Exercices : 03 - Sciences Physiques en MP au lycée Clemenceau

1 – Exercices : 03 - Électronique numérique.
Sciences Physiques MP 2016-2017
Exercices : 03 - Électronique numérique.
1. Critère de Shannon
Un signal téléphonique a son spectre limité à 3, 4 kHz pour réduire son encombrement spectral. Il est échantillonné à Fe = 8, 0 kHz. Pour la réalisation d’un CD audio, on souhaite conserver la fréquence maximale du
domaine audible qui est de 20, 0 kHz. Le signal audio est échantillonné à Fe = 44, 1 kHz.
1. Lorsque la condition de Shannon est respectée, combien d’échantillons sont prélevés au minimum par
période d’un signal s(t) sinusoı̈dal ?
2. Le critère de Shannon est-il respecté pour la téléphonie et pour le CD audio ?
3. Présenter sur deux graphiques l’allure du spectre du signal téléphonique et l’allure du spectre de ce même
signal une fois qu’il a été échantillonné. Ce dernier spectre fait apparaı̂tre une zone vide appelée zone de
transition, quelle est sa taille ?
4. Comparer la largeur du spectre et la largeur de la zone de transition aussi bien dans le cas du signal
téléphonique échantillonné que dans le cas du signal audio échantillonné.
5. En comparant les deux résultats de la question précédente, comparer les qualités des filtres nécessaires
pour restituer le signal dans chacun des cas.
2. Oscilloscope numérique
La structure d’un oscilloscope numérique comprend un étage d’entrée atténuateur qui possède une impédance
d’entrée de 1 MΩ - information inscrite sur l’appareil en général -, un échantillonneur fonctionnant à la fréquence
Fe - et qui, par conséquent, prélève Fe échantillons par seconde -, un convertisseur analogique-numérique qui
envoie les données dans la mémoire et un système de traitement pour fournir l’image sur l’écran de l’oscilloscope. Un utilisateur souhaite pouvoir analyser des signaux classiques - sinusoı̈dal, triangle, créneau, impulsion
- présentant des fréquences comprises entre 0, 1 Hz et 10 MHz.
1. Pourquoi ne peut-on pas se contenter d’un oscilloscope dont la bande passante est égale à la fréquence
maximale souhaitée ?
2. Quelle est la valeur minimale du taux d’échantillonnage nécessaire ?
3. La notice de l’appareil précise que, pour une bonne gestion de la capacité de la mémoire d’une capacité de
256 ko, le taux d’échantillonnage Fe est ajusté en fonction du calibre sélectionné sur l’appareil. En supposant qu’un échantillon occupe 2 octets, quel taux d’échantillonnage Fe maximal permettrait d’observer 10
périodes d’un signal de fréquence 10 kHz ? On restreint la cadence à 100 Méch · s−1 , combien un balayage
occupe-t-il de capacité mémoire ? Combien cela représente-t-il de points par période ?
4. Le choix du convertisseur conditionne fortement le prix de l’appareil. Commenter les valeurs du tableau
suivant.
Nombre de bits
Nombre de niveaux
Plus petite variation décelable
8
256
0, 4%
12
4 096
244 ppm
16
65 536
15 ppm
5. Peut-on avec les convertisseurs proposés atteindre une précision de 0, 1 mV pour une tension de 240 V ?
6. En fait, pour mesurer des tensions de quelques dizaines ou de centaines de volts, on utilise une sonde qui
atténue le signal d’un facteur 10. Quelle est la précision que l’on peut obtenir en utilisant un convertisseur
12 bits ?
Réponses : un signal triangle ou créneau ou a fortiori impulsion présente des fréquences supérieures à 10 MHz,
pour le triangle et le créneau ce sont des multiples de cette fréquence, les oscilloscopes de TP sont à 60 MHz ;
il faut respecter le critère de Shannon et donc Fe > 2fmax ; on dispose de 256 × 1 024 = 262 144 octets ce
qui fait 131 072 valeurs à stocker dans la mémoire ce qui représente pour une période environ 13 107 valeurs,
la fréquence étant de 10 kHz, il faut donc Fe = 131 Méch · s−1 , 10 périodes cela représente 1 ms, cela fait 105
échantillons et cela occupe donc 2 × 105 octets tout en ayant 104 échantillons par période ; le nombre de niveaux
est bien 2n où n est le nombre de bits, la plus petite variation relative est de 2n1−1 ≃ 2−n , on trouve bien
les valeurs annoncées dans le tableau ; la variation relative est de 0, 4 ppm c’est impossible à atteindre avec les
convertisseurs proposés ; avec l’atténuation on doit mesurer au maximum 24 V avec une précision de 244 ppm
cela représente donc une précision d’environ 6 mV.
