TS spé Exercices sur PGCD et PPCM

TS spé Exercices sur PGCD et PPCM
Utilisation de la définition du PGCD de deux entiers
1 Dans tout l’exercice, n désigne un entier naturel quelconque.
1°) Le but de cette question est de déterminer le PGCD de n et de 2 suivant les valeurs de n.
a) Conjecturer le résultat à l’aide de la calculatrice.
b) Démontrer cette conjecture en considérant un diviseur positif d de n et de 2.
2°) Reprendre la question précédente avec le PGCD de n et 3 suivant les valeurs de n.
2 Dans tout l’exercice, n désigne un entier naturel quelconque.
1°) Le but de cette question est de déterminer
PGCD ; 1
n n
.
a) Conjecturer le résultat à l’aide de la calculatrice.
b) Démontrer cette conjecture en considérant un diviseur positif d de n et de
1
n
.
2°) Reprendre la question précédente avec
PGCD ; 2
n n .
3 Pourquoi n’existe-t-il pas deux entiers naturels de somme égale à 500 et de PGCD égal à 7 ?
4 Soit n un entier naturel quelconque non nul.
1°) Déterminer
2
PGCD ;
n n
.
2°) Déterminer
PGCD ; 2
n n
.
5 Soit n un entier naturel quelconque.
Déterminer
2
PGCD ; 1
n n .
6 Soit n un entier naturel quelconque. On pose
3
a n
et
2 1
b n
.
1°) a) Démontrer que si d est un entier qui divise a et b, alors d divise 5.
Indication : Former une combinaison linéaire de a et de b à coefficients entiers relatifs qui donne un résultat
égal à 5.
b) En déduire les valeurs possibles du PGCD de a et b.
2°) a) Recopier et compléter par le plus petit entier naturel le tableau de congruences suivant :
n est congru
modulo 5 à
0 1 2 3 4
a est congru
modulo 5 à
b est congru
modulo 5 à
b) En déduire le PGCD de a et b suivant les valeurs de n.
7 Soit n un entier naturel quelconque. On pose
5 2
a n
et
1
b n
.
1°) a) Démontrer que si d est un entier qui divise a et b, alors d divise 3.
b) En déduire les valeurs possibles du PGCD de a et b.
2°) Utiliser les congruences modulo 3 pour déterminer le PGCD de a et b.
8 Soit n un entier naturel quelconque.
Déterminer le PGCD de n et de 4 suivant les valeurs de n.
Utilisation du lemme d’Euclide
9 Reprise de l’exercice 2 .
Dans tout l’exercice, n désigne un entier naturel quelconque.
1°) Démontrer à l’aide du lemme d’Euclide que
PGCD ; 1 PGCD 1;
n n n
  .
En déduire la valeur du PCGCD de n et
1
n
.
2°) Reprendre la question précédente avec
PGCD ; 2
n n
.
10 Reprise de l’exercice 5 .
Soit n un entier naturel quelconque.
Déterminer
2
PGCD ; 1
n n
en utilisant le lemme d’Euclide.
11 Reprise de l’exercice 8 .
Soit a et b deux entiers relatifs quelconques non tous les deux nuls.
Démontrer en utilisant deux fois le lemme d’Euclide que
PGCD ; 2 PGCD ;
a b a b a b
   .
On pourra utiliser les égalités
2 1
a b a b b
(1) et 1
a b b a
(2).
Utilisation de l’algorithme d’Euclide
12 Déterminer le PGCD des nombres suivants en utilisant l’algorithme d’Euclide.
1°) 963 et 153 2°) 49980 et 28420 3°) 180 et 336.
13 Soit a et b deux entiers naturels tels que
PGCD ; 7
a b .
La dernière division euclidienne de reste nul étant écrite, les quotients successifs de l’algorithme d’Euclide sont
respectivement : 3 ; 2 ; 1 ; 4.
Quelles sont les valeurs de a et b ?
Écrire l’algorithme d’Euclide complet avec les valeurs obtenues.
14 Soit a et b deux entiers naturels tels que
PGCD ; 1
a b .
La dernière division euclidienne de reste nul étant écrite, les quotients successifs de l’algorithme d’Euclide sont
respectivement : 3 ; 2 ; 1 ; 4.
