La fonction dérivée de la fonction f (x) = tan 3(x) est :

Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
1
La fonction dérivée de la fonction f (x) = tan3 (x) est :
2
f 0 (x) = 3tan
` (x)
´
f 0 (x) = 3 1 + tan2 (x) × tan2 (x)
3sin2 (x)
f 0 (x) =
cos 4 (x)
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
1
La fonction dérivée de la fonction f (x) = tan3 (x) est :
2
f 0 (x) = 3tan
` (x)
´
f 0 (x) = 3 1 + tan2 (x) × tan2 (x)
3sin2 (x)
f 0 (x) =
cos 4 (x)
2
Une approximation affine de
0, 2 − 0, 04h
5−h
0, 2 + 0, 04h
1
pour h proche de 0 est :
5+h
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
1
La fonction dérivée de la fonction f (x) = tan3 (x) est :
2
f 0 (x) = 3tan
` (x)
´
f 0 (x) = 3 1 + tan2 (x) × tan2 (x)
3sin2 (x)
f 0 (x) =
cos 4 (x)
2
Une approximation affine de
0, 2 − 0, 04h
5−h
0, 2 + 0, 04h
3
1
pour h proche de 0 est :
5+h
L’égalité : (−1 + h)3 = −1 + 3h + h(−3h + h2 ) h ∈ R permet
d’affirmer que :
la fonction f définie par f (x) = (−1 + x)3 est dérivable en -1 de
nombre dérivé 3
la fonction f définie par f (x) = x 3 est dérivable en -1 de nombre
dérivé 3
la fonction f définie par f (x) = x 3 est dérivable en -1 de nombre
dérivé -1
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
1
La fonction dérivée de la fonction f (x) = tan3 (x) est :
2
f 0 (x) = 3tan
` (x)
´
f 0 (x) = 3 1 + tan2 (x) × tan2 (x)
3sin2 (x)
f 0 (x) =
cos 4 (x)
2
Une approximation affine de
0, 2 − 0, 04h
5−h
0, 2 + 0, 04h
3
1
pour h proche de 0 est :
5+h
L’égalité : (−1 + h)3 = −1 + 3h + h(−3h + h2 ) h ∈ R permet
d’affirmer que :
la fonction f définie par f (x) = (−1 + x)3 est dérivable en -1 de
nombre dérivé 3
la fonction f définie par f (x) = x 3 est dérivable en -1 de nombre
dérivé 3
la fonction f définie par f (x) = x 3 est dérivable en -1 de nombre
dérivé -1
4
lim
x→ π2
cos(x)
est égale à
x − π2
0
1
`π´
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
1
La fonction dérivée de la fonction f (x) =
] − 2; 2[ est :
1
f 0 (x) = √
2 4 − x2
x
0
f (x) = − √
4 − x2
−2x
f 0 (x) = √
4 − x2
√
4 − x 2 pour x dans
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
1
La fonction dérivée de la fonction f (x) =
] − 2; 2[ est :
√
4 − x 2 pour x dans
1
f 0 (x) = √
2 4 − x2
x
0
f (x) = − √
4 − x2
−2x
f 0 (x) = √
4 − x2
2
Une approximation affine de sin(h) pour h proche de 0 est :
−h
1
h
2
h
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
1
La fonction dérivée de la fonction f (x) =
] − 2; 2[ est :
√
4 − x 2 pour x dans
1
f 0 (x) = √
2 4 − x2
x
0
f (x) = − √
4 − x2
−2x
f 0 (x) = √
4 − x2
2
Une approximation affine de sin(h) pour h proche de 0 est :
−h
1
h
2
h
3
La fonction f définie par : f (x) = sin(3x) est
paire
impaire
périodique de période
2π
3
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Démontrons que f est périodique de période 2π.
Pour tout x de R on a :
f (x + 2π)
= sin2 (x + 2π) + cos(x + 2π)
=
2
(sin(x + 2π)) + cos(x)
= sin2 (x) + cos(x)
=
f (x)
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Démontrons que f est une fonction paire .
Pour tout x de R on a :
f (−x)
= sin2 (−x) + cos(−x)
2
=
(sin(−x)) + cos(x)
=
(−sin(x)) + cos(x)
= f (x)
2
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Calcul de f 0 (x)
Pour tout x de [0; π] on a :
f 0 (x)
=
2 × cos(x) × sin(x) − sin(x)
=
sin(x) × (2cos(x) − 1)
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
1
Résolution de l’équation cos x = sur l’intervalle [0; π]
2
Une analyse sur le cercle trigonométrique permet d’affirmer que
1
l’équation cos x = admet une unique solution sur [0; π].
