La construction de l`ensemble des nombres entiers relatifs Z

Chapitre 1
La construction de l’ensemble des nombres
entiers relatifs Z
1.1 Introduction
A l’école primaire, on apprend qu’une soustraction n’est possible que si le premier opérande est plus grand que le
second. Dit autrement, l’équation x+ 2 = 3 admet une solution unique mais x+ 3 = 2 n’a pas de solution (dans N,
évidemment). Il fait aujourd’hui 3 degrés ; quelle température fera-t-il demain si le thermomètre chute de 5 degrés ?
Ce problème est en fait lié à la non existence, pour chaque élément de N,d’un symétrique pour l’addition (on l’appellera
opposé). L’addition est bien une opération interne dans Nqui est associative et possède un élément neutre 0.Il lui manque
une propriété fondamentale pour que (N,+) devienne un groupe
(1)
: l’existence pour tout entier naturel d’un opposé.
Ainsi, pour tout entier naturel nil devrait exister un nombre n
′
tel que n+n
′
=n
′
+n= 0.Si tel était le cas, l’addition
étant régulière, toute équation du type n+ 3 = 2 admettrait une solution unique : n= 2 + opp (3) obtenue en ajoutant
au deux nombres , opp (3) .Malheureusement, ce n’est pas le cas, car dans N3n’a pas d’opposé.
C’est précisément pour répondre à ce besoin qu’on a inventé l’ensemble Zdes entiers relatifs, qui est en fait Nauquel
on a rajouté l’ensemble des opposés de tous les entiers naturels.
(1) Un ensemble Emuni d’une opération interne (les deux opérandes ainsi que le résultat appartiennent à E)est dit
un groupe si et seulement si :
— L’opération est associative
— admet un élément neutre 0
— Tout élément de Eadmet un symétrique appelé dans le cas de l’addition opposé. C’est à dire que ∀x∈E, ∃x
′
∈E:
x+x
′
= 0
Si de plus l’opération est commutative, le groupe est dit commutatif.
1.1.1 Idée maîtresse
Puique le but premier est de rendre possibles certaines soustractions, l’idée est de considérer qu’un nombre est en fait
le résultat d’une soustraction. On pourra ainsi définir le nombre 2comme étant le résultat de la soustraction 3−1.On
pourra alors identifier le nombre 2avec le couple (3,1) (attention l’ordre compte). Mais alors, cette définition permet
d’inventer le résultat de la soustraction 1−3et de l’appeler (1,3) dans un premier temps, et −2par la suite.
Remarques : cette nouvelle définition du nombre appelle trois remarques fondamentales
1. La soustraction n’étant pas toujours définie, il faudra ne pas employer ce mot et le contourner en ne parlant
que d’addition.
1

CHAPITRE 1. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z2
2. On peut ainsi définir les nombres négatifs mais aussi REdéfinir les nombres positifs. Il faudra bien entendu
s’assurer de la compatibilité des deux définitions qui existent d’un nombre entier naturel. En d’autres termes, il faura
s’assurer que Nest bien inclus dans Zet qu’un entier naturel a bien mêmes propriétés que s’il est considéré comme entier
relatif positif.
3. Le nombre 2a été défini par le couple (3,1) mais aurait tout aussi bien pu l’être par le couple (7,5) ou (2,0) .
Tous ces couples sont équivalents par arpport au nombre qu’ils définissent. On dira qu’ils appartiennent à la même classe
d’équivalence dont le représentant le plus significatif est (2,0) puisqu’il permet de faire apparaître directement le nombre
2.
1.1.2 Relation d’équivalence - Classe d’équivalence.
On a déjà rencontré, dans le chapitre précédent la notion de relation d’ordre, et vu le rôle capital qu’elle joue dans la
construction de N.Rappelons qu’une relation d’ordre est une relation réflexive, antisymétrique et transitive.
Quelles propriétés deux "choses" équivalentes possèdent-elles ?
1. D’abord, on dit que deux choses sont équivalentes, sous-entendant ainsi que l’ordre n’intervient pas ; d’où la
symétrie.
2. Toute chose est équivalente à elle-même, d’où la réflexivité.
3. Si aest équivalent à blui-même équivalent à c, alors aest équivalent à c. D’où la transitivité.
Voici donc pourquoi, dans le but de répondre au concept naturel d’équivalence, les mathématiciens ont décidé de
donner la définition suivante d’une relation d’équivalence :
Relation d’équialence
Définition 1.1. Soit Eun ensemble quelconque. Une relation définie entre deux éléments de Eest une relation
d’équivalence si et seulement si elle est réflexive, symétrique et transitive. C’est à dire si :
1. ∀x∈E, xRxqui se lit xest en relation avec x.;c’est la réflexivité
2. ∀(x;y)∈E
2
, xRy⇒yRx; c’est la symétrie
3. ∀(x;y;z)∈E
3
,xRy
yRz⇒xRz;c’est la transitivité.
Example 1.Un exemple non mathématique : la relation : "être de la même famille que" est une relation d’équivalence.
1. Pierre est de la même famille que Pierre.
2. Si Pierre est de la même famille que Paul, alors, Paul est de la même famille que Pierre.
3. Si Pierre est de la même famille que Paul
Et Paul est de la même famille que Jean Alors, Pierre est de la même famille que Jean.
Example 2.Un autre exemple immédiat est l’égalité dans N.
Classe d’équivalence
Définition 1.2. Etant donnée une relation d’équivalence R,on appelle classe d’équivalence dont un représentant est
xl’ensemble des éléments de Equi sont en relation avec x.
Ce qui s’écrira :
·
x={y∈E:xRy}
Dans la relation d’équivalence définie dans l’exemple ci-dessus, les classes d’équivalences sont les familles.

