La construction de l`ensemble des nombres entiers relatifs Z

Chapitre 1
La construction de l’ensemble des nombres
entiers relatifs Z
1.1
Introduction
A l’école primaire, on apprend qu’une soustraction n’est possible que si le premier opérande est plus grand que le
second. Dit autrement, l’équation x + 2 = 3 admet une solution unique mais x + 3 = 2 n’a pas de solution (dans N,
évidemment). Il fait aujourd’hui 3 degrés ; quelle température fera-t-il demain si le thermomètre chute de 5 degrés ?
Ce problème est en fait lié à la non existence, pour chaque élément de N, d’un symétrique pour l’addition (on l’appellera
opposé). L’addition est bien une opération interne dans N qui est associative et possède un élément neutre 0. Il lui manque
une propriété fondamentale pour que (N, +) devienne un groupe(1) : l’existence pour tout entier naturel d’un opposé.
Ainsi, pour tout entier naturel n il devrait exister un nombre n′ tel que n + n′ = n′ + n = 0. Si tel était le cas, l’addition
étant régulière, toute équation du type n + 3 = 2 admettrait une solution unique : n = 2 + opp (3) obtenue en ajoutant
au deux nombres , opp (3) .Malheureusement, ce n’est pas le cas, car dans N 3 n’a pas d’opposé.
C’est précisément pour répondre à ce besoin qu’on a inventé l’ensemble Z des entiers relatifs, qui est en fait N auquel
on a rajouté l’ensemble des opposés de tous les entiers naturels.
(1) Un ensemble E muni d’une opération interne (les deux opérandes ainsi que le résultat appartiennent à E) est dit
un groupe si et seulement si :
— L’opération est associative
— admet un élément neutre 0
— Tout élément de E admet un symétrique appelé dans le cas de l’addition opposé. C’est à dire que ∀x ∈ E, ∃x′ ∈ E :
x + x′ = 0
Si de plus l’opération est commutative, le groupe est dit commutatif.
1.1.1
Idée maîtresse
Puique le but premier est de rendre possibles certaines soustractions, l’idée est de considérer qu’un nombre est en fait
le résultat d’une soustraction. On pourra ainsi définir le nombre 2 comme étant le résultat de la soustraction 3 − 1. On
pourra alors identifier le nombre 2 avec le couple (3, 1) (attention l’ordre compte). Mais alors, cette définition permet
d’inventer le résultat de la soustraction 1 − 3 et de l’appeler (1, 3) dans un premier temps, et −2 par la suite.
Remarques : cette nouvelle définition du nombre appelle trois remarques fondamentales
1. La soustraction n’étant pas toujours définie, il faudra ne pas employer ce mot et le contourner en ne parlant
que d’addition.
1
CHAPITRE 1. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z
2
2. On peut ainsi définir les nombres négatifs mais aussi REdéfinir les nombres positifs. Il faudra bien entendu
s’assurer de la compatibilité des deux définitions qui existent d’un nombre entier naturel. En d’autres termes, il faura
s’assurer que N est bien inclus dans Z et qu’un entier naturel a bien mêmes propriétés que s’il est considéré comme entier
relatif positif.
3. Le nombre 2 a été défini par le couple (3, 1) mais aurait tout aussi bien pu l’être par le couple (7, 5) ou (2, 0) .
Tous ces couples sont équivalents par arpport au nombre qu’ils définissent. On dira qu’ils appartiennent à la même classe
d’équivalence dont le représentant le plus significatif est (2, 0) puisqu’il permet de faire apparaître directement le nombre
2.
1.1.2
Relation d’équivalence - Classe d’équivalence.
On a déjà rencontré, dans le chapitre précédent la notion de relation d’ordre, et vu le rôle capital qu’elle joue dans la
construction de N. Rappelons qu’une relation d’ordre est une relation réflexive, antisymétrique et transitive.
Quelles propriétés deux "choses" équivalentes possèdent-elles ?
1. D’abord, on dit que deux choses sont équivalentes, sous-entendant ainsi que l’ordre n’intervient pas ; d’où la
symétrie.
2. Toute chose est équivalente à elle-même, d’où la réflexivité.
3. Si a est équivalent à b lui-même équivalent à c, alors a est équivalent à c. D’où la transitivité.
Voici donc pourquoi, dans le but de répondre au concept naturel d’équivalence, les mathématiciens ont décidé de
donner la définition suivante d’une relation d’équivalence :
Relation d’équialence
Définition 1.1. Soit E un ensemble quelconque. Une relation définie entre deux éléments de E est une relation
d’équivalence si et seulement si elle est réflexive, symétrique et transitive. C’est à dire si :
1. ∀x ∈ E, xRx qui se lit x est en relation avec x.; c’est la réflexivité
2. ∀ (x; y) ∈ E 2 , xRy
⇒ yRx ; c’est la symétrie
xRy
3
3. ∀ (x; y; z) ∈ E ,
⇒ xRz; c’est la transitivité.
yRz
Example 1. Un exemple non mathématique : la relation : "être de la même famille que" est une relation d’équivalence.
1. Pierre est de la même famille que Pierre.
2. Si Pierre est de la même famille que Paul, alors, Paul est de la même famille que Pierre.
Si Pierre est de la même famille que Paul
3.
Alors, Pierre est de la même famille que Jean.
Et Paul est de la même famille que Jean
Example 2. Un autre exemple immédiat est l’égalité dans N.
Classe d’équivalence
Définition 1.2. Etant donnée une relation d’équivalence R, on appelle classe d’équivalence dont un représentant est
x l’ensemble des éléments de E qui sont en relation avec x.
·
Ce qui s’écrira : x = {y ∈ E : xRy}
Dans la relation d’équivalence définie dans l’exemple ci-dessus, les classes d’équivalences sont les familles.
CHAPITRE 1. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z
1.2
3
Définitions
Dans ce qui précède, il est dit avec anticipation que le nombre −2 sera défini comme résultat de la soustraction 0−2 ou
3 − 5 ou 5 − 7 ... Ces couples (0; 2) , (3; 5) , (5; 7) étant équivalents pour cette définition. Mais comment éviter d’écrire une
soustraction qui n’a pas de sens ? Tout simplement en écrivant que (0; 2) , (3; 5) sont équivalents parce-que 0 + 5 = 3 + 2.
Voilà comment déguiser une soustraction en addition.
1.2.1
Une relation d’équivalence fondamentale
Une remation d’équivalence fondamentale
Théorème 1.1. La relation définie sur N2 par :
∀(n, p) ∈ N2 , ∀(n′ , p′ ) ∈ N2 , (n, p) R (n′ , p′ )) ⇔ n + p′ = n′ + p
est une relation d’équivalence.