2
Les valeurs remarquables de la fonction cosinus permettent
π
d’affirmer que cette solution est :
3
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
1
Résolution de l’équation cos x = sur l’intervalle [0; π]
2
Une analyse sur le cercle trigonométrique permet d’affirmer que
1
l’équation cos x = admet une unique solution sur [0; π].
2
Les valeurs remarquables de la fonction cosinus permettent
π
d’affirmer que cette solution est :
3
1
Résolution de l’inéquation cos x > sur l’intervalle [0; π]
2
Une analyse sur le cercle trigonométrique permet d’affirmer que
h πh
1
l’inéquation cos x > admet pour ensemble solution 0; .
2
3
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Signe de f 0 (x) sur l’intervalle [0; π].
π
x
0
3
Signe de sin(x)
+
0
Signe de 2cos(x) − 1
Signe de f 0 (x)
0
π
+
+
0
−
+
0
−
0
0
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Tableau de variation de f sur [0; π].
π
x
0
3
Signe de f 0 (x)
+
0
0
5
4
Variation de f
1
π
−
0
-1
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Construction de la courbe représentative de f sur R
On construit la courbe sur [0; π]
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Construction de la courbe représentative de f sur R
On construit la courbe sur [0; π]
On construit le symétrique de cette partie de courbe par rapport à
l’axe des ordonnnées
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Construction de la courbe représentative de f sur R
On construit la courbe sur [0; π]
On construit le symétrique de cette partie de courbe par rapport à
l’axe des ordonnnées
La courbe est alors connue sur une période.
Il suffit alors de translater cette courbe
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
y
x
(Cf )
Conjectures sur la dérivabilité de la fonction f en 0 et en 2.
Il semble que la courbe admette une tangente horizontale en 0
On peut conjecturer que la fonction f est dérivable en 0 de nombre
dérivé 0
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
y
x
(Cf )
Conjectures sur la dérivabilité de la fonction f en 0 et en 2.
Il semble que la courbe admette une tangente horizontale en 0
On peut conjecturer que la fonction f est dérivable en 0 de nombre
dérivé 0
Il semble que la courbe admette une tangente verticale en 2
On peut conjecturer que la fonction f n’est pas dérivable en 2
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Dérivabilité sur ]0; 2[
Soit U la fonction définie sur I = R par U(x) = x(2 − x) = −x 2 + 2x
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Dérivabilité sur ]0; 2[
Soit U la fonction définie sur I = R par U(x) = x(2 − x) = −x 2 + 2x
U est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur son ensemble de
définition .
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Dérivabilité sur ]0; 2[
Soit U la fonction définie sur I = R par U(x) = x(2 − x) = −x 2 + 2x
U est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur son ensemble de
définition .
De plus U(x) > 0 pour tout x de ]0; 2[√
Donc , d’après une propriété du cours U est dérivable sur R avec :
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Dérivabilité sur ]0; 2[
Soit U la fonction définie sur I = R par U(x) = x(2 − x) = −x 2 + 2x
U est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur son ensemble de
définition .
De plus U(x) > 0 pour tout x de ]0; 2[√
Donc , d’après une propriété du cours U est dérivable sur R avec :
√ 0
U0
U = √
2 U
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Donc :
p
0
−2x + 2
x(2 − x) = p
2 x(2 − x)
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
0
−2x + 2
x(2 − x) = p
2 x(2 − x)
p
0
−x + 1
Donc :
x(2 − x) = p
x(2 − x)
Donc :
p
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
0
−2x + 2
x(2 − x) = p
2 x(2 − x)
p
0
−x + 1
Donc :
x(2 − x) = p
x(2 − x)
La fonction f est le produit de deux fonctions dérivables sur ]0; 2[ elle est
donc dérivable sur ]0; 2[ avec :
Donc :
p
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
0
−2x + 2
x(2 − x) = p
2 x(2 − x)
p
0
−x + 1
Donc :
x(2 − x) = p
x(2 − x)
La fonction f est le produit de deux fonctions dérivables sur ]0; 2[ elle est
donc dérivable sur ]0; 2[ avec :
p
−x + 1
f 0 (x) = 1 × x(x − 2) + x × p
x(2 − x)
p
x(−x + 1)
=
x(x − 2) + p
x(2 − x)
x(2 − x) + x(−x + 1)
p
=
x(2 − x)
Donc :
p
=
=
−2x 2 + 3x
p
x(2 − x)
x(−2x + 3)
p
x(2 − x)
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Limite de
Soit x 6= 0
f (x)
quand x tend vers 0 ?