Quelles sont les valeurs de a et b ?
Écrire l’algorithme d’Euclide complet avec les valeurs obtenues.
Résolution de problèmes concrets
15 Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. Il veut faire des paquets de sorte que :
- tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges,
- tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires,
- toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées.
1°) Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser ?
2°) Combien y aura-t-il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ?

16 Pour le 1er mai, Julie dispose de 182 brins de muguet et 78 roses.
Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs.
Combien de bouquets identiques pourra-t-elle faire ? Quelle sera la composition de chaque bouquet ?
Algorithme d’Euclide
17 On rappelle l’algorithme d’Euclide écrit en langage naturel (à connaître par cœur) permettant de déterminer
le PGCD de deux entiers naturels a et b non tous les deux nuls saisis en entrée .
Les variables a, b, r sont des entiers naturels, les valeurs de a et b saisies en entrées étant non toutes les deux
nulles.
Entrées :
Saisir a
Saisir b
Traitement :
Tantque
0
b
Faire
r prend la valeur du reste de la division euclidienne de a par b
a prend la valeur b
b prend la valeur r
FinTantque
Sortie :
Afficher a
Recopier cet algorithme en respectant la présentation.
1°) Pierre pense que l’on peut échanger les instructions « a prend la valeur b » et « b prend la valeur r » à
l’intérieur de la boucle « Tantque ». A-t-il raison ?
2°) Paul pense que l’on peut simplifier l’algorithme en ne considérant que deux variables a et b.
Il a réécrit cet algorithme sous la forme suivante.
Les variables a, b, r sont des entiers naturels, les valeurs de a et b saisies en entrées étant non toutes les deux
nulles.
Entrées :
Saisir a
Saisir b
Traitement :
Tantque
0
b
Faire
a prend la valeur b
b prend la valeur du reste de la division euclidienne de a par b
FinTantque
Sortie :
Afficher a
Paul a-t-il raison ?
3°) Jacques souhaite connaître le nombre d’étapes de l’algorithme d’Euclide.
Réécrire en le modifiant l’algorithme donné au début de l’énoncé pour qu’il puisse afficher à la fin le PGCD et
le nombre d’étapes de l’algorithme d’Euclide.
18 Accélération de l’algorithme d’Euclide
Soit a et b deux entiers naturels tels que
0
b
.
La division euclidienne de a par b donne l’existence d’un unique couple
;
q r
d’entiers naturels tels que
a bq r
avec
r b
.
On se propose de construire un nouvel algorithme qui permet d’obtenir le PGCD de a et b plus rapidement que
l’algorithme d’Euclide.
Dans la division euclidienne de a par b, on nomme r le reste « par défaut » (c’est-à-dire le « reste normal ») et
' 1
r b q a
, le reste « par excès ». Ainsi,
'
r r b
.
On notera que
'
r
est un entier naturel tel que
'
r b
.
Par exemple, la division euclidienne de
137
a
par
4
b
s’écrit :
137 34 4 1
. Avec les notations
précédentes, on a :
1
r
.
On peut aussi écrire
137 35 4 3
(cette égalité n’est pas une division euclidienne ; on peut dire que c’est une
« pseudo-division euclidienne »). Avec les notations précédentes, on a :
' 3
r
.
Il faut noter que les restes par excès interviennent en soustraction (on peut dire que l’algorithme d’Euclide
accéléré utilise des restes négatifs.
On donne ci-dessous deux exemples pour bien comprendre la méthode d’Euclide « accélérée ».
Chaque fois, on donne aussi la méthode d’Euclide « normale » à titre de comparaison.
 Cherchons le PGCD de 1005 et 797. On applique l’algorithme d’Euclide « normal » et « accéléré » au couple
1005 ;797
en commençant par faire la division euclidienne de 1005 par 797.
Euclide « normal » Euclide « accéléré »
1005 797 1 208
797 208 3 173
208 173 1 35
173 35 4 33
35 33 1 2
33 2 16 1
2 2 1 0
1005 797 1 208
797 208 4 35
208 35 6 2
35 2 17 1
2 1 2 0
Avec l’une ou l’autre des deux méthodes, on obtient :
PGCD 797;1005 1
.