Démonstration
Réflexivité : ∀ (n, p) ∈ N2 , n + p = n + p ⇒ (n, p) R (n, p)
Symétrie : ∀ (n, p, n′ , p′ ) ∈ N4 : (n, p) R (n′ , p′ ) ⇔ n + p′ = n′ + p
⇔ n′ + p = n + p′
⇔ (n′ , p′ ) R (n, p)
Transitivité : ∀ (n, p, n′ , p′ , n”, p”) ∈ N6 : (n, p) R (n′ , p′ ) ⇔ n + p′ = n′ + p
(n′ , p′ ) R (n”, p”) ⇔ n′ + p” = n” + p′
On en déduit en faisant la somme membre à membre que n + p′ + n′ + p” = n′ + p + n” + p′
et en simplifiant d’après la propriété de régularité de l’addition dans N, n + p” = +p + n”
C’est à dire (n, p) R n” , p” .
(n, p) R (n′ , p′ )
′ ′
4
On a ainsi prouvé que : ∀ (n, p, n , p ) ∈ N :
⇒ (n, p) R n” , p”
(n′ , p′ ) R (n”, p”)
La relation est bien associative ; étant par ailleurs réflexive et symétrique, c’est bien une relation d’équivalence.
Exemple 1.1. (7, 5) R (3, 1) car 7 + 1 = 5 + 3.
En fait, ces deux couples sont eux-même en relation avec (2, 0) , ce qui est facile à établir. Il appartiennent tous à
la même classe d’équivalence. C’est cette classe d’équivalence qui déterminera l’entier +2, ce qu’on voit aisemment, en
anticipant un peu car 7 − 5 = 3 − 1 = 2 − 0 = 2.
1.2.2
L’ensemble Z des entiers relatifs
Entier relatif
Définition 1.3. On appelle nombre entier relatif toute classe d’équivalence de la relation d’équivalence définie cidessus sur N2 . L’ensembles des nombres entiers relatifs est noté Z.
CHAPITRE 1. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z
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Cette définition extrêmemnt théorique (mais absolument rigoureuse) ne doit pas faire oublier le concept intutif précédemment évoqué selon lequel le nombre 2 est indifféremment le résultat des soustractions 5 − 3, 6 − 4, 2 − 0 donc sera
désigné par les couples (5; 3) , (6; 4) , (2; 0) qui appartiennent tous à la même classe d’équivalence. Mais on peut ainsi
définir −2 qui sera la classe d’équivalence de (3; 5) ou (2; 4) ou (0; 2) .
1.2.3
Abus de notation
◦
Un entier relatif r devrait être noté r = (p; q) notation réservée à la classe d’équivalence du couple (p; q) . Pour des
raisons de commodité, on notera à chaque fois qu’aucune confusion n’est possible r = (p; q) , c’est à dire qu’on confondra
◦
la classe et le couple qui la représente. C’est évidemment illégal car (p; q) désigne en fait l’ensemble de tous les couples
◦
◦
équivalents à (p; q) et pas seulement (p; q) . De plus par exemple (5; 3) = (6; 4) (qui est vrai) sera noté avec cet abus
d’écriture (5; 3) = (6; 4) qui est évidemment faux.
Dans ce même esprit, on écrira soit (p; q) ∈ Z, ce qui est abusif car (p; q) est un élément de N2 et pas Z.
1.2.4
Représentant principal d’une classe d’équivalence - Définition de Z+ et Z− .
Propriété : Soit (n; p) un entier relatif quelconque. Alors, pour tout entier naturel k, (n + k; p + k) R (n; p)
Démonstration immédiate puisque n + k + p = p + k + n.
On en déduit que tous les couples de la forme (n + k; p + k) où k ∈ N
sont des représentants de la même classe d’équivalence. Ils désignent donc le même entier relatif
Représentant principal
Définition 1.4. On appelle représentant principal d’une classe d’équivalence le représentant constitué d’un couple
d’entiers naturels dont l’un est nul.
Unicité du représentant principal
Théorème 1.2. Ce représentant existe et est unique
Démonstration
Procédons par disjonction des cas : ∀ (n; p) ∈ N2 ,
⋆n > p ⇒ n = p + k avec k ∈ N∗ par définition de la relation d’ordre dans N.
Ainsi n > p ⇒ (n; p) = (p + k; p) = (p + k; p + 0)
⇒ (n; p) = (k; 0) d’après la propriété ci-dessus. C’est le représentant principal qui existe donc et est évidemment unique car si k =
k′ alors (k; 0) et (k′ ; 0) ne sont pas équivalents, donc (k′ ; 0) n’est pas un représentant de
(n; p) .
L’ensemble de nombres entiers relatifs dont le représentant prinicipal est de la forme (k; 0) avec k ∈ N∗ est appelé
Z+∗ .
⋆n < p ⇒ n + k = p et le représentant principal est de même (0; k) .
CHAPITRE 1. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z
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L’ensemble de nombres entiers relatif dont le représentant prinicipal est de la forme (k; 0) avec k ∈ N∗ est appelé Z−∗ .
⋆n = p ⇒ (n; p) = (n; n) = (0 + n; 0 + n) ⇒ (n; p) = (0; 0).
Ce représentant principal est bien commode car il permet de "visualiser" la valeur intuitive de l’entier relatif. En effet
(2; 0) désigne l’entier 2 (ce qui est plus net qu’avec le représentant (5; 3)) tandis que (0; 2) désignera l’entier −2.
(n, p) ∈ Z+
n≤p
Remarque : Z+ ∩ Z− = {0} . En effet (n, p) ∈ Z+ ∩ Z− ⇔
⇔
⇔ n = p d’après l’antisymétrie
(n, p) ∈ Z−
p≤n
de l’ordre dans N.
1.3
1.3.1
L’addition dans Z
Définition de l’addition dans Z
L’aspect intuitif évoqué depuis le début et avec lequel on s’autorise à parler de soustraction) permet d’écrire que si
(n, p) désigne en fait le nombre n − p et de même (n′ , p′ ) le nombre n′ − p′ , alors la somme de ces deux nombres sera
(n − p) + (n′ − p′ ) c’est à dire en utilisant prématurément certaines propriétés de l’addition, (n + n′ ) − (p + p′ ) . On peut
donc "inventer" l’addition en donnant la définition suivante :
Addition de deux entiers relatifs
Définition 1.5. ∀ (r, r′ ) ∈ Z2
1.3.2
r = (n, p)
alors r + r′ = (n + n′ , p + p′ ) .
r′ = (n′ , p′ )
Propriétés de l’addition
Retrouvons ci-dessous les propriétés bien connues de l’addition que sont l’asociativité, la commutativité, la régularité.
