TD2. Probabilités sur un ensemble dénombrable.

Université Pierre & Marie Curie
UE 3M245 – Probabilités élémentaires
Licence de Mathématiques L3
Année 2016–2017
TD2. Probabilités sur un ensemble dénombrable.
1. a. Soit (Ω, F , P) un espace de probabilités. Soit n ≥ 1. Soient A1 , . . . , An des événements. Montrer que
P(A1 ∪ . . . ∪ An ) =
n
X
(−1)k−1
k=1
X
P (Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ) .
1≤i1 <...<ik ≤n
C’est la formule d’inclusion-exclusion.
b. En appliquant cette formule à un espace de probabilités et à des événements bien
choisis, calculer le nombre de surjections de {1, . . . , p} dans {1, . . . , n} pour tous n et p
entiers.
2. Dans une grande assemblée, on demande à chaque personne d’écrire son nom sur un
bout de papier et de le mettre dans un chapeau. On agite le chapeau puis chacun tire un
bout de papier (sans le remettre). Quelle est la probabilité que personne ne tire le bout
de papier portant son propre nom ?
3. Paradoxe des anniversaires
a) Quelle est la probabilité pour que parmi N personnes, au moins 2 aient la même
date d’anniversaire ?
b) Pour quelle valeur de N cette probabilité est-elle supérieure à 1/2 ? (On négligera
l’existence du 29 février )
4. On tire deux cartes d’un jeu de 32.
a) Quelle est la probabilité d’obtenir une paire ?
b) Si l’on n’a pas obtenu une paire, on a le choix entre jeter l’une des deux cartes
tirées et en retirer une parmi les 30 restantes, ou jeter les deux cartes tirées et en
retirer deux parmi les 30 restantes. Quelle stratégie donne la plus grande probabilité
d’avoir une paire à la fin ?
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5. On considère un jeu de pile ou face infini.
a) Soit n ≥ 0 un entier. Calculer la probabilité que le premier temps auquel on obtient
pile soit le temps n.
b) Soit k ≥ 1 un entier. Calculer la probabilité que le k-ième temps auquel on obtient
pile soit le temps n.
6. On lance un dé tétraédral dont les faces sont numérotées de 1 à 4 et un dé octaédral
dont les faces sont numérotées de 1 à 8.
a) Calculer la loi de la somme S.
b) Du produit P .
c) Du plus grand M des deux nombres obtenus.
7. Soient X, Y, Z trois variables aléatoires à valeurs dans N. On suppose que X et Y ont
même loi. Soit f : N → N une fonction.
a) Est-il vrai que f (X) et f (Y ) ont même loi ?
b) Est-il vrai que X + Z et Y + Z ont même loi ?
8. Un chimpanzé tape à la machine à écrire en appuyant chaque seconde sur une touche
choisie au hasard. Quelle est la probabilité qu’il parvienne à écrire Hamlet, c’est-à-dire
qu’à un certain moment il écrive d’une traite le texte de cette pièce ?
9. On cherche à montrer qu’il n’existe pas de probabilité sur N telle que pour tout k ∈ N,
P(Ak ) = k1 , où Ak = kN. On suppose l’existence d’une telle probabilité.
a) Montrer que deux événements Ap et Aq sont indépendants si et seulement si p et q
sont premiers entre eux.
b) On définit l’évènement
B := {n ∈ N/n appartient à une infinité de Ap avec p premier}.
On admettra que la série des inverses des nombres premiers diverge. Montrer que
B est vide et de probabilité 1. Conclure.
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