 Cherchons le PGCD de 428 et 222. On applique l’algorithme d’Euclide « normal » et « accéléré » au couple
428; 222
en commençant par faire la division euclidienne de 428 par 222.
Euclide « normal » Euclide « accéléré »
488 222 1 206
222 206 1 16
206 16 12 14
16 14 1 2
14 7 2 0
488 222 1 16
222 16 4 2
16 2 8 0
Avec l’une ou l’autre des deux méthodes, on obtient :
PGCD 222; 428 2
.

Remarque : L’algorithme accéléré n’est étudié qu’à titre d’exercice. Il ne sera pas utilisé en pratique.
1°) Résultat préliminaire
Soit a et b deux entiers naturels tels que
0
b
. On note r le reste « par défaut » de la division euclidienne de a
par b et
'
r
, le reste « par excès ».
Démontrer que
PGCD ; PGCD ; '
a b b r
.
2°) À l’aide du résultat précédent, on en déduit une méthode algorithmique inspirée de l’algorithme d’Euclide,
mais accélérée, permettant de déterminer le PGCD de deux entiers naturels a et b. Comme dans l’algorithme
d’Euclide « normal », on écrit une suite de divisions euclidiennes ou de « pseudo-divisions euclidiennes » en
choisissant chaque fois entre les deux celle qui donne le plus petit reste.
On notera que l’on parle d’algorithme d’Euclide accéléré appliqué au couple
;
a b
et que, lorsque
0
b
, l’on
commence par effectuer la division euclidienne ou pseudo-euclidienne de a par b.
Déterminer le PGCD de 548 et de 435 « à la main » en utilisant la méthode d’Euclide « normale » et la méthode
d’Euclide accélérée.
3°) En s’inspirant de l’algorithme d’Euclide « normal », rédiger en langage naturel l’algorithme d’Euclide
accéléré (pour cela, reprendre et modifier l’algorithme d’Euclide donné dans le cours) qui pour un couple
;
a b
d’entiers naturels saisi en entrée par l’utilisateur renvoie en sortie la valeur du PGCD de a et de b.
Vérifier que l’algorithme fonctionne bien en le faisant tourner « à la main » pour les entiers 548 et 435 (faire un
tableau d’évolution des variables).
Programmer cet algorithme sur calculatrice.
4°) Soit a et b deux entiers naturels tels que
0
b
.
On note q le quotient de la division euclidienne de a par b, r le reste « normal » (par défaut) et
'
r
le reste par
excès (c’est-à-dire
b r
).
Démontrer que
min ; '
2
b
r r
.
On en déduit qu’avec l’algorithme d’Euclide accéléré, chaque reste est inférieur ou égal à la moitié du
précédent ce qui est plus fort que de dire que chaque reste est strictement inférieur au précédent.
5°) Soit a et b deux entiers naturels tels que
0
b
.
 On note
k
le reste de l’algorithme d’Euclide accéléré à l’étape k.
Démontrer que
1
2
k
k
b
.
 On note m l’exposant entier naturel de la plus haute puissance de 2 inférieure ou égale à b.
Exemple :
Pour
37
b
, l’exposant de la plus haute puissance de 2 inférieure ou égale à b est 5 (car 5
2 32
et 6
2 64
).
Démontrer que le nombre d’étapes de la méthode d’Euclide accélérée appliquée au couple
;
a b
est inférieur
ou égal à
1
m
.
Indication : raisonner par l’absurde.
19 Algorithme des différences
1°) Résultat préliminaire
Soit a et b deux entiers relatifs tels que
a b
.
Démontrer que
PGCD ; PGCD ;
a b b a b
.
2°) Le résultat établi à la question précédente permet de déterminer le PGCD de deux entiers naturels par une
méthode algorithmique en calculant des différences (d’où le nom de « méthode des différences successives »).
Par exemple, pour déterminer le PGCD de 285 et de 114, on effectue les calculs suivants :
285 114 171
171 114 57
114 57 57
57 57 0
Grâce au résultat préliminaire, on a
PGCD 285;114 PGCD 171;114 PGCD 114 ;57 PGCD 57; 0
57
.