Associativité de l’addition
Théorème 1.3. L’addition dans Z est associative, c’est à dire que ∀ (r, r′ , r”) ∈ Z3 , (r + r′ ) + r” = r + (r′ + r”)
Démonstration
Avec des notations évidentes :
[(n, p) + (n′ , p′ )] + (n”, p”) = (n + n′ , p + p′ ) + (n”, p”)
= (n + n′ + n”, p + p′ + p”)
= (n + (n′ + n”) , p + (p′ + p”)) par associativité de l’addition dans N
= (n, p) + [(n′ + n”) , (p′ + p”)]
= (n, p) + [(n′ , p′ ) + (n”, p”)]
Commutativité de l’addition
Théorème 1.4. L’addition dans Z est commutative, c’est à dire que ∀ (r, r′ ) ∈ Z2 , r + r′ = r′ + r
CHAPITRE 1. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z
Démonstration
Evidente en utilisant la commutativité de l’addition dans N
(n, p) + (n′ , p′ ) = (n + n′ , p + p′ )
= (n′ + n, p′ + p) d’après la commutativité de l’addition dans N
= (n′ , p′ ) + (n, p)
Il existe un élément neutre pour l’addition dans Z
Théorème 1.5. L’addition dans Z admet un élément neutre : (0, 0), c’est à dire que ∀r ∈ Z, r + 0 = 0 + r = r avec
0 = (0, 0)
Démonstration
Evident puisque 0 est élément neutre de l’addition dans N
(n, p) + (0, 0) = (n + 0, p + 0)
= (n, p)
et en utilisant la commutativité ce-dessus, (n, p) + (0, 0) = (0, 0) + (n, p) = (n, p)
Régularité de l’addition dansZ
Théorème 1.6. L’addition dans Z est régulière, c’est à dire que :
∀ (r, r′ , r”) ∈ Z3 , r + r′ = r + r” ⇒ r′ = r”
Démonstration
Avec des notations évidentes :(n, p) + (n′ p′ ) = (n, p) + (n”p”) ⇔ (n + n′ , p + p′ ) = (n + n”, p + p”)
n + n′ = n + n”
⇔
d’après l’égalité dans N2 .
p + p′ = p + p”
′
n = n”
⇔
puisque l’addition dans N est régulière
p′ = p”
⇔ (n′ , p′ ) = (n”, p”)
⇔ r′ = r”
Addition membre à membre
a=b
⇒ a + c = b + d.
c=d
a=b
a+c=b+c
Se démontre en utilisant deux fois la régularité de + :
⇒
⇒ a + c = b + d.
c=d
c+b = d+b
Une propriété facile : ∀ (a, b, c, d) ∈ Z4 ,
6
CHAPITRE 1. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z
7
Tout entier relatif admet un symétrique unique dans Z
Théorème 1.7. Pour tout entier relatif r, il existe un entier relatif r′ tel que r + r′ = r′ + r = 0.
Remarquons en premier lieu que la condition r′ + r = r + r′ , indispensable dans le cas général n’amène rien dans le
cas d’une opération commutative.
Démonstration
∀r ∈ Z, (n, p) + (p, n) = (n + p, p + n) .
On rappelle à l’occasion la relation d’équivalence fondamentale : (n, p) R (n′ , p′ ) ⇔ n + p′ = n′ + p
Ainsi, (n + p) + 0 = 0 + (n + p) se lit aussi : (n + p, n + p) R (0, 0) .
Ainsi (n, p) + (p, n) = (0, 0) qu’on convient de noter 0.
On a donc montré que le relatif (n, p) admet pour symétrique (p, n) .
Ce symétrique est de plus unique d’après la régularité de l’addition dans Z.
r + r′ = 0
′
Supposons en effet qu’il existe deux symétriques r et r” :
⇒ r = r”
r + r” = 0
Remarques :
1. Dans le cas de l’addition le symétrique d’un nombre sera appelé opposé de celui-ci. On conviendra dans quelques
lignes de noter −r l’opposé de r. Notons le encore opp(r) pour quelques instants Cette propriété d’existence d’un symétrique
pour l’addition est la propriété fondamentale qui manquait aux entiers naturels. Elle complète les propriétés d’associativité
et d’existence d’un élément neutre pour faire de l’ensemble Z, muni de l’addition ce qu’on appelle un groupe. L’addition
étant commutative, ce groupe est naturellement dit commutatif.
2. L’opposé de l’opposé d’un nombre est le nombre lui-même. En effet, r + opp(r) = 0 se lit aussi opp(r) + r = 0 qui
prouve que r est l’opposé de opp(r).
3. Deux entiers relatifs ont même opposé si et seulement si ils sont égaux.
En effet opp(r) = opp(r′ ) ⇒ r+ opp(r) = r + opp(r′ )
⇒ r + opp(r′ ) = 0
⇒ r + opp(r′ ) = r′ + opp(r′ )
⇒ r = r′ , l’addition étant régulière.
4. r appartient à Z+ si et seulement si son opposé appartient à Z− .
En effet, si (n, p) est un représentant de r ∈ Z+ , alors n ≥ p.
Mais alors son opposé étant (p, n) , n ≤ p ⇒ (p, n) ∈ Z− .
1.3.3
N est inclus dans Z
Il s’agit de démontrer que tout entier naturel est aussi un entier relatif.
Principe de la démonstration : Il suffit de mettre en évidence une bijection ϕ de N sur Z. Ainsi, à tout entier naturel
n on pourra associer un unique entier relatif ϕ(n), et inversement, à tout entier relatif ϕ(n) on pourra associer un unique
entier naturel n. Dans ces conditions, on pourra dire que l’antécédent et l’image, qui se correspondent mutuellement d’un
manière unique peuvent être idéntifiés l’un à l’autre (de la même manière qu’on identifie souvent un point et son couple
de coordonnées cartésiennes).
CHAPITRE 1. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z
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Démonstration
Soit ϕ : N −→Z
n −→ (n, 0)
Montrons alors que ϕ est une bijection de N sur Z.c’est à dire que ∀ (n, 0) ∈ Z, ∃!n ∈ N
(n, 0) = ϕ (n)
L’existence est triviale
L’unicité : supposons que (n, 0) ait deux antécédents n et n′ par ϕ. On a donc
ϕ (n) = (n, 0)
ϕ (n′ ) = (n, 0)
Or, ϕ (n′ ) = (n′ , 0) . On a donc forcément (n, 0) = (n′ , 0) . Mais n’oublions pas que cette égalité abusivement écrite
comme une égalité entre deux couples de naturels, correspond en fait à l’égalité entre deux relatifs, c’est à dire entre
deux classes d’équivalence. On devrait donc en fait écrire plutôt (n, 0) R (n′ , 0) c’est à dire n + 0 = n′ + 0 ⇒ n = n′ .
