Numerique

CHAPITRE
1
TRAITEMENT NUMÉRIQUE DES SIGNAUX : LA NUMÉRISATION
- LA RESTITUTION
1.1
Introduction :
Lors de mesures physiques, La plupart des signaux (T,P,éclairement.....) enregistré par un capteur
(avant d’être traité, étudié ) sont analogiques, représentés par des fonctions continues du temps.
1.1.1
La numérisation :
La numérisation des signaux permet d’augmenter la quantité d’informations stockées ou transmises et la qualité de la transmission.
Un signal numérique est une grandeur qui varie dans le temps de manière discontinue. En électronique,
on utilise des grandeurs numériques formés de ”0” et de ”1” logiques selon le bits.
Exemple 1
• Signal à 5 bits : (01011) ou (11011)......
• Signal à 3 bits : (010) ou (110)......
2
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1.1.2
Cours de L’électrocinétique
La restitution :
Les convertisseurs numériques-analogiques (CNA, ou DAC en anglais) sont les circuits qui permettent de convertir une entrée numérique en sortie analogique .
La sortie de ces circuits peut être de deux types :
1. Unipolaire : La tension de sortie est positive seulement
2. Bipolaire : La tension sortie est positive et négative
1.1.3
principe du CAN et du CNA :
Symbole du CAN
Symbole du CNA
• Nombre de digits(bits) n : La donnée numérique N en entrée d’un CNA ou en sortie d’un
CAN est codée en base 2 sur un nombre donné de digits n.
Exemple 2 Qu’est-ce qu’un bit ?
Un bit (de l’anglais binary digit) est un chiffre binaire (0 ou 1)
• Avec 2bits, on peut écrire : 00, 01, 10et11soit 4valeurs. (4 = 22 )
• Avec 3bits, on peut écrire : 000,001,010,011,100,101,110,111soit 8 valeurs ( 8 = 23 ).
• Avec nbits, on peut écrire 2n valeurs
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1.2
Restitution d’un signal analogique : (CNA)
1.2.1
Caractéristiques de CNA :
a)- Relation de transfert :
b)- Nombre de valeurs possibles NE obtenu avec n bits :
Chaque bits représente une puissance de 2 (dans la base binaire) commençant par 2n−1 jusqu’à
20 (pour n bits). Cette puissance est multiplié par 0 ou 1 selon la valeur affecté au bits.
Exemple 3 soit un CNA de 5 bits, on applique à l’entrée un mot (10100) donc :
NE = 1 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 0 × 20 = 20
Application 1 Etablir le résultat énoncé plus haut : Nmax = 2n − 1
Exemple 4 soit un CNA de 3 bits, calculer Nmax .Interpréter.
remarque 1 Le nombre max d’entrée peut atteindre 16 bits soit une possibilité de 216 valeurs de
sorties.
Application 2
1. Soit un CNA à 5 bits. La tension de sortie Vs vaut 0.2V lorsque le mot d’entrée est 00001.Quelle
est la valeur de Vs correspondant à la pleine échelle ?
2. Soit un CNA à 5 bits. Lorsque le mot d’entrée est 10100, la tension de sortie Vs vaut 5V. Que
vaut Vs pour un mot d’entrée de 11101 ?
3. Soit un CNA à 8 bits ayant une pleine échelle égale à 10V. Soit l’octet A=10010110, appliqué
à l’entrée de ce convertisseur.Calculer la tension de sortie pour ce mot binaire.
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1.2.2
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Différentes types de CNA :
a)- C.N.A. à résistances pondérées :
On considère le CNA de la figure ci-dessus :
• si ai = 0 , l’interrupteur est relié à la masse
• si ai = 1 , l’interrupteur est relié à Uref .
