Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres M ARTINE PATHIAUX Sur le quotient de Hadamard de deux fractions rationnelles Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome exp. no 7, p. 1-6 10, no 1 (1968-1969), <http://www.numdam.org/item?id=SDPP_1968-1969__10_1_A6_0> © Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres (Secrétariat mathématique, Paris), 1968-1969, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 7-01 Séminaire DELANGE-PISOT-POITOU (Théorie 10e nombres) des année, 1968/69, 20 janvier 1969 n° 7 QUOTIENT DE HADAMARD DE DEUX FRACTIONS RATIONNELLES SUR LE par Martine PATHIAUX 1. Introduction. Soit K un sous-corps de des fractions rationnelles développement le en Q. On considère A(z) = ~y , ~(K) (voir [1] et [2]) , l’algèbre 0 , et d~ Q d~ P où et dont série de Taylor à l’origine est à coefficients dans c’est- à-dire où pour i 1 d° R. = i Conjecture: Soit K une multiplicité extension Q(z) , les zéros de (1 , : .. , k) désignent e 03B8-1 - de 1 et où . i algébrique finie de C . Soient a où c ===2014 est entier La en convenant que n algébrique, conjecture alors c =1 si b C(z) ~ R(K) . est vraie dans certains cas. == a =0 ; Si, quel C PISOT [7] a que soit n ~ c démontre le théorème suivant. THEOREME 1.1. - Soient où 20142014 n n i~ .1 b~’~.= Qj(n) inj , Z si 2014 n b n ~" avec *~’2014~* pour tout 201420142014201420142014 n~ 1 Î > alors ......._._ -L i pour 201420142014 C~~~-~ n=0 nelle. Ds CANTOR a démontré le théorème le ci-après. c n £2 9 ... , l} et zn est une ~. = 0 ; fraction ration- 20142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014 THEOREME 1.2. - Soient a Q(n) ; b = ~ù n - si -n b c = n - ~ C(z) = ~. zn c exposé Cet algébrique est entier pour tout n9 alors ..... n est une f raction rationnelle. pour but de démontrer que la a conjecture est vraie dans le encore cas suivant. THÉORÈME 1.3. - Soient si le nombre de " pôles distincts de ° ’ B(z) est inférieur ou égal a n à 2, et si c zn oo algébrique est entier n pour tout n, alors ~--- C(z) = ~, n est une fraction rationnelle. Notations. - On note Q Q p = 0 ,p (si Soit K désigne F(z) de s , = n=0 un de Q . et p complété de 03B1(s) désignent les conjugués de a n pour 1 . 1 , ... , s désignent les = zn = F1(z) . La démonstration du théorème 1.1 est basée sur le théorème de BOREL monstration du théorème 1.3 est analogue à celle du théorème généralisation le Q . ... , F(i)(z) = 03A3 u(i)n n~K, de d° 03B1 = 03B1(1) ... , 03B1(i) , et si u conjugués algébrique C ). extension finie de une , sur Q , la clôture 1,1, [~4~. La dé- mais utilise une Borel, due à DWORH [6] (généralisé par la suite par utilisant l’analyse p-adique. Nous l’énonçons sous cette for- du théorème de F. BERTRANDIAS [3]), me restreinte : co THÉORÈME 1.4, - Soient même extension Si les K F ( z~ , nombre fini de de d° s , et pour pôles F(z) = 1 u n==0 zéro i E (1 , non p un ... , compris, z , où °°°°°°~ nombre s~ ~ u ~ est un entier ’ algébrique d’une " premier rationnel. sont dansz( méromorphes dans C 03C1i,0 , avec un F (z), pour i ~ {1 , ... bre fini de pôl es dans jzt|’p p o. 201420142014201420142014-2014~-201420142014201420142014 Si les i= alors les 1 , , s} , sont méromorphes Q dans avec un nom2014 ? ... , s ,y sont des fractions rationnelles. La