D’où l’unicité annoncée.
Voilà donc établi qu’à tout entier relatif de la forme (n, 0) , c’est à dire appartenant à l’ensemble appelé Z+ , correspond
d’une manière unique un entier naturel. Cette correspondance univoque permet d’identier l’entier relatif à son antécédent
dans N, et voilà que tout élément de N devient un élément de Z+ , donc de Z. N est donc inclus dans Z. On dit qu’on a
immergé N dans Z. L’entier relatif (n, 0) pourra alors être tout simplement noté n.
1.3.4
Notation définitive
On connaît la bijection ϕ de N sur Z qui permet d’identifier le relatif (n, 0) de Z+ à l’entier naturel n.
On a vu de plus qu’à tout relatif (n, p) on peut associer un opposé unique.(p, n) .
Ainsi, la fonction ψ : n −→ (0, n) est une bijection de N dans Z− . On conviendra dès lors de noter −n ce relatif (0, n)
qui n’est autre que l’opposé de (n, 0) c’est à dire de n.
Ainsi, si n ∈ N, n ∈ Z+ désigne le relatif (0, n) alors que son opposé (n, 0) ∈ Z− est noté −n
Ou encore, (n, p) ∈ Z+ ⇒ (n, p) = (k, 0) sera noté k (c’est le cas où n ≥ p)
(n, p) ∈ Z− ⇒ (n, p) = (0, k) sera noté −k (c’est le cas où n ≤ p).
Et voilà l’ensemble Z bien connu retrouvé dans ses notation habituelles.
1.3.5
La soustraction dans Z
La soustraction dans Z
Définition 1.6. On définit alors la différence r − r′ comme la somme de r et de l’opposé de r′ .
C’est à dire : ∀ (r, r′ ) ∈ Z2 , r − r′ = r + opp(r′ )
Avec les notation précédentes, (n, p) − (n′ , p′ ) = (n, p) + (p′ , n′ ) donc (n, p) − (n′ , p′ ) = (n + p′ , p + n′ )
Remarque : r − r′ est l’opposé de r′ − r.
En effet, (n, p) − (n′ , p′ ) = (n + p′ , p + n′ )
= − (p + n′ , n + p′ )
= − [(p, n) + (n′ , p′ )]
= − [− (n, p) + (n′ , p′ )]
= − [(n′ , p′ ) + (− (n, p))]
CHAPITRE 1. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z
9
= opp (r′ − r)
1.4
1.4.1
La multiplication dans Z
Introduction intuitive
Avec toujours la même présentation intuitive qui veux que le représentatant (n, p) de la classe d’équivalence désigne en
fait le nombre n − p, leur produit (n, p) × (n′ , p′ ) désignera le nombre (n − p) × (n′ − p′ ) c’est à dire avec une distributivité
non encore démontrée, le nombre (nn′ + pp′ ) − (np′ + n′ p) .
D’où l’idée de poser (n, p) × (n′ , p′ ) = (nn′ + pp′ ; np′ + n′ p) . Il reste à vérifier qu’elle est compatible avec la multiplication définie sur N, et possède les propriétés qu’on attend d’elle. C’est l’objet des paragraphes qui suivent.
1.4.2
Définition de la multiplication dans Z
la multiplication dans Z
Définition 1.7. On définit l’opération × suivante : ∀ (r, r′ ) ∈ Z2 , r = (n, p) et r′ = (n′ , p′ )
(n, p) × (n′ , p′ ) = (nn′ + pp′ ; np′ + n′ p)
Remarque : La multiplication ainsi définie est une opération interne, puisque nn′ + pp′ et np′ + n′ p sont des entiers naturels. Le couple (nn′ + pp′ ; np′ + n′ p) est donc bien le représentant d’une classe d’équivalence de la relation d’équivalence
définissant les éléments de Z.
1.4.3
Propriétés de la multiplication dans Z
En travaillant avec les représentants principaux, c’est à dire des couples de la forme (0, n) et (n, 0)
Règle des signes :
Il s’agit juste de constater que la règle des signes bien connue est respectée par le définition ci-dessus.
En effet :
Si N ∈ Z+ et P ∈ Z− c’est à dire N = (n, 0) et P = (0, p) alors N × P = (0, np) est bien un nombre de Z−
possédant pour valeur absolue le produite des valeurs absolues (même si le mot de valeur absolue n’a pas encore été défini.
Vous vérifierez de la même manière les autres cas.
Associativité de la multiplication dans Z
Théorème 1.8. La multiplication dans Z est associative
Démonstration
Montrons, que ∀ (n, p, n′ , p′ , n”, p”) ∈ N6 , ((n, p) × (n′ , p′ )) × (n”, p”) = (n, p) × ((n′ , p′ ) × (n”, p”))
En effet, (n, p) × (n′ , p′ ) = (nn′ + pp′ ; np′ + n′ p)
10
CHAPITRE 1. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z
donc ((n, p) × (n′ , p′ )) × (n”, p”) = (nn′ + pp′ ; np′ + n′ p) × (n”, p”)
C’est à dire ((n, p) × (n′ , p′ )) × (n”, p”) = ((nn′ + pp′ ) × n” + (np′ + n′ p) × p”; (nn′ + pp′ ) p” + (np′ + n′ p) × n”)
= (nn′ n” + n”pp′ + np′ p” + n′ pp”; nn′ p” + pp′ p” + nn”p′ + n′ n”p)
(⋆)
d’après la distributivité de × sur + dans N.
D’autre part : ((n′ , p′ ) × (n”, p”)) = (n′ n” + p′ p”; n′ p” + n”p′ )
Donc (n, p) × ((n′ , p′ ) × (n”, p”)) = (n × (n′ n” + p′ p”) + p × (n′ p” + n”p′ ) ; n × (n′ p” + n”p′ ) + p (n′ n” + p′ p”))
= (nn′ n” + np′ p” + n′ pp” + n”pp′ ; nn′ p” + nn”p′ + n′ n”p + pp′ p”)
()
En comparant les égalités (⋆) et () compte tenu de la commutativité de + dans N, on obtient la propriété attendue.
Commutativité de la multiplication dans Z
Théorème 1.9. La multiplication dans Z est commutative
Démonstration
Montrons, que ∀ (n, p, n′ , p′ ) ∈ N4 , (n, p) × (n′ , p′ ) = (n′ , p′ ) × (n, p) .
