Exercices : 03 - Sciences Physiques en MP au lycée Clemenceau

1 – Exercices : 03 - ´ Electronique num´erique. Sciences Physiques MP 2016-2017
Exercices : 03 - ´ Electronique num´erique.
1. Crit`ere de Shannon
Un signal t´el´ephonique a son spectre limit´e `a 3,4 kHz pour r´eduire son encombrement spectral. Il est ´echan-
tillonn´e `a Fe= 8,0 kHz. Pour la r´ealisation d’un CD audio, on souhaite conserver la fr´equence maximale du
domaine audible qui est de 20,0 kHz. Le signal audio est ´echantillonn´e `a Fe= 44,1 kHz.
1. Lorsque la condition de Shannon est respect´ee, combien d’´echantillons sont pr´elev´es au minimum par
p´eriode d’un signal s(t) sinuso¨ ıdal ?
2. Le crit`ere de Shannon est-il respect´e pour la t´el´ephonie et pour le CD audio ?
3. Pr´esenter sur deux graphiques l’allure du spectre du signal t´el´ephonique et l’allure du spectre de ce mˆeme
signal une fois qu’il a ´et´e ´echantillonn´e. Ce dernier spectre fait apparaˆıtre une zone vide appel´ee zone de
transition, quelle est sa taille ?
4. Comparer la largeur du spectre et la largeur de la zone de transition aussi bien dans le cas du signal
t´el´ephonique ´echantillonn´e que dans le cas du signal audio ´echantillonn´e.
5. En comparant les deux r´esultats de la question pr´ec´edente, comparer les qualit´es des filtres n´ecessaires
pour restituer le signal dans chacun des cas.
2. Oscilloscope num´erique
La structure d’un oscilloscope num´erique comprend un ´etage d’entr´ee att´enuateur qui poss`ede une imp´edance
d’entr´ee de 1 MΩ - information inscrite sur l’appareil en g´en´eral -, un ´echantillonneur fonctionnant `a la fr´equence
Fe- et qui, par cons´equent, pr´el`eve Fe´echantillons par seconde -, un convertisseur analogique-num´erique qui
envoie les donn´ees dans la m´emoire et un syst`eme de traitement pour fournir l’image sur l’´ecran de l’oscillo-
scope. Un utilisateur souhaite pouvoir analyser des signaux classiques - sinuso¨ ıdal, triangle, cr´eneau, impulsion
- pr´esentant des fr´equences comprises entre 0,1 Hz et 10 MHz.
1. Pourquoi ne peut-on pas se contenter d’un oscilloscope dont la bande passante est ´egale `a la fr´equence
maximale souhait´ee ?
2. Quelle est la valeur minimale du taux d’´echantillonnage n´ecessaire ?
3. La notice de l’appareil pr´ecise que, pour une bonne gestion de la capacit´e de la m´emoire d’une capacit´e de
256 ko, le taux d’´echantillonnage Feest ajust´e en fonction du calibre s´electionn´e sur l’appareil. En suppo-
sant qu’un ´echantillon occupe 2 octets, quel taux d’´echantillonnage Femaximal permettrait d’observer 10
p´eriodes d’un signal de fr´equence 10 kHz ? On restreint la cadence `a 100 M´ech ·s−1, combien un balayage
occupe-t-il de capacit´e m´emoire ? Combien cela repr´esente-t-il de points par p´eriode ?
4. Le choix du convertisseur conditionne fortement le prix de l’appareil. Commenter les valeurs du tableau
suivant.
Nombre de bits 8 12 16
Nombre de niveaux 256 4 096 65 536
Plus petite variation d´ecelable 0,4% 244 ppm 15 ppm
5. Peut-on avec les convertisseurs propos´es atteindre une pr´ecision de 0,1 mV pour une tension de 240 V ?
6. En fait, pour mesurer des tensions de quelques dizaines ou de centaines de volts, on utilise une sonde qui
att´enue le signal d’un facteur 10. Quelle est la pr´ecision que l’on peut obtenir en utilisant un convertisseur
12 bits ?
R´eponses : un signal triangle ou cr´eneau ou a fortiori impulsion pr´esente des fr´equences sup´erieures `a 10 MHz,
pour le triangle et le cr´eneau ce sont des multiples de cette fr´equence, les oscilloscopes de TP sont `a 60 MHz ;
il faut respecter le crit`ere de Shannon et donc Fe>2fmax ; on dispose de 256 ×1 024 = 262 144 octets ce
qui fait 131 072 valeurs `a stocker dans la m´emoire ce qui repr´esente pour une p´eriode environ 13 107 valeurs,
la fr´equence ´etant de 10 kHz, il faut donc Fe= 131 M´ech ·s−1, 10 p´eriodes cela repr´esente 1 ms, cela fait 105
´echantillons et cela occupe donc 2 ×105octets tout en ayant 104´echantillons par p´eriode ; le nombre de niveaux
est bien 2no`u nest le nombre de bits, la plus petite variation relative est de 1
2n−1≃2−n, on trouve bien
les valeurs annonc´ees dans le tableau ; la variation relative est de 0,4 ppm c’est impossible `a atteindre avec les
convertisseurs propos´es ; avec l’att´enuation on doit mesurer au maximum 24 V avec une pr´ecision de 244 ppm
cela repr´esente donc une pr´ecision d’environ 6 mV.