CHAPITRE 1. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z3
1.2 Définitions
Dans ce qui précède, il est dit avec anticipation que le nombre −2sera défini comme résultat de la soustraction 0−2ou
3−5ou 5−7... Ces couples (0; 2) ,(3; 5) ,(5; 7) étant équivalents pour cette définition. Mais comment éviter d’écrire une
soustraction qui n’a pas de sens ? Tout simplement en écrivant que (0; 2) ,(3; 5) sont équivalents parce-que 0 + 5 = 3 + 2.
Voilà comment déguiser une soustraction en addition.
1.2.1 Une relation d’équivalence fondamentale
Une remation d’équivalence fondamentale
Théorème 1.1. La relation définie sur N
2
par :
∀(n, p)∈N
2
,∀(n
′
, p
′
)∈N
2
,(n, p)R(n
′
, p
′
)) ⇔n+p
′
=n
′
+p
est une relation d’équivalence.
Démonstration
Réflexivité : ∀(n, p)∈N
2
, n +p=n+p⇒(n, p)R(n, p)
Symétrie : ∀(n, p, n
′
, p
′
)∈N
4
: (n, p)R(n
′
, p
′
)⇔n+p
′
=n
′
+p
⇔n
′
+p=n+p
′
⇔(n
′
, p
′
)R(n, p)
Transitivité : ∀(n, p, n
′
, p
′
, n”, p”) ∈N
6
: (n, p)R(n
′
, p
′
)⇔n+p
′
=n
′
+p
(n
′
, p
′
)R(n”, p”) ⇔n
′
+p” = n” + p
′
On en déduit en faisant la somme membre à membre que n+p
′
+n
′
+p” = n
′
+p+n” + p
′
et en simplifiant d’après la propriété de régularité de l’addition dans N, n +p” = +p+n”
C’est à dire (n, p)Rn
”
, p”.
On a ainsi prouvé que : ∀(n, p, n
′
, p
′
)∈N
4
:(n, p)R(n
′
, p
′
)
(n
′
, p
′
)R(n”, p”) ⇒(n, p)Rn
”
, p”
La relation est bien associative ; étant par ailleurs réflexive et symétrique, c’est bien une relation d’équivalence.
Exemple 1.1. (7,5) R(3,1) car 7 + 1 = 5 + 3.
En fait, ces deux couples sont eux-même en relation avec (2,0) ,ce qui est facile à établir. Il appartiennent tous à
la même classe d’équivalence. C’est cette classe d’équivalence qui déterminera l’entier +2, ce qu’on voit aisemment, en
anticipant un peu car 7−5 = 3 −1 = 2 −0 = 2.
1.2.2 L’ensemble Zdes entiers relatifs
Entier relatif
Définition 1.3. On appelle nombre entier relatif toute classe d’équivalence de la relation d’équivalence définie ci-
dessus sur N
2
.L’ensembles des nombres entiers relatifs est noté Z.