(n, p) × (n′ , p′ ) = (nn′ + pp′ ; np′ + n′ p)
(n′ , p′ ) × (n, p) = (n′ n + p′ p, n′ p + p′ n)
Ces deux seconds membres sont égaux grâce aux proprités de l’addition dans N.
La multiplication dans Z admet un élément neutre
Théorème 1.10. La multiplication dans Z admet un élément neutre : (1; 0) noté 1.
Démonstration
∀ (n, p) ∈ N2 , (n, p) × (1; 0) = (n × 1 + p × 0; n × 0 + p × 1)
= (n; p) .
Distributivité de la multiplication sur l’addition dans Z
Théorème 1.11. Dans Z, la multiplication est distributive sur l’addition
Démonstration
Montrons que ∀ (n, n′ , n”, p, p′ , p”) ∈ N6 , (n, p) × ((n′ , p′ ) + (n”, p”)) = (n, p) × (n′ , p′ ) + (n, p) × (n”, p”)
En effet, (n, p) × ((n′ , p′ ) + (n”, p”)) = (n, p) × (n′ + n”, p′ + p”)
= (n × (n′ + n”) + p (p′ + p”) , n × (p′ + p”) + p × (n′ + n”))
= (nn′ + nn” + pp′ + pp”, np′ + np” + n′ p + n”p)
(⋆)
CHAPITRE 1. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z
11
Et, (n, p) × (n′ , p′ ) + (n, p) × (n”, p”) = (nn′ + pp′ ; np′ + n′ p) + (nn” + pp”; np” + n”p)
= (nn′ + pp′ + nn” + pp”; np′ + n′ p + np” + n”p)
()
Et en comparant (⋆) et () , on constate l’égalité des deux expressions.
Notation définitive de l’opposé d’un nombre
On décide d’appeler −1 le nombre (0, 1)
Il suffit alors de remarquer que opp (n, p) = (p, n) et que (p, n) = (0, 1)×(n, p) pour pouvoir écrire que opp(r) = (−1)×r
Et de prendre pour notation définitive −r pour opp(r).
On rappelle (voir remarques du paragraphe sur les propriétés de l’addition) que −r = −r′ ⇔ r = r′
Régularité de la multiplication dans Z
Théorème 1.12. La multiplication est régulière dans Z∗ , c’est à dire que ∀ (a, b) ∈ Z2 , ∀c ∈ Z∗ , a = b ⇔ ac = bc
On remarquera que la condition nécessaire est vraie même pour c = 0.
Démonstration
⋆Si a, b, et c sont des éléments de Z+ , donc de N, la démonstration a été faite (régularité de la multiplication dans
N).
⋆Si a, b, et c sont des éléments de Z+ et c élément de Z− .
c ∈ Z− ⇒ −c ∈ Z+ et dans ce cas a = b ⇔ a × (−c) = b × (−c)
Or, on a établi que −c = (−1) × c et d’après l’associativité de × :
a × (−c) = b × (−c) ⇔ (−1) × ac = (−1) × bc
⇔ − (ac) = − (bc)
⇔ ac = bc d’après la remarque rappelée ci-dessus.
⋆ Les autres cas possibles de signes pour a, b et c amènent des démonstrations identiques.
Multiplication membre à membre
a=b
⇒ ac = bd
c=d
a=b
ac = bc
En utilisant deux fois la régularité de × :
⇒
⇒ ac = bd
c=d
cb = db
4
Une propriété évidente : ∀ (a, b, c, d) ∈ Z ,
Nullité d’un produit
Théorème 1.13. Le produit de deux entiers relatifs est nul si et seulement si l’un des deux est nul
C’est à dire ∀ (r; r′ ) ∈ Z2 , rr′ = 0 ⇔ r = 0 ou r′ = 0
CHAPITRE 1. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z
12
Démonstration
Posons r = (n; p) et r′ = (n′ ; p′ ) .
Alors rr′ = (n, p) × (n′ , p′ ) = (nn′ + pp′ ; np′ + n′ p) .
Donc rr′ = 0 ⇔ (nn′ + pp′ ; np′ + n′ p) = (0; 0)
⇔ nn′ + pp′ + 0 = np′ + n′ p + 0
⇔ nn′ − np′ = n′ p − pp′
⇔ n (n′ − p′ ) = p (n′ − p′ )
⇔ n (n′ − p′ ) − p (n′ − p′ ) = 0
⇔ (n′ − p′ ) (n − p) = 0
⇔ n′ − p′ = 0 ou n − p = 0 (propriété de N : théorème 2.12)
Ainsi rr′ = 0 ⇔ n = p ou n′ = p′
C’est à dire si et seulement si r = 0 ou r′ = 0.
1.5
1.5.1
Ordre dans Z
Définition et théorème
Relation d’ordre dans Z
Définition 1.8. On définit sur Z la relation ≤ suivante :
Z
r
=
(n,
p)
∀(r, r′ ) ∈ Z2 ,
r ≤ r′ ⇔ n + p′ ≤ n′ + p.
r′ = (n′ , p′ )
Z
N
où ≤ désigne la relation d’ordre définie sur N dans le chapitre précédent. Cette distinction entre les deux relations
N
d’ordre sera abandonnée sitôt qu’on aura immergé N, ≤ dans Z, ≤ . Nous la noterons dès lors ≤ dans les deux
N
Z
cas.
Remarque : c’est toujours la notation implicite de la différence car r désignant l’entier n−p, et r′ désignant n′ −p′ , dire
que r ≤ r′ revient à dire que n − p ≤ n′ − p′ , c’est à dire, pour éviter cette soustraction encore interdite, n + p′ ≤ n′ + p.
L’ordre dans Z est total
Théorème 1.14. La relation ≤ est une relation d’ordre total sur Z.
Z
Démonstration
Réflexivité : ∀r ∈ Z, r = (n, p) , n + p ≤ n + p ⇒ r ≤ r
N
′
2
Antisymétrie : ∀(r, r ) ∈ Z ,
Z

 r ≤ r′
r = (n, p)
Z
,
⇒ r = r′
r′ = (n′ , p′ )  r′ ≤ r
Z
CHAPITRE 1. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z
En effet,

 r ≤ r′ ⇒ n + p′ ≤ n′ + p
Z
N
 r′ ≤ r ⇒ n′ + p ≤ n + p′
Z
13
⇒ n+p′ = n′ +p puisque ≤ etant une relation d’ordre dans N est antisymétrique.
