des diviseurs de 84. Entourer les diviseurs communs aux deux listes. 3/ En déduire les nombres possibles de bouquets identiques que peut faire Madame Champ. 4/ En fait, elle veut réaliser le nombre maximal de bouquets identiques. Quel est ce nombre ? Quelle est alors la composition de chaque bouquet ? Le nombre trouvé dans la question 4 s’appelle le PGCD (plus grand des diviseurs communs) de 84 et 48. Réponses partielles : exo 2 : 1/ 6 bus 2/ 33 équipes complètes exo 3 : 1 ; 2 ; 3 ou 6 corbeilles exo 5 : 4/ 12 bouquets de 7 grandes marguerites et 4 roses.