démonstration utilise les déterminants de Hankel et les où inégalités suivantes le rayon de convergence de désigne Ri,0 1, lzl dans de où e. i désigne 03C1i,0 , le nombre de F(i)(z) , et le nombre de h, i pôles et pôles de dans jzj p y et p. lyp 2. Lemmes. Notations. - Notons K et une coefficients des algébriques. de ces algébrique polynômes Pi extension LEMME 2.1. - C(i)(z) ce cas nuls. et Q.. On peut supposer tous s contenant tous les 81i , ~ J. ~ bn a ces et les nombres entiers par le dénominateur et ont des rayons de convergence = o non d° contraire, on multipliera a n et qui ne changera pas la forme générale de Dans le nombres, de b . R, ,o dans si b = Si n 0, algébrique. = 1 ,p et c n rayon de convergence de 1, ~(i).~ 1 . 2.2. - Si 1 9 tel que si effet, 1 2 clu. tif de 1 est entier b puisque n est entier f2 = 1 , ~ i ~ {1 , On a donc ~ s~ ~ et, si - est différent 2 premier rationnel, et i E ~ 1 ! ... , s~ ~ a. E ~ ~, , p ... , , . 201420142014201420142014201420142014 201420142014 ... , ayant s d’après alors algébrique, s} , -- xl pour racines i pour théorème de Kronecker, un est racine de P(x) = 03B2i n’est donc pas entier. Soit degré C(i)(z) . | (i)1|p ~ | (i)2|p . -- .(i) |1(i)2 N~b n~ >, .. = il existe d’une racine si alors Donc Soit En bn ~ 0 , si ~ l ’unité, Z[xJ ~ {1 , un ... 9 ce qui est ex- polynôme primi- s} . Alors ~’ 1 SO ‘ ~ P ~± 1 . tel que donc un côté de Soit p un diviseur de il existe puisque le polynôme est primitif. pente négative. Il existe donc i Le E polygone de Newton de ... ,9 s} 1~ P(x) s - ... ~ a tel que 3. Démonstration du théorème. Nous excluons le cas où ~~’ ~2 cas de CANTOR. est racine de l’unité. Dans ce cas, on se ramène au Si pour permettra Remarquons que ceC(i)(z) dans . vergence) est est de une fraction D’autre algébrique. supérieur ou égal (resp. R.. ) p.. au le ’ dans de rationnelle, le théorème 1.2 l’est aussi. est entier c n, r En notant r ( z) C(z) d’affirmer que C C convenable, r un E premiers rationnels, zéro inclus, J J , le rayon de convergen- part, rayon de dans convergence rayon de méromorphie (resp. C de con- des nombres désignant l’ensemble a on y indépenpart, pour j ~ J , j ~ 0 , p.. >,1 . Il existe donc dant de i , j ,y r tels que 03C1i j , r A . D’après le théorème 1.4, il suffit donc 1,J , ,r de démontrer qu’il existe i ~ {1 , ... , s} et j E J tels que lim p.. r = +~ . D’autre Or d’après | (i)1|p le lemme ~| que, pour ce transf o rmons (i)2|p . p 2.2, il existe Supposons considéré 9 par lim p E J exemple 03C1 ,p,r = et 1 i = + co . 1 ~ {1 , ... , s} et |2 1|p = (jo tels que 1 , et montrons En utilisant l’identité 7-06 BIBLIOGRAPHIE [1] BENZAGHOIJ (B.). - de Hadamard des fractions rationnelles, SémiThéorie des nombres, 9e année, 1967/68, n° 15, Delange-Pisot-Poitou : naire Sur l’algèbre 16 p. (B.). - Sur le quotient de Hadamard de deux fractions rationnelles, Séminaire Delange-Pisot-Poitou : Théorie des nombres, 10e année, 1968/69, n° 1, 14 p. [2] BENZAGHOU [3] BERTRANDIAS (F.). - Diamètre transfini dans prolongement analytique, [4] B0REL (E.). - Série 2, t. [5] DWORK PISOT corps valué. Application au t. 257, 1963, p. 583-585. application d’un théorème de Hadamard, 18, 1894, 1re partie, p. 22-25. Sur Bull. 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