N
N
Or n + p′ = n′ + p ⇒ (n, p) = (n′ , p′ )
Rappelons que cette dernière notation est abusive et qu’on devrait noter (n, p) R (n′ , p′ ) c(deux représentants différents
d’une même classe d’équivalence qui est le nombre entier relatif).

 r ≤ r′ ⇒ n + p′ ≤ n′ + p
Z
N
Transitivité : ∀(r, r′ , r”) ∈ Z3 et avec des notations évidentes,
 r′ ≤ r” ⇒ n′ + p” ≤ n” + p′
Z
N
Or la relation ≤ dans N permet d’ajouter deux inégalités membre à membre.
N
Ainsi

 n + p′ ≤ n′ + p
N
 n′ + p” ≤ n” + p′
⇒ n + p′ + n′ + p ≤ n′ + p + n” + p′
N
N
En simplifiant l’inégalité obtenu (travail dans N ), on obtint donc n + p ≤ p + n”
N
qui prouve que (n, p) ≤ (n”, p”)
Z
D’où la transitivité.
L’ordre est total : En effet, l’ordre c étant total dans N, deux possibilités :
Soit n + p′ ≤ n′ + p et on a alors (n, p) ≤ (n′ , p′ )
N
Z
Soit n′ + p ≤ n + p′ et on a alors (n′ , p′ ) ≤ (n, p)
N
Z
Mais de toutes manières, les deux entiers relatifs (n, p) et (n′ , p′ ) sont comparables.
1.5.2
Entiers relatifs positifs - négatifs
L’entier relatif (0, 0) sera donc identifié à l’entier naturel 0.
Propriété : Montrons que 0 est inférieur ou égal à tout élément de Z+ (on dira bien entendu que ce nombre est
positif).
Démonstration
∀ (n, p) ∈ Z+ , ∃ n′ ∈ N
(n, p) R (n′ , 0)
Or n′ ∈ N ⇒ 0 ≤ n′ (puisque n′ = n′ + 0)
N
⇒ 0 + 0 ≤ n′ + 0
N
⇒ (0, 0) ≤ (n′ , 0) d’après l’identification ci-dessus.
N
On montre d’une manière tout à fait analogue que tout élément de Z− est inférieur ou égal à 0.

 n≤0
Z
Remarque : Par transitivité de ≤, ∀n ∈ Z− , ∀p ∈ Z+ ,
⇒n≤p
 0≤p
Z
Z
Montrant ainsi que tout entier relatif négatif est inférieur ou égal à tout entier relatif positif.
14
CHAPITRE 1. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z
1.5.3
Ordre et opérations dans Z
L’addition est compatible avec l’ordre dans Z
Théorème 1.15. ≤ est compatible avec l’addition dans Z c’est à dire ∀ (r, r′ , r”) ∈ Z3 , r ≤ r′ ⇔ r + r” ≤ r′ + r”
Z
Z
Démonstration
Avec des notations évidentes : (n, p) ≤ (n′ , p′ ) ⇔ n + p′ ≤ n′ + p
Z
′
N
′
′
r + r” ≤ r + r” ⇔ (n + n”, p + p”) ≤ (n + n”, p + p”)
Z
Z
⇔ n + n” + p′ + p” ≤ p + p” + n′ + n”
N
⇔ n + p′ ≤ p + p′ en simplifiant par n” + p” d’après la régularité de +.
N
⇔ (n, p) ≤ (n′ , p′ )
Z
⇔ r ≤ r′
Z
Ordre et multiplication dans Z
Théorème 1.16. ∀ (r, r′ ) ∈ Z2 , ∀r” ∈ Z+ , r ≤ r′ ⇔ r × r” ≤ r′ × r”
Z
Z
∀ (r, r′ ) ∈ Z2 , ∀r” ∈ Z− , r ≤ r′ ⇔ r′ × r” ≤ r × r” (inversion de l’inégalité)
Z
Z
Démonstration
La première partie du théorème est en fait la compatibilité de ≤ et de + dans N.
Pour la seconde partie montrons d’abord que r ≤ r′ ⇔ −r′ ≤ −r.
Z
Z
en effet, avec des notations évidentes : (n, p) ≤ (n′ , p′ ) ⇔ n + p′ ≤ n′ + p
Z
(♠)
N
Or −r = (p, n) et −r′ = (p′ , n′ ) donc −r′ ≤ r ⇔ p′ + n ≤ p + n′
Z
(♥)
N
En comparant (♥) et (♠) on voit l’équivalence attendue.
Dés lors, ∀r” ∈ Z− , −r” ∈ Z+ ⇒ r ≤ r′ ⇔ r × (−r”) ≤ r′ × (−r”)
Z
Z
⇔ − (r × r”) ≤ − (r′ × r”)
Z
′
⇔ r × r” ≤ r × r” d’après ce qui précède
Z
1.6
Immersion de N dans Z
On a déjà montré que N est inclus dans Z, mais on ne parlera d’mmersion que lorsqu’on aura vérifié que :
15
CHAPITRE 1. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z
La somme de deux entiers naturels est la même que la somme des deux relatifs auxquels ils sont égaux
Le produit de deux entiers naturels est le même que le produit des deux relatifs auxquels ils sont égaux
Deux entiers naturels et les deux relatifs auxquels ils sont égaux sont rangés dans le même ordre.
1.6.1
Immersion de (N, +) dans (Z, +) .
Montrons donc que l’addition de deux entiers naturels est la même que ceux-ci soient considérés comme des éléments
de N ou de Z.
En effet, ∀ (n, n′ ) ∈ N, (n, 0) + (n′ , 0) = (n + n′ , 0) d’après la définition de + dans Z.
Or (n, 0) désigne l’entier naturel n , (n′ , 0) l’entier naturel n′ , et (n + n′ , 0) l’entier naturel n + n′ . L’addition des
entiers relatifs donne bien le même résultat que l’addition des entiers naturels correspondants.
D’où la compatibilité recherchée et l’immersion de (N, +) dans (Z, +)
Remarque : avec la fonction ϕ définie ci-dessus et qui nous avait permis d’identifier n à (n, 0) , on écrirait tout
simplement ϕ(n + n′ ) = ϕ (n) + ϕ (n′ )
1.6.2
Immersion de (N, ×) dans (Z, ×)
Il s’agit de démontrer que la multiplication de deux éléments de Z+ est égale à la multiplication des deux entiers
naturels auxquels ils sont égaux.
Soit (n, 0) ∈ Z+ et (n′ , 0) ∈ Z+
Alors, (n, 0) × (n′ , 0) = (nn′ , 0) qui est bien l’entier naturel nn′ .