3. Erreur de quantification
Du fait de la num´erisation par un convertisseur `a loi lin´eaire, une erreur d’arrondi est commise sur chaque
´echantillon. La conversion s’effectue avec un centrage de l’erreur sur le pas de quantification.
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1. En notant qle pas de quantification, pr´eciser dans quel intervalle l’erreur d’arrondi εprend sa valeur.
2. Lors d’un essai du convertisseur avec un signal triangulaire, quelle est l’´evolution temporelle de ε(t) ? On
raisonnera sur une portion croissante du signal d’entr´ee.
3. En raisonnant sur une p´eriode de ε(t), d´eterminer sa valeur moyenne. Quelle est aussi sa moyenne quadra-
tique et donc sa valeur efficace ? Comparer εeff et la plage de conversion du signal ∆spour un convertisseur
lin´eaire 8 bits ou 12 bits.
4. Lors d’une phase de d´ecroissance du signal triangulaire ´echantillonn´e, les propri´et´es pr´ec´edentes sont-elles
conserv´ees ?
5. Le signal d’entr´ee est de forme quelconque mais d’amplitude grande devant le pas de quantification.
Pourquoi peut-on consid´erer les r´esultats pr´ec´edents comme toujours valables pour ε(t) ?
R´eponses : l’erreur d’arrondi prend ses valeurs dans l’intervalle [−q
2; + q 2] ; on obtient une dent de scie de p´eriode
identique `a celle de l’´echantillonnage Teque l’on peut d´ecrire par ε(t) = qt
Tepour le signal entre [−Te 2;Te 2] qui
encadre la date t= 0 ; la moyenne est nulle sur une p´eriode, la moyenne quadratique σ2=2
TeRTe/2
0q2t2
T2
edt=q2
12 ,
on a donc εef f =q
2√3, la plage de conversion ∆sest telle que q=∆s
2n−1on a donc εeff ∆s≃1
2n+1√3, pour 8 bits
on trouve εef f
∆s= 10−3et pour 12 bits εeff ∆s= 7 ×10−5; les r´esultats restent valables car on a toujours un signal
triangulaire, il n’y a que le signe qui change ; l’´echantillonnage est rapide et la plage de conversion grande devant
le pas de quantification, on peut consid´erer localement que tout signal est assimilable `a un triangle.
4. Filtre passe-haut
On ´etudie la r´ealisation d’un filtre num´erique passe-haut du premier ordre par la m´ethode d’Euler.
1. On note eet sles grandeurs complexes associ´ees au signal d’entr´ee et au signal de sortie. On raisonne en
r´egime harmonique. Rappeler la forme complexe de la fonction de transfert H(jω) = s
edu filtre passe-haut
sachant que sa constante de temps caract´eristique est not´ee τ.
2. En d´eduire l’´equation diff´erentielle qui lie entr´ee et sortie pour un r´egime temporel d’´evolution quelconque.
3. ´ Ecrire l’´equation r´ecurrente associ´ee l’´equation diff´erentielle de ce filtre passe-haut.
4. Programmer en langage Python cette ´equation pour observer la r´eponse s(t) de ce filtre `a un ´echelon de
tension impos´e en entr´ee.
5. Commenter le graphique obtenu.
5. Convertisseur analogique-num´erique de type flash
On ´etudie ici le principe du convertisseur flash. Son atout est d’ˆetre tr`es rapide mais son inconv´enient est la
croissance vite importante de sa complexit´e puisqu’elle ´evolue de fa¸con exponentielle avec le nombre Nde bits,
plus exactement en 2N. Le convertisseur propos´e est un montage permettant de coder sur N= 3 bits une
tension analogique ua. Le sch´ema du montage est r´ealis´e `a la figure 1. Il comporte des r´esistances ´electriques R
une source de tension constante Vref = +5 V ainsi que 4 amplificateurs op´erationnels utilis´es en comparateur.
Un seul montage comparateur a ´et´e repr´esent´e tel qu’il se pr´esente. Les 4 amplificateurs ne pr´el`event aucun
courant et d´elivrent en sortie une tension qui sera usi =±Vsat en fonction du signe de leur tension diff´erentielle
d’entr´ee ε=V+−V−avec la loi usi =ε
|ε|Vsat. Les amplificateurs op´erationnels sont aliment´es par une source de
tension sym´etrique par rapport `a la masse qui n’est pas repr´esent´ee sur le sch´ema. Sur le sch´ema, les connexions
´electriques sont mat´erialis´ees par un point. Lorsque deux fils se croisent sans point il n’y a pas de nœud `a ce
niveau du montage, les fils ne sont pas connect´es. Pour simplifier la r´eflexion, on suppose que le signal analogique
est compris dans l’intervalle [0 V; 5 V]
1. ´ Etablir l’´etat de la sortie du premier comparateur us1en fonction de la valeur de ua.
