dy - methodes pratiques de calcul de primitives

DY - METHODES PRATIQUES DE CALCUL
DE PRIMITIVES
I - Introduction
On donne dans ce qui suit des méthodes de calcul des primitives d’une fonction f, dans le cas où elles
s’obtiennent à l’aide de fonctions élémentaires (fonctions rationnelles, trigonométriques, exponentielles,
et fonctions inverses des précédentes).
On rappelle que, si fest continue sur un intervalle I, elle possède une primitive Fdans cet intervalle,
c’est-à-dire une fonction Ftelle que F′=f. L’intégrale de fsur un intervalle [a, b ]inclus dans Iest
donnée par la formule
b
Z
a
f(t)dt =F(b)−F(a).
Inversement, si aappartient I, et si l’on pose
F(x) =
x
Z
a
f(t)dt ,
la fonction Fainsi définie et une primitive de fsur I.
Deux primitives F1et F2d’une même fonction fcontinue sur un intervalle Idiffèrent d’une constante.
Mais si fest discontinue en certains points, son domaine de définition va s’écrire comme une réunion
d’intervalles sur lesquels fest continue, et il apparaît alors autant de constantes que d’intervalles :
exemple : la fonction f:x→1
xadmet comme primitive sur R∗la fonction F:x→ln |x|. Les autres
primitives de fsur R∗seront de la forme
F(x) = ln(−x) + C1si x < 0
ln x+C2si x > 0
où C1et C2sont des constantes.
La notation Zf(x)dx
désigne une primitive quelconque de f.

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Dans les calculs effectués ci-dessous les constantes seront omises.
Remarques
a) Il peut y avoir plusieurs méthodes de calcul pour calculer les primitives d’une fonction donnée. Dans
certains cas, les résultats peuvent prendre des formes a priori très différentes. Elles sont égales à une
constante près.
b) Certaines méthodes de calcul introduisent des discontinuités : les primitives obtenues étant discon-
tinues sur l’intervalle I, alors que la fonction fy était continue. Il n’en existe pas moins une primitive
continue sur I.
exemple : le calcul d’une primitive de x7→ (2 + cos x)−1qui est continue sur R, utilise la fonction
x→tan(x/2) et introduit des discontinuités aux points (2k+ 1)π(kentier). La primitive trouvée sera
continue sur ] (2k−1)π, (2k+ 1)π[pour tout entier kmais pas sur R.
II - Méthodes générales
A - Changement de variable
Cette méthode est basée sur la formule de dérivation des fonctions composées :
(G◦u)′=G′◦u u′.
Donc Z(G′◦u)(x)u′(x)dx = (G◦u)(x).
Deux cas peuvent se produire :
a) la fonction fà intégrer, s’écrit sous la forme g◦h h′. Dans ce cas on effectue le changement de va-
riable t=h(x), on calcule une primitive Gde la fonction g, alors, la fonction G◦hest une primitive de f.
exemple : Zarctan x
1 + x2dx avec h(x) = arctan x
b) on veut faire un changement de variable du type x=k(t), pour ramener le calcul des primitives de
fà celui des primitives de f◦k k′.
Il faut alors faire attention au domaine de définition de k, et le choisir de telle sorte que ksoit bijective,
de manière à pouvoir écrire t=k−1(x), ce qui permettra de revenir en xà la fin du calcul. Si Gest

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une primitive de f◦k k′, on aura alors
F=G◦k−1.
exemple : Zp1−x2dx avec x= sin toù tappartient à [−π/2, π/2 ]
B - Intégration par parties
Cette méthode est basée sur la formule de dérivation d’un produit :
(u v)′=u′v+v′u .
Donc
Zv′(x)u(x)dx =u(x)v(x)−Zu′(x)v(x)dx .
Cette méthode peut être utilisée pour un calcul direct de Rv′(x)u(x)dx , en l’employant au besoin
plusieurs fois de suite.
exemple : ZP(x)exdx où Pest un polynôme .
Elle peut fournir une relation de récurrence permettant de calculer de proche en proche des intégrales
dépendant d’un paramètre.
exemple : Zcos2nx dx
Il se peut aussi qu’après plusieurs intégrations par parties on retombe sur l’intégrale de départ affectée
d’un autre coefficient, ce qui permet de la calculer.
exemple : Zexcos x dx
III - Primitives se ramenant à I=ReaxP(x),
où aest un nombre complexe, et Pun polynôme de degré n.
A - Cas général

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a) On applique n−1fois la formule d’intégration par parties, et l’on obtient un résultat de la forme
ZeaxP(x)dx =eaxQ(x),
où Qest aussi un polynôme de degré n.
b) On peut également écrire a priori
ZeaxP(x)dx =eax(anxn+an−1xn−1+···+a0),
dériver cette relation et identifier, ce qui donne un système permettant de calculer les coefficients ai.
B - Primitives de la forme
I=ZP(x)eax cos(bx)dx et J=RP(x)eax sin(bx)dx
où Pest un polynôme de degré n, et aet bsont deux nombres réels.
a) On a alors
I+iJ =ZP(x)e(a+ib)xdx ,
ce qui ramène au cas général. On obtient alors Iet Jen prenant les parties réelle et imaginaire de la
primitive trouvée. Le résultat obtenu est de la forme
I(ou J) = eax(Q(x) cos(bx) + R(x) sin(bx))
où Qet Rsont des polynômes de degré au plus n.
b) On peut également partir de la relation ci-dessus, dériver et identifier pour obtenir les polynômes