1.6.3
Immersion de N, ≤ dans Z, ≤
N
Z
Il suffit maintenant de démontrer la compatibiité de l’ordre défini dans Z avec celui déjà existant dans N.
En d’autres termes, il faut prouver, et c’est bien là la moindre des choses, que deux entiers natrels sont rangés dans
le même ordre qu’ils soient considérés comme éléments de N ou de Z. C’est à dire qu’ils soient comparés à l’aide de ≤ ou
N
de ≤ .
Z
Ainsi, démontrons que ∀ (n, n′ ) ∈ N2 , (n, 0) ≤ (n′ , 0) ⇔ n ≤ n′
Z
N
Démonstration
Facile car d’après la définition de la relation d’ordre dans Z, on a :
∀ (n, n′ ) ∈ N2 , (n, 0) ≤ (n′ , 0) ⇔ n + 0 ≤ n′ + 0
Z
′
N
2
′
c’est à dire ∀ (n, n ) ∈ N , (n, 0) ≤ (n , 0) ⇔ n ≤ n′
Z
N
Voilà donc démontrée
des deux relations d’ordre. L’immersion de N dans Z peut donc être étendue à
la compatibilité
l’immersion de N, ≤ dans Z, ≤ . La première immersion a permis de simplifier le notations en écrivant n à la place
N
Z
de (n, 0) , la seconde permettra de noter du même symbole ≤ les deux relations d’ordre.
CHAPITRE 1. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z
1.7
16
Quelques rudiments d’arithmétique
Il n’est pas question ici de présenter un cours complet d’arithmétique, mais juste quelques concepts qui seront utilisés
plus tard, en particulier dans le chapitre sur les nombres rationnels.
1.7.1
Diviseur d’un nombre - Division euclidienne
Diviseur d’un nombre
Définition 1.9. Un entier relatif non nul d est un diviseur
de l’entier relatif a, qui sera noté d/a si et seulement s’il
d = 0
existe un entier relatif k tel que a = kd. Ainsi d/a ⇔
. On dit aussi que a divise b et que b est un
∃k ∈ Z : a = kd
multiple de a.
Remarque. Si d est un diviseur de a, −d l’est aussi.
C’est évident puisque a = kd ⇒ a = (−k) × (−d)
Division euclidienne
Théorème 1.17. Pour tous entiersrelatifs a et b (b = 0) , il existe un couple unique d’entiers (q; r) où q est un élément
a = bq + r
de Z et r un entier naturel vériant :
où |b| désigne la valeur absolue de b c’est à dire |b| = Max (−b; b) q
0 ≤ r < |b|
et r sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de a (appelé diviseur) par b (appelé dividende)
Démonstration
Existence : Nous allons utiliser un raisonnement par disjonction des cas, discutant sur les signes relatifs de a et b.
1/
a ≥ 0 et b > 0. a et b sont donc deux entiers naturels.
D’après le corollaire de la propriété d’Archimède ( proposition 2.4. du chapitre 1), il existe un entier naturel q
tel que qb ≤ a < (q + 1) b
Ainsi qb ≤ a ⇒ ∃r ∈ N : a = qb + r .
On a donc r ∈ N ⇒r ≥ 0 et a < (q + 1) b ⇒ qb + r < (q + 1) b donc r < b. D’où l’existence de q et r.
2/ a ≤ 0 et b < 0. Posons alors −a ≥ 0 et −b > 0 qui ramènent au cas précédents.
−a = (−b) × q + r
a=b×q−r
Donc ∃ (q; r) ∈ Z × N :
⇔
(en multipliant les deux membres par −1)
0≤r<b
0≤r<b
— Si r = 0, on a a = b × q et le couple (q; 0) convient.
a = b × (q + 1) − b − r
— Si r = 0 le système précédent devient :
0<r<b r>0
−r < 0
Il suffit alors de remarquer que 0 < r < b s’écrit aussi
⇒
r<b
−r
>b
−r − b < −b
⇒
−r − b > 0
donc 0 < −r − b < −b qui prouve que le couple (q + 1; −r − b) convient (|b| = −b)
3/ a ≤ 0 et b > 0 −a et b sont des entiers naturels, donc en application du premier point :
−a = b × q + r
a = b × (−q) − r
∃ (q; r) ∈ Z × N :
⇔
(en multipliant les deux membres par −1)
0≤r<b
0≤r<b
CHAPITRE 1. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z
17
— Si r = 0, on a a = b × (−q) et le couple (−q; 0) convient.
a = b × (−q − 1) + b − r
— Si r = 0 le système précédent devient :
0<r<b
r>0
−r < 0
b−r <b
Avec
⇒
⇒
donc 0 < b − r < b
r<b
−r > −b
b−r >0
Le couple (−q − 1; b − r) convient donc
a = (−b) × q + r
a = b × (−q) + r
4/ a ≥ 0 et b < 0 ; L’entier −n étant naturel, ∃ (q; r) ∈ Z × N :
⇔
0 ≤ r < −b
0 ≤ r < −b
Le couple (−q; r) convient donc.
Par disjonction des cas, on voit que la couple (q; r) existe toujours
Unicité : supposons qu’il existe un second couple (q ; r ) on a alors
′
′
a = bq + r
et
0 ≤ r < |b|
a = bq ′ + r′
0 ≤ r′ < |b|
Donc bq + r = bq ′ + r′ ⇒ b (q − q ′ ) = r′ − r. Donc b divise r′ − r ainsi que −b d’après la remarque précédente. Si b et
−b divisent r′ − r, le plus grand des deux qui est |b| le divise aussi. Ainsi |b| divise r′ − r.
0 ≤ r < |b|
− |b| ≤ −r < 0
D’autre part,
⇔
⇒ − |b| < r′ − r < |b| .
0 ≤ r′ < |b|
0 ≤ r′ < |b|
r′ − r est donc un multiple de |b| stritement compris entre − |b| et |b| .
Or les multiples de |b| sont dans {· · · , −2 |b| , − |b| , 0, |b| , 2 |b| , · · · } donc r′ − r = 0 et r′ = r.
bq = bq ′
bq + r = bq ′ + r′
⇒
⇒ q = q ′ en simplifiant par b non nul.
Enfin
′
r =r
r′ = r
D’où le résultat.
1.7.2
Diviseurs commun - PGCD de deux entiers naturels
Diviseur commun
Définition 1.10. On appelle diviseur commun aux deux entiers relatifs a et b tout nombre qui divise à la fois a et b.
On peut convenir de noter D (a) et D (b) les ensembles des diviseurs de a et b. Un diviseur commun à a et b est donc
un élément de D (a) ∩ D (b) .