1. Calculer les courants Ii en fonction des ai , Uref et R.
2. Exprimer le courant total I en fonction des ai , Uref et R.
3. Donner l’expression de US en fonction de ai et Uref .
4. Pour Uref = 12 V olts, calculer le quantum de ce convertisseur. Quel mot binaire faudra-t-il
mettre en entrée pour avoir en sortie la tension la plus proche de 5 V.
b)- CNA architecture R-2R :
Les interrupteurs du CNA ci-dessus fonctionnent comme dans l’application précédente.
1. Démontrer les relations ci-dessous : U3 = Uref /2 ; U2 = Uref /4 ; U1 = Uref /8 et U0 = Uref /16 .
2. Calculer les valeurs respectives des courants Ii en fonction des coefficients ai , Uref et R. .
3. Appliquer le théorème de superposition et en déduire US en fonction des coefficients ai et Uref
.
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1.3
Échantillonnage - Conversion analogique numérique (CAN) :
1.3.1
L’échantillonnage :
a)- Principe :
remarque 2 L’échantillonnage provoque une perte d’information.
Lors de la numérisation d’un signal, trois paramètres sont importants :
• fe = 1/Te , la fréquence d’échantillonnage,
• N, le nombre d’échantillons,
• T = N Te = N/fe , la durée de l’enregistrement.
b)- représentation mathématique d’un signal échantillonnage : ”peigne de Dirac”
• l’impusion de Dirac :
1
δ(t) =
0
pourt = 0
pourt 6= 0
Il n’est pas possible d’obtenir physiquement un tel signal mais il correspond à une impulsion violente
et très brève.
• On peut aussi définir l’impulsion de Dirac décalée :
1
pour t = t0
δ(t − t0 ) =
0
pour t 6= t0
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• Soit un train d’impulsions de Dirac se produisant à chaque instant d’échantillonnage kTe , à
partir de l’instant 0 et sur un horizon infini de temps. Un tel train d’impulsions est appelé
peigne de Dirac. Il est ici noté Pδ (t) :
Le signal échantillonné peut-être représenté par une fonction mathématique fech (t) construite de la
manière suivante :
fech (t) = f (t) × Pδ (t) = f (t) ×
+∞
X
δ(t − kTe )
−∞
fech (t) =
+∞
X
f (kTe )δ(t − kTe )
−∞
1.3.2
Codage par le CAN : Quantification
Le CAN permet donc, une fois l’échantillonnage effectué, de numériser chaque valeur fech (pTe ),
c’est à dire de la convertir en un nombre binaire enregistrable dans une mémoire informatique.
a)- Pas de quantification du CAN - profondeur de codage -précision :
Hypothèse :
• le signal échantillonné fech (pTe ) est compris entre fech,min et fech,max
• le CAN peut coder N nombres différents dans l’intervalle [fech,min , fech,max ] ; ce nombre est
naturellement une puissance de 2 puisque le stockage en puce mémoire est réalisé en binaire :
N = 2p
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Définition 1 On appelle pas de quantification q l’incertitude sur chaque valeur numérisée du signal
échantillonné fech :
plage de mesure
fech,max − fech,min
=
q=
2p − 1
2n
Conséquence :
la quantification engendre une perte d’information d’autant plus grande que le pas q est important
⇒ on veut q petit, donc on prend p élevé.
Exemple 5 Dans le cas du codage CD on prends p = 16, soit N = 216 = 65536 valeurs possibles.
L’opération de conversion (CAN) est réalisée en deux étapes :
I Échantillonnage-blocage : Une opération dite d’échantillonnage blocage qui consiste généralement à prélever des valeurs à des instants nTe (échantillonnage) mais aussi à bloquer ces
valeurs pendant une durée égale à Te par un condensateur ,comme indiqué sur la figure suivante :
I Conversion numérique :
1.3.3
Montage pratique échantillonneur-bloqueur avec suiveur :
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Question :Quel est le rôle de suiveur dans ce montage.
Réponse :un amplificateur suiveur qui présente une haute impédance d’entrée et permet, après
l’ouverture de K, une décharge très lente de C, d’où une tension pratiquement constante appliquée
par sa sortie à l’entrée du C.A.N.