Ainsi, on obtient :
PGCD 285;114 57
.
La méthode des différences successives pour deux entiers naturels distincts se déroule ainsi :
On calcule la différence entre les deux nombres de telle sorte que le résultat soit positif ou nul.
Puis on calcule la différence entre les deux plus petits nombres en mettant le plus grand des deux nombres
en premier.
À une étape, on obtient une différence égale à 0.
Le PGCD est le résultat de la dernière différence non nulle.
a) Déterminer le PGCD de 500 et 448 en utilisant la méthode des différences successives.
b) Justifier que la méthode s’arrête toujours.
4°) Algorithme correspondant à la méthode des différences successives
On considère l’algorithme suivant où a et b désignent des entiers naturels non tous les deux nuls saisis en
entrée.
On remarquera que cet algorithme est calqué sur l’algorithme d’Euclide, les restes des divisions euclidiennes
étant remplacés par des différences en valeur absolue.
On peut aussi faire l’organigramme de cet algorithme afin d’avoir une meilleure vision du travail effectué dans
cet algorithme.
Les variables a, b, d sont des entiers naturels.
Entrées :
Saisir a
Saisir b
Traitement :
Tantque
0
b
Faire
d prend la valeur
–
a b
a prend la valeur b
b prend la valeur d
FinTantque
Sortie :
Afficher a
Lire et comprendre l’algorithme puis le recopier en respectant la présentation.
Commentaires :
 On peut vérifier que les contenus des variables a, b, d sont des entiers naturels tout au long de l’algorithme.
 On peut remplacer la condition «
0
b
» par la condition «
0
b
» car b est un entier naturel.

a) Faire fonctionner l’algorithme « à la main » pour les valeurs suivantes saisies en entrée :
210
a
et
140
b
;
10
a
et
5
b
.
Dans chacun des deux cas, on utilisera un tableau du type suivant :
Étape
0
b
?
d a b
0 210 140
1 V 70 140 70
2
3
b) Programmer l’algorithme sur la calculatrice.
Utilisation des propriétés du PGCD
20 Déterminer le PGCD de mn et de
2 1
m n
 où m et n sont deux entiers naturels non nuls.
21 Soit n un entier naturel.
On pose 2
3
a n n
et 2
5 6
b n n .
1°) Factoriser a et b.
2°) Déterminer le PGCD de a et b suivant les valeurs de n.
22 Déterminer tous les couples
;
a b
d’entiers naturels tels que l’on ait
1452
PGCD ; 11
ab
a b
.
Indication :
Raisonner en deux parties :
1ère partie : supposer que
;
a b
est un couple d’entiers naturels vérifiant le système et introduire les entiers
'
a
et
'
b
tels que
11 '
a a
et
11 '
b b
.
2e partie : faire une vérification
23 Soit a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls.
Démontrer que pour tout entier naturel n, on a : PGCD ; PGCD ;
n
n n
a b a b
.
Indication : Poser
PGCD ;
d a b
 puis introduire les entiers
'
a
et
'
b
tels que
'
a da
et
'
b db
.
Égalité de Bezout
24 Dans tout l’exercice, n désigne un entier relatif quelconque.
Dans chaque cas, démontrer en utilisant le théorème de Bezout (sens évident) que les entiers a et b sont
premiers entre eux.
1°)
a n
et
2 1
b n
; 2°)
2 1
a n
et
6 4
b n
; 3°)
2 3
a n
et
3 5
b n
.
25 L’algorithme d’Euclide pour déterminer le PGCD de 4788 et 1428 donne les résultats suivants :
Étape 1 :4788 3 1428
504
Étape 2 : 1428 2 5
42
04
0
Étape 3 : 504 1 4
84
20
Étape 4 :
420 5 84
Recopier ce cadre.
D’après l’algorithme d’Euclide,
PGCD 4788 ;1428 84
.
« Remonter » l’algorithme d’Euclide, afin de déterminer deux entiers relatifs u et v tels que
4788 1428 84
u v
.
26 Utiliser l’algorithme d’Euclide pour déterminer un couple
;
u v
d’entiers relatifs pour chaque égalité.