CHAPITRE 1. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z4
Cette définition extrêmemnt théorique (mais absolument rigoureuse) ne doit pas faire oublier le concept intutif pré-
cédemment évoqué selon lequel le nombre 2est indifféremment le résultat des soustractions 5−3,6−4,2−0donc sera
désigné par les couples (5; 3) ,(6; 4) ,(2; 0) qui appartiennent tous à la même classe d’équivalence. Mais on peut ainsi
définir −2qui sera la classe d’équivalence de (3; 5) ou (2; 4) ou (0; 2) .
1.2.3 Abus de notation
Un entier relatif rdevrait être noté r=
◦
(p;q)notation réservée à la classe d’équivalence du couple (p;q).Pour des
raisons de commodité, on notera à chaque fois qu’aucune confusion n’est possible r= (p;q),c’est à dire qu’on confondra
la classe et le couple qui la représente. C’est évidemment illégal car
◦
(p;q)désigne en fait l’ensemble de tous les couples
équivalents à (p;q)et pas seulement (p;q).De plus par exemple
◦
(5; 3) =
◦
(6; 4) (qui est vrai) sera noté avec cet abus
d’écriture (5; 3) = (6; 4) qui est évidemment faux.
Dans ce même esprit, on écrira soit (p;q)∈Z,ce qui est abusif car (p;q)est un élément de N
2
et pas Z.
1.2.4 Représentant principal d’une classe d’équivalence - Définition de Z
+
et Z
−
.
Propriété : Soit (n;p)un entier relatif quelconque. Alors, pour tout entier naturel k, (n+k;p+k)R(n;p)
Démonstration immédiate puisque n+k+p=p+k+n.
On en déduit que tous les couples de la forme (n+k;p+k)où k∈N
sont des représentants de la même classe d’équivalence. Ils désignent donc le même entier relatif
Représentant principal
Définition 1.4. On appelle représentant principal d’une classe d’équivalence le représentant constitué d’un couple
d’entiers naturels dont l’un est nul.
Unicité du représentant principal
Théorème 1.2. Ce représentant existe et est unique
Démonstration
Procédons par disjonction des cas : ∀(n;p)∈N
2
,
⋆n > p ⇒n=p+kavec k∈N
∗
par définition de la relation d’ordre dans N.
Ainsi n > p ⇒(n;p) = (p+k;p) = (p+k;p+ 0)
⇒(n;p) = (k; 0) d’après la propriété ci-dessus. C’est le représentant principal qui existe donc et est évi-
demment unique car si k=k
′
alors (k; 0) et (k
′
; 0) ne sont pas équivalents, donc (k
′
; 0) n’est pas un représentant de
(n;p).
L’ensemble de nombres entiers relatifs dont le représentant prinicipal est de la forme (k; 0) avec k∈N
∗
est appelé
Z
+∗
.
⋆n < p ⇒n+k=pet le représentant principal est de même (0; k).

CHAPITRE 1. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z5
L’ensemble de nombres entiers relatif dont le représentant prinicipal est de la forme (k; 0) avec k∈N
∗
est appelé Z
−∗
.
⋆n=p⇒(n;p) = (n;n) = (0 + n; 0 + n)⇒(n;p) = (0; 0).
Ce représentant principal est bien commode car il permet de "visualiser" la valeur intuitive de l’entier relatif. En effet
(2; 0) désigne l’entier 2(ce qui est plus net qu’avec le représentant (5; 3)) tandis que (0; 2) désignera l’entier −2.
Remarque : Z
+
∩Z
−
={0}.En effet (n, p)∈Z
+
∩Z
−
⇔(n, p)∈Z
+
(n, p)∈Z
−
⇔n≤p
p≤n⇔n=pd’après l’antisymétrie
de l’ordre dans N.
1.3 L’addition dans Z
1.3.1 Définition de l’addition dans Z
L’aspect intuitif évoqué depuis le début et avec lequel on s’autorise à parler de soustraction) permet d’écrire que si
(n, p)désigne en fait le nombre n−pet de même (n
′
, p
′
)le nombre n
′
−p
′
,alors la somme de ces deux nombres sera
(n−p) + (n
′
−p
′
)c’est à dire en utilisant prématurément certaines propriétés de l’addition, (n+n
′
)−(p+p
′
).On peut
donc "inventer" l’addition en donnant la définition suivante :
Addition de deux entiers relatifs
Définition 1.5. ∀(r, r
′
)∈Z
2
r= (n, p)
r
′
= (n
′
, p
′
)alors r+r
′
= (n+n
′
, p +p
′
).
1.3.2 Propriétés de l’addition
Retrouvons ci-dessous les propriétés bien connues de l’addition que sont l’asociativité, la commutativité, la régularité.
Associativité de l’addition
Théorème 1.3. L’addition dans Zest associative, c’est à dire que ∀(r, r
′
, r”) ∈Z
3
,(r+r
′
) + r” = r+ (r
′
+r”)
Démonstration
Avec des notations évidentes :
[(n, p) + (n
′
, p
′
)] + (n”, p”) = (n+n
′
, p +p
′
) + (n”, p”)
= (n+n
′
+n”, p +p
′
+p”)
= (n+ (n
′
+n”) , p + (p
′
+p”)) par associativité de l’addition dans N
= (n, p) + [(n
′
+n”) ,(p
′
+p”)]
= (n, p) + [(n
′
, p
′
) + (n”, p”)]
Commutativité de l’addition
Théorème 1.4. L’addition dans Zest commutative, c’est à dire que ∀(r, r
′
)∈Z
2
, r +r
′
=r
′
+r