Cours PGCD

PGCD ET ECRITURE FRACTIONNAIRE
I) Définitions :
1) Multiple et diviseur :
Soit a et b deux nombres entiers naturels non nuls tel que
ୟ
a=b × k
ou
ୠ
=k
où k est un nombre entier naturel
On dit que
a est un multiple de b
b est un diviseur de a
Remarque :
L’entier naturel k est aussi un diviseur de a , et a est aussi un multiple
de k .
Exemple :
143 est-il un multiple de 11 ?
143 : 11 = 13
Donc 143 est un multiple de 11 ( et aussi de 13).
11 et 13 sont des diviseurs de 143.
362 est-il divisible par 16 ?
362 : 16 = 22,625
22,625 n’est pas un nombre entier
donc 16 n’est pas un diviseur de 362. 362 n’est pas un multiple de 16.
Rappel : Critères de divisibilité
Nombre divisible par 2 :
Nombre divisible par 3 :
Nombre divisible par 5 :
Nombre divisible par 9 :
1
Remarque :
0 est un multiple de tout nombre entier naturel b car 0 = b × 0 .
Tout nombre entier naturel a une infinité de multiples.
Multiples de 4 : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44 ……..
2) Division euclidienne :
Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est trouver deux nombres
entiers naturels q et r tels que a = b × q + r avec r < b.
q est le quotient et r est le reste de la division euclidienne.
a
b
r
q
Exemple :
217
1
Donc 217 = 72 × 3 + 1
3
72
Remarque :
Si r = 0, b est un diviseur de a.
II) PGCD :
1) Définition:
Le PGCD de deux entiers naturels est leur Plus Grand Commun Diviseur.
Exemple :
Recherchons les diviseurs de 42 et 150
Diviseurs de 42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21,42
Diviseurs de 150 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150
Les diviseurs communs à 42 et 150 sont : 1, 2, 3, 6
Le PGCD de 42 et 150 est donc 6.
Remarque :
Soit a et b deux nombres entiers naturels, si b divise a alors
PGCD (a ; b) = b.
PGCD (143;13) = 13 car 143 = 13 × 11
2
2) Méthodes de calcul du PGCD:
A) Méthode des soustractions successives :
Soient a et b deux nombres entiers naturels tel que a ≥ b ,
PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a – b)
Déterminons le PGCD de 204 et 153
204 > 153 donc PGCD (204 ; 153) = PGCD (153 ; 204 –153)
PGCD (204 ; 153) = PGCD (153 ; 51)
Recommençons le procédé
153 > 51 donc PGCD (153 ; 51) = PGCD (51 ; 153 –51)
PGCD (153 ; 51) = PGCD (51 ; 102)
Or PGCD (51 ; 102) = 51 car 51 est un diviseur de 102 (102 = 51 × 2 ).
Donc PGCD (204 ; 153) = 51.
Exemple :
Calculer le PGCD de 240 et de 112 par la méthode des soustractions
successives.
3
B) Méthode des divisions successives :
Soient a et b deux nombres entiers naturels tels que a ≥ b ,
PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r)
où r est le reste de la division euclidienne de a par b .
Déterminons le PGCD de 735 et 84
735 > 84 , effectuons donc la division euclidienne de 735 par 84
735
63
84
8
Donc 735 = 84 × 8 + 63
donc PGCD (735 ; 84) = PGCD (84 ; 63)
Recommençons le procédé
84
21
63
1
Donc 84 = 63 × 1 + 21
donc PGCD (84 ; 63) = PGCD (63 ; 21)
Or PGCD (63 ; 21) = 21 car 21 est un diviseur de 63
Donc PGCD (735 ; 84) = 21.
( 63 = 21 × 3 ).
Exemple :
Calculer le PGCD de 144 et de 756 par la méthode des divisions
successives.
C) Comparaison des deux méthodes :
Activité
4
III) Nombres premiers entre eux :
Définition:
Deux nombres entiers naturels sont premiers entre eux lorsque leur PGCD
est égal à 1.
Exemples:
a) Les nombres 212 et 63 sont-ils premiers entre eux ?
b) Les nombres 266 et 112 sont-ils premiers entre eux ?
IV) Fraction irréductible :
1) Définition:
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur
sont premiers entre eux.
Exemples:
Les fractions suivantes sont-elles irréductibles ? si non, les rendre
irréductibles.
a)
14
9
b)
35
15
2) Méthodes pour rendre une fraction irréductible:
a) Première méthode :
42
irréductible.
54
On recherche un diviseur commun de 42 et 54 : 2
42 21 × 2 21
=
=
54 27 × 2 27
On recherche un diviseur commun de 21 et 27 : 3
21 7 × 3 7
=
=
27 9 × 3 9
Rendons la fraction
Donc
42 7
= .
54 9
5
b) Deuxième méthode :
Rendons la fraction
270
irréductible.
126
On recherche le PGCD de 270 et 126. On obtient 18.
270 18 × 15 15
=
=
126 18 × 7 7
Exemples:
Rendre les fractions suivantes irréductibles.
a)
240
72
b)
108
207
c)
6
92
27