3. Erreur de quantification
Du fait de la numérisation par un convertisseur à loi linéaire, une erreur d’arrondi est commise sur chaque
échantillon. La conversion s’effectue avec un centrage de l’erreur sur le pas de quantification.
JR Seigne
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1. En notant q le pas de quantification, préciser dans quel intervalle l’erreur d’arrondi ε prend sa valeur.
2. Lors d’un essai du convertisseur avec un signal triangulaire, quelle est l’évolution temporelle de ε(t) ? On
raisonnera sur une portion croissante du signal d’entrée.
3. En raisonnant sur une période de ε(t), déterminer sa valeur moyenne. Quelle est aussi sa moyenne quadratique et donc sa valeur efficace ? Comparer εef f et la plage de conversion du signal ∆s pour un convertisseur
linéaire 8 bits ou 12 bits.
4. Lors d’une phase de décroissance du signal triangulaire échantillonné, les propriétés précédentes sont-elles
conservées ?
5. Le signal d’entrée est de forme quelconque mais d’amplitude grande devant le pas de quantification.
Pourquoi peut-on considérer les résultats précédents comme toujours valables pour ε(t) ?
Réponses : l’erreur d’arrondi prend ses valeurs dans l’intervalle [− 2q ; + 2q ] ; on obtient une dent de scie de période
identique à celle de l’échantillonnage Te que l’on peut décrire par ε(t) = q Tte pour le signal entre [− T2e ; T2e ] qui
R T /2
2
q2
encadre la date t = 0 ; la moyenne est nulle sur une période, la moyenne quadratique σ 2 = T2e 0 e q 2 Tt 2 dt = 12
,
ε
e
q
ef f
1√
on a donc εef f = 2√
, la plage de conversion ∆s est telle que q = 2n∆s
−1 on a donc ∆s ≃ 2n+1 3 , pour 8 bits
3
εef f
εef f
= 10−3 et pour 12 bits ∆s
= 7 × 10−5 ; les résultats restent valables car on a toujours un signal
on trouve ∆s
triangulaire, il n’y a que le signe qui change ; l’échantillonnage est rapide et la plage de conversion grande devant
le pas de quantification, on peut considérer localement que tout signal est assimilable à un triangle.
4. Filtre passe-haut
On étudie la réalisation d’un filtre numérique passe-haut du premier ordre par la méthode d’Euler.
1. On note e et s les grandeurs complexes associées au signal d’entrée et au signal de sortie. On raisonne en
s
régime harmonique. Rappeler la forme complexe de la fonction de transfert H(jω) = du filtre passe-haut
e
sachant que sa constante de temps caractéristique est notée τ .
2. En déduire l’équation différentielle qui lie entrée et sortie pour un régime temporel d’évolution quelconque.
3. Écrire l’équation récurrente associée l’équation différentielle de ce filtre passe-haut.
4. Programmer en langage Python cette équation pour observer la réponse s(t) de ce filtre à un échelon de
tension imposé en entrée.
5. Commenter le graphique obtenu.
5. Convertisseur analogique-numérique de type flash
On étudie ici le principe du convertisseur flash. Son atout est d’être très rapide mais son inconvénient est la
croissance vite importante de sa complexité puisqu’elle évolue de façon exponentielle avec le nombre N de bits,
plus exactement en 2N . Le convertisseur proposé est un montage permettant de coder sur N = 3 bits une
tension analogique ua . Le schéma du montage est réalisé à la figure 1. Il comporte des résistances électriques R
une source de tension constante Vref = +5 V ainsi que 4 amplificateurs opérationnels utilisés en comparateur.
Un seul montage comparateur a été représenté tel qu’il se présente. Les 4 amplificateurs ne prélèvent aucun
courant et délivrent en sortie une tension qui sera usi = ±Vsat en fonction du signe de leur tension différentielle
ε
d’entrée ε = V+ − V− avec la loi usi =
Vsat . Les amplificateurs opérationnels sont alimentés par une source de
|ε|
tension symétrique par rapport à la masse qui n’est pas représentée sur le schéma. Sur le schéma, les connexions
électriques sont matérialisées par un point. Lorsque deux fils se croisent sans point il n’y a pas de nœud à ce
niveau du montage, les fils ne sont pas connectés. Pour simplifier la réflexion, on suppose que le signal analogique
est compris dans l’intervalle [0 V; 5 V]
1. Établir l’état de la sortie du premier comparateur us1 en fonction de la valeur de ua .