PGCD de deux nombres
Théorème 1.18. L’ensemble des diviseurs communs à tout couple d’entiers naturels non nuls admet un plus
grand élément appelé PGCD des entiers naturels a et b. Il sera noté δ = P GCD (a, b) ou encore δ = a ∧ b
Démonstration
Soit D l’ensemble des diviseurs communs positifs de a et b.
D n’est pas vide car 1 divisant a et b en est un élément.
a = kn
a≥n
De plus n ∈ D ⇒
⇒
qui prouve que D est majoré.
b = k′ n
b≥n
CHAPITRE 1. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z
18
Une partie non vide et majorée de N admettant un plus grand élément, D admet un plus grand élément δ.
Il majore tous les diviseurs positifs communs à a et b, et à fortiori les négatifs. C’est bien le plus grand diviseur commun
à a et b.
Il est unique comme plus grand élément d’un ensemble (par l’absurde).
Proposition 1.1. a et b sont deux entiers naturels dont le PGCD est δ. On a alors a = δa′ et b = δb′ avec a′ ∧ b′ = 1.
Démonstration
Supposons en effet que a′ ∧ b′ = d > 1. Alors d/a′ ⇒ a′ = kd et de même b′ = k′ d
On en déduit que a = kdδ et b = k′ dδ. Donc dδ est un diviseur commun à a et b, or d > 1 ⇒ dδ > δ contradiction
Nombres premiers entre eux
Définition 1.11. Deux entiers naturels sont premiers entre eux si et seulement si leur pgcd vaut 1
Remarque : Deux nombres premiers entre eux n’ont pour diviseurs communs que 1 et −1. En effet, −1 et 1 sont
diviseurs communs.
Supposons d diviseur commun à a et b. Soit d > 0 et a ∧ b = 1 ⇒ d ≤ 1. Ainsi 0 < d ≤ 1 ⇒ d = 1
d<0
Soit
⇒ −d > 1. Or on sait que si d divise un nombre, −d aussi. −d est donc un diviseur commun à a et b
d = −1
supérieur à leur p gcd . Contradiction.
Théorème de Bezout
Théorème 1.19. Pour tout couple d’entiers relatifs non nuls tous les deux et dont le PGCD est d, il existe un couple
d’entiers relatifs u et v tels que d = au + bv ∀ (a; b) ∈ Z2 , (a; b) = (0; 0) , ∃ (u; v) ∈ Z2 : au + bv = δ avec δ = a ∧ b
Démonstration
Soit
E l’ensemble des entiers naturels
non nuls de la forme an + bm où m et n sont des entiers relatifs. E =
N ∈ N∗ : N = an + bm, (m; n) ∈ Z2 .
Remarquons qu’un élément de la forme an + bm est soit un élément de E, soit nul.
On remarque aussi que a ∈ E (pour m = 0 et n = 1 si a est positif, n = −1 sinon).
L’ensemble E n’est donc pas vide ; il admet donc un plus petit élément p (proposition 2.4. du chapitre sur le entiers
naturels)
Ainsi, ∃ (u; v) ∈ Z2 : au + bv = p. La démonstration vise à démontrer que p = δ, et ce en deux points :
— Tout diviseur commun
à a et b divise p
∃k ∈ Z : a = kd
∀d ∈ D (a) ∩ D (b) ,
⇒ p = kdm + k′ dn
∃k′ ∈ Z : b = k′ d
On a donc p = d (km + k′ n) qui prouve que d divise p. On aura donc en particulier δ/p
CHAPITRE 1. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z
19
Or p = 0 donc ∃k ≥ 1 : p = kδ qui entraîne p ≥ δ
— p étant positif, la division
euclidienne de a par p donne :
a = qp + r
r = a − qp
⇔
0≤r<p
0≤r<p
r = a − q (au + bv)
⇔
0≤r<p
r = a (1 − qu) + (−b) v
⇔
0≤r<p
r ∈ E ou r = 0 (d’après la première remarque ci-dessus)
⇔
0≤r<p
Or p étant le plus petit élément de E, r < p ⇒ r ∈
/ E d’où r = 0.
On en déduit que p divise a. Un raisonnement identique montre que p divise b
p est donc un diviseur commun à a et b donc p ≤ δ
On a donc d’après le premier point p ≥ δ, et p ≤ δ d’après le second. Ainsi p = δ qui prouve le théorème.
Théorème de Gauss
Théorème 1.20.
Soit a, b, c trois entiers relatifs non nuls. Si a divise bc et est premier avec b, alors a divise c,
a/bc
∀ (a; b; c) ∈ Z∗3 ,
⇒ a/c.
a∧b=1
Démonstration
a/bc ⇒ ∃k ∈ Z : bc = ka
Or d’après le théorème de Bezout, ∃ (u; v) ∈ Z2 : au + bv = 1 et en multipliant les deux membres par c : acu + bcv = c
bc = ka
On a donc
⇒ acu + kav = c
acu + bcv = c
⇒ a (cu + kv) = c donc a divise c.
1.8
Conclusion
Après avoir créé les nombres entiers naturels, on s’est rendu compte que la résolution de certaines équations "additives",
supposait l’existence pour tout entier d’un opposé. Ce problème amena la création de l’ensemble Z dont le rôle était
précisément d’offrir à chaque entier (relatif cette fois) un symétrique appelé opposé dans le cas de l’addition. Les équations
pouvaient cette fois être résolues dans Z. La propriété de symétrisation de tout entier relatif, ajoutées aux propriétés
précédentes ded l’addition qui sont l’associativité, l’existence d’un élément neutre faisait de (Z, +) un groupe, commutatif
qui de plus est.
Le problème se pose à nouveau dans Z, mais avec la multiplication cette fois. L’équation 2x = 1 n’admet pas de
solution dans Z.
En effet (2, 0) × (n, p) = (1, 0) ⇒ (2n, 2p) = (1, 0) cette égalité étant bien entendu à prendre au sens de l’égalité dans
Z, c’est à dire l’égalité entre deux classes d’équivalence.
On ferait donc mieux d’écrire (2, 0) × (n, p) = (1, 0) ⇒ (2n, 2p) R (1, 0)
c’et à dire (2, 0)×(n, p) = (1, 0) ⇒ 2n+1 = 2p+0. Cette égalité entre un nombre pair et un nombre impair n’admettant
pas de solution dans N (car n et p sont des éléments de N).
Ce problème, d’une manière rigoureusement analogue au précédent va amener la création d’un nouvel ensemble : Q ,
ensemble des nombres rationnels, et (Q, ×). deviendra un groupe commutatif.