2. Faire la mˆeme chose pour le second comparateur et us2.
3. On convient de retenir le codage suivant pour les sorties des comparateurs : 0 lorsque usi =−Vsat et 1
lorsque usi =Vsat. Proposer dans un tableau un ´etat des 4 sorties en fonction de la valeur de ua.
4. On convient d’attribuer comme valeur pour uala valeur minimale de l’intervalle dans lequel elle se situe
pour un ´etat donn´e des sorties. Compl´eter le tableau pr´ec´edent par la valeur de la tension en volt.
5. Convertir en ´ecriture binaire les valeurs des tensions uapr´ec´edentes.
R´eponses : ε=V+−V−=ua−Vref /5, car on peut appliquer le diviseur de tension puisqu’il n’y a pas de
pr´el`evement de courant, si ua<1 V alors usi =−Vsat, ce cas correspond `a 0 < ua<1 V on attribue la valeur
0 V ; pour le second comparateur, c’est la mˆeme chose pour 1 V < ua<2 V. . . un nombre α β γ en notation
binaire correspond `a α22+β21+γ20; le tableau qui r´esume le fonctionnement est :
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R
R
R
R
R
ua
Vref
+
-
comparateur
comparateur
comparateur
us1
us2
us3
us4
Figure 1 – Montage CAN de type flash
uacodage des sorties valeur r´ef´erence de uacodage binaire
0< ua<1 V 0000 0 V 000
1 V < ua<2 V 0001 1 V 001
2 V < ua<3 V 0011 2 V 010
3 V < ua<4 V 0111 3 V 011
4 V < ua<5 V 1111 4 V 100
6. Montage `a commande num´erique
Dans le circuit de la figure 2, quatre interrupteurs peuvent mettre en contact la r´esistance 2Rsoit avec le
g´en´erateur (tension E, position 1), soit avec la masse (position 0).
u
2R2R2R2R
RRR2R
E
Figure 2 – Montage `a commande num´erique
1. D´eterminer, en fonction de l’´etat des interrupteurs, la tension uaux bornes de l’ensemble. On pourra
d´efinir une suite de quatre nombres ǫkavec k∈ {0,1,2,3}et ǫk= 0 ou 1.
2. Commenter et pr´eciser le rˆole du circuit. G´en´eraliser `a ninterrupteurs.
R´eponses : u=E(ǫ0
16 +ǫ1 8+ǫ2 4+ǫ3 2) ; convertisseur num´erique en tension, u=E(
n−1
X
k=0
ǫk
2n−k) avec ǫk= 0 ou 1.
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7. Multiplexage temporel
Un syst`eme de transmission t´el´ephonique permet la transmission simultan´ee de 30 communications sur la mˆeme
ligne. Il utilise la Modulation d’Impulsions et Codage de sigle MIC.
1. Pour ce faire, chaque signal est tout d’abord num´eris´e. Justifier le choix de la cadence de 8 000 ´echantillons
par seconde, sachant que la bande fr´equentielle est limit´ee `a [300 Hz,3 400 Hz].
Afin d’assurer la transmission simultan´ee de 30 voix, le signal est organis´e en trames de 32 intervalles de
temps, chaque communication se voyant assigner un intervalle de temps par trame. Les deux intervalles
de temps restants servent `a la gestion du r´eseau.
2. Quelle est la dur´ee d’une trame ? En d´eduire le d´ebit d’´echantillons par seconde, toutes communications
confondues. Chaque signal vocal est num´eris´e sur 8 bits selon une loi non lin´eaire (on parle de compression).
3. D´eterminer le d´ebit binaire, exprim´e en bits par seconde, du signal complet.
4. La loi de compression distribue les niveaux de quantification de mani`ere non ´equidistante, le quantum
´etant plus faible pour les faibles valeurs de signal. Quel en est l’int´erˆet, sachant que les signaux vocaux
varient dans une large gamme d’amplitude ?
R´eponses : il faut au moins le double de la fr´equence maximale donc au minimum 6 800 Hz, la fr´equence d’´echan-
tillonnage respecte le crit`ere de Shannon ; une trame doit se d´erouler entre deux ´echantillons successifs d’un
signal ; il faut donc que par seconde on envoie 8000 ×32 = 256 000 ´echantillons ; il faut 8 bits par ´echantillons,
on multiplie par 8 le r´esultat pr´ec´edent, on obtient 2,048 Mbit par seconde ; si le pas de quantification est q,
l’erreur de quantification est ε=q/2, si on garde qconstant, l’erreur relative est plus grande pour les signaux
faibles, en jouant sur le pas de quantification, on peut r´ealiser une erreur relative constante.
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