2. Faire la même chose pour le second comparateur et us2 .
3. On convient de retenir le codage suivant pour les sorties des comparateurs : 0 lorsque usi = −Vsat et 1
lorsque usi = Vsat . Proposer dans un tableau un état des 4 sorties en fonction de la valeur de ua .
4. On convient d’attribuer comme valeur pour ua la valeur minimale de l’intervalle dans lequel elle se situe
pour un état donné des sorties. Compléter le tableau précédent par la valeur de la tension en volt.
5. Convertir en écriture binaire les valeurs des tensions ua précédentes.
Réponses : ε = V+ − V− = ua − Vref /5, car on peut appliquer le diviseur de tension puisqu’il n’y a pas de
prélèvement de courant, si ua < 1 V alors usi = −Vsat , ce cas correspond à 0 < ua < 1 V on attribue la valeur
0 V ; pour le second comparateur, c’est la même chose pour 1 V < ua < 2 V. . . un nombre α β γ en notation
binaire correspond à α22 + β21 + γ20 ; le tableau qui résume le fonctionnement est :
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ua
b
b
b
Vref
R
b
comparateur
b
us4
b
R
b
comparateur
b
us3
b
R
b
comparateur
b
us2
b
R
b
b
b
R
us1
+
b
b
b
Figure 1 – Montage CAN de type flash
ua
0 < ua < 1 V
1 V < ua < 2 V
2 V < ua < 3 V
3 V < ua < 4 V
4 V < ua < 5 V
codage des sorties
0000
0001
0011
0111
1111
valeur référence de ua
0V
1V
2V
3V
4V
codage binaire
000
001
010
011
100
6. Montage à commande numérique
Dans le circuit de la figure 2, quatre interrupteurs peuvent mettre en contact la résistance 2R soit avec le
générateur (tension E, position 1), soit avec la masse (position 0).
2R
2R
2R
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
E
2R
u
R
R
b
R
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
2R
Figure 2 – Montage à commande numérique
1. Déterminer, en fonction de l’état des interrupteurs, la tension u aux bornes de l’ensemble. On pourra
définir une suite de quatre nombres ǫk avec k ∈ {0, 1, 2, 3} et ǫk = 0 ou 1.
2. Commenter et préciser le rôle du circuit. Généraliser à n interrupteurs.
ǫ0
Réponses : u = E( 16
+
ǫ1
8
+
ǫ2
4
+
ǫ3
2 );
n−1
X
convertisseur numérique en tension, u = E(
k=0
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ǫk
)
n−k
2
avec ǫk = 0 ou 1.
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7. Multiplexage temporel
Un système de transmission téléphonique permet la transmission simultanée de 30 communications sur la même
ligne. Il utilise la Modulation d’Impulsions et Codage de sigle MIC.
1. Pour ce faire, chaque signal est tout d’abord numérisé. Justifier le choix de la cadence de 8 000 échantillons
par seconde, sachant que la bande fréquentielle est limitée à [300 Hz, 3 400 Hz].
Afin d’assurer la transmission simultanée de 30 voix, le signal est organisé en trames de 32 intervalles de
temps, chaque communication se voyant assigner un intervalle de temps par trame. Les deux intervalles
de temps restants servent à la gestion du réseau.
2. Quelle est la durée d’une trame ? En déduire le débit d’échantillons par seconde, toutes communications
confondues. Chaque signal vocal est numérisé sur 8 bits selon une loi non linéaire (on parle de compression).
3. Déterminer le débit binaire, exprimé en bits par seconde, du signal complet.
4. La loi de compression distribue les niveaux de quantification de manière non équidistante, le quantum
étant plus faible pour les faibles valeurs de signal. Quel en est l’intérêt, sachant que les signaux vocaux
varient dans une large gamme d’amplitude ?
Réponses : il faut au moins le double de la fréquence maximale donc au minimum 6 800 Hz, la fréquence d’échantillonnage respecte le critère de Shannon ; une trame doit se dérouler entre deux échantillons successifs d’un
signal ; il faut donc que par seconde on envoie 8000 × 32 = 256 000 échantillons ; il faut 8 bits par échantillons,
on multiplie par 8 le résultat précédent, on obtient 2, 048 Mbit par seconde ; si le pas de quantification est q,
l’erreur de quantification est ε = q/2, si on garde q constant, l’erreur relative est plus grande pour les signaux
faibles, en jouant sur le pas de quantification, on peut réaliser une erreur relative constante.
JR Seigne
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