x
On a :
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Limite de
Soit x 6= 0
f (x)
quand x tend vers 0 ?
x
On a :
p
x x(2 − x)
f (x)
=
x
p x
=
x(2 − x)
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Limite de
Soit x 6= 0
f (x)
quand x tend vers 0 ?
x
On a :
p
x x(2 − x)
f (x)
=
x
p x
=
x(2 − x)
f (x) p
= 0 × (0 − 2) = 0
x→0 x
Donc : lim
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Limite de
Soit x 6= 0
f (x)
quand x tend vers 0 ?
x
On a :
p
x x(2 − x)
f (x)
=
x
p x
=
x(2 − x)
f (x) p
= 0 × (0 − 2) = 0
x→0 x
f (x)
f (x) − f (0)
Or
=
x
x −0
Donc : lim
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Limite de
Soit x 6= 0
f (x)
quand x tend vers 0 ?
x
On a :
p
x x(2 − x)
f (x)
=
x
p x
=
x(2 − x)
f (x) p
= 0 × (0 − 2) = 0
x→0 x
f (x)
f (x) − f (0)
Or
=
x
x −0
La fonction f est dérivable en 0 de nombre dérivé 0
Donc : lim
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Etude de la dérivabilité en 2
Soit x ∈]0; 2[
On a :
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Etude de la dérivabilité en 2
Soit x ∈]0; 2[
On a :
f (x) − f (2)
x −2
p
x(2 − x) − 0
x −2
√
√
x x × 2−x
=
x −2
√
√
2−x
= −x x ×
2−x
√
1
= −x x × √
2−x
=
x
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Etude de la dérivabilité en 2
Soit x ∈]0; 2[
On a :
f (x) − f (2)
x −2
Or on a : lim
x→2
√
2 − x = 0+
p
x(2 − x) − 0
x −2
√
√
x x × 2−x
=
x −2
√
√
2−x
= −x x ×
2−x
√
1
= −x x × √
2−x
=
x
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Etude de la dérivabilité en 2
Soit x ∈]0; 2[
On a :
f (x) − f (2)
x −2
√
2 − x = 0+
1
Donc : lim √
= +∞
x→2
2−x
Or on a : lim
x→2
p
x(2 − x) − 0
x −2
√
√
x x × 2−x
=
x −2
√
√
2−x
= −x x ×
2−x
√
1
= −x x × √
2−x
=
x
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Etude de la dérivabilité en 2
Soit x ∈]0; 2[
On a :
f (x) − f (2)
x −2
√
2 − x = 0+
1
Donc : lim √
= +∞
x→2
2−
√
√x
De plus lim −x x = −2 2
Or on a : lim
x→2
x→2
p
x(2 − x) − 0
x −2
√
√
x x × 2−x
=
x −2
√
√
2−x
= −x x ×
2−x
√
1
= −x x × √
2−x
=
x
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Etude de la dérivabilité en 2
Soit x ∈]0; 2[
On a :
f (x) − f (2)
x −2
√
2 − x = 0+
1
Donc : lim √
= +∞
x→2
2−
√
√x
De plus lim −x x = −2 2
Or on a : lim
x→2
x→2
Donc : lim
x→2
f (x) − f (2)
= −∞
x −2
p
x(2 − x) − 0
x −2
√
√
x x × 2−x
=
x −2
√
√
2−x
= −x x ×
2−x
√
1
= −x x × √
2−x
=
x
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Etude de la dérivabilité en 2
Soit x ∈]0; 2[
On a :
f (x) − f (2)
x −2
√
2 − x = 0+
1
Donc : lim √
= +∞
x→2
2−
√
√x
De plus lim −x x = −2 2
Or on a : lim
x→2
x→2
f (x) − f (2)
= −∞
x −2
la fonction f n’est pas dérivable en 2
Donc : lim
x→2
p
x(2 − x) − 0
x −2
√
√
x x × 2−x
=
x −2
√
√
2−x
= −x x ×
2−x
√
1
= −x x × √
2−x
=
x
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Etude des variations de f et tableau de p
variations.
f 0 (x) a le même signe que −2x + 3 car x(2 − x) > 0 et x > 0 sur ]0; 2[
On a donc :
3
x
0
2
2
Signe de f 0 (x)
+
−
0
0
√
3 3
4
Variation de f
0
0