Application 3 On a effectué la numérisation d’une
tension à l’aide de la carte d’acquisition d’un ordinateur. Le graphique ci-dessous représente le signal analogique ainsi que le signal numérisé : Le calibre utilisé
est [−2,0V ; +2,0V].
1. Indiquer la résolution (nombre n de bits) de la
carte d’acquisition utilisée.
2. A l’aide du graphique déterminer le pas p de la
conversion ainsi que la fréquence d’échantillonnage .
3. Préciser le réglage des deux paramètres de la question précédente pour que la numérisation soit la
plus fidèle possible.
1.3.4
Critère de Shannon-Nyquist :
a)- Influence de la fréquence d’échantillonnage :
Pour un signal analogique sinusoı̈dal de fréquence fs = 100Hz, les graphiques ci-dessous représentent l’influence d’une fréquence d’échantillonnage fe successivement égale à 1700 Hz, 200 Hz, et
130 Hz.
• Pour une fréquence fe fs , les échantillons reproduisent fidèlement le signal, le coût à payer
étant la quantité de données à traiter.
• fe = 2fs apparaı̂t comme la valeur limite permettant de préserver l’information sur la fréquence
du signal fs.
• Pour fe < 2fs , l’information contenue dans les échantillons ne semble pas permettre de remonter
au signal analogique.
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b)- Condition de Nyquist-Shannon :
c)- Illustration du repliement :
On considère toujours un signal sinusoı̈dal de fréquence fs = 100Hz que l’on échantillonne à
fe = 130Hz. Le graphique ci-dessous montre que des signaux de fréquence f = 100 Hz (le vrai
signal) et f’ = 30 Hz possèdent les mêmes échantillons (les deux courbes passent bien par les valeurs
échantillonnées)
Pour un vrai signal analogique à fs = 100Hz, un échantillonnage à fe = 130Hz (fe < 2fs ) rend
compte d’un faux signal à f’ = 30 Hz.(On remarque que : fe − fs = f 0 ).
1.3.5
Analyse spectrale d’un signal échantillonné :
L’échantillonnage ne doit pas détériorer le signal. En particulier il doit CONSERVER LE
SPECTRE de f(t) et il doit permettre de restituer ce spectre en fin d’opérations.
a)- Signal sinusoı̈dal :
Supposons que x(t) = x0 cos(2πf0 t) soit sinusoı̈dale de fréquence f0 .
La fonction h(t) Peine de Dirac étant périodique, elle est décomposable en série de Fourier sous la
forme :
∞
X
2π
h(t) =
an cos n t
Te
n=0
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La fonction xech (t) est alors donnée par :
xech (t) = x(t) × h(t) =
∞
X
an x 0
n=0
2
[cos (2π(nfe − f0 )t) + cos (2π(nfe + f0 )t)]
Chaque harmonique de rang n de h(t) fait apparaitre les deux fréquences nfe + f0 et nfe − f0 .
L’échantillonnage fait apparaitre de nouvelles fréquences, l’opération est non linéaire
b)- Signal quelconque :
Prenons pour x(t) un signal complexe ayant une étendue fréquentielle de 0 à fM .
Une fois le signal échantillonné on obtient
Afin de pouvoir travailler avec seulement le spectre du signal, il suffit d’utiliser un filtre passe-bas
pour supprimer les fréquences apparues lors du processus d’échantillonnage.
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c)- Repliement de spectre :
Si le critère de Shannon-Nyquist n’est pas respecté il y a repliement du spectre et souséchantillonnage.
Après filtrage de restitution vont apparaı̂tre les fréquences inférieures à FR qui appartiennent à
l’intervalle [FE ˘fm ; FR ].il n’est plus possible de retrouver le spectre du signal d’origine .Dans ce
cas, l’opération d’échantillonnage modifié les caractéristiques du signal d’entrée.
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