1°)
726 137 1
u v
2°)
2017 1771 1
u v
27 Utiliser la méthode de la fonction affine et la calculatrice pour déterminer un couple
;
u v
d’entiers
relatifs pour chaque égalité.
1°)
51 19 1
u v
2°)
32 15 1
u v
Équations diophantiennes linéaires à deux inconnues
28 On considère l’équation
4 –3 5
x y
E
d’inconnue
2
;x y .
1°) Déterminer un couple
0 0
;
x y
d’entiers relatifs, solution « évidente » de l’équation
E
.
2°) Déterminer toutes les solutions de
E
en utilisant la solution particulière trouvée au 1°).
29 On considère l’équation diophantienne
8 5 7
x – y
(E) d’inconnue
2
;x y
.
1°) Déterminer un couple
0 0
;
x y
d’entiers relatifs, solution de l’équation
E
.
2°) Déterminer toutes les solutions de
E
en utilisant la solution particulière trouvée au 1°).
30 1°) On considère l’équation diophantienne
8 5 100
x y
E
d’inconnue
2
;x y
.
Déterminer une solution particulière de
E
puis résoudre
E
.
2°) Un groupe composé d’hommes et de femmes a dépensé 100 pièces de monnaie dans un bar.
Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces chacune.
Combien pouvait-il y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ?
31 L’équation
6 –3 17
x y
E
d’inconnue
2
;x y admet-elle des solutions ?

PPCM de deux entiers
32 Déterminer
PPCM 44 100 ;3 036
.
33 On considère l’algorithme suivant où les variables a et b saisies en entrée sont des entiers naturels non
nuls.
Entrées :
Saisir a
Saisir b
Initialisation :
q prend la valeur 1
Traitement :
Tantque
x y
Faire
x prend la valeur qa
y prend la valeur qb
q prend la valeur
1
q
FinTantque
Sortie :
Afficher x
Cet algorithme affiche-t-il toujours un résultat en sortie ?
Le résultat obtenu en sortie est-il égal au PPCM de a et de b ?
34 Soit n un entier naturel non nul.
Déterminer
PPCM 2 ;
n
suivant les valeurs de n.
On pourra utiliser la calculatrice pour conjecturer le résultat.
35 Déterminer tous les couples
;
a b
d’entiers naturels non nuls tels que l’on ait
1512
PPCM ; 252
ab
a b
.
36 On note d et m respectivement le PGCD et le PPCM de deux entiers naturels a et b non nuls.
Déterminer a et b sachant que
– 2 11
m d
.
37 Une planète a deux satellites. Le satellite A effectue une révolution autour de la planète en 68 heures. Le
satellite B effectue la même révolution en 200 heures. Les orbites des deux satellites sont des cercles
concentriques (avec le centre de la planète pour même centre).
Les satellites ne sont pas sur la même orbite.
À 10 heures, le 1er janvier 2014, les deux satellites sont alignés avec le centre de la planète en question.
À quelle dates et heures retrouvera-t-on une configuration identique* au 1er janvier 2014 ? Combien chaque
satellite aura-t-il effectué de révolutions ?
* configuration identique : au même point
38 Si une roue à engrenage comportant 56 dents accroche une autre roue à engrenage de 78 dents, combien de
tours complets doit effectuer la première roue pour que la seconde réalise aussi un nombre de tours complets
39 Soit a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls. Soit n un entier naturel.
En utilisant le résultat de l’exercice 21 , démontrer que
PPCM ; PPCM ;
n
n n
a b a b
.
PGCD et PPCM de plusieurs nombres
40 Déterminer « à la main » le PGCD de 56, 84 et 105 en établissant la liste des diviseurs positifs de 56, 84 et
105.
41 Déterminer le PGCD de 798, 966 et 1239 en utilisant la calculatrice et la propriété d’associativité.
42 Déterminer trois entiers relatifs a, b, c tels que
PGCD ; ; 1
abc et tels qu’aucun des couples
;
a b
,
;
a c
,
;
b c
ne soit formé d’entiers premiers entre eux.
43 Déterminer le PPCM de 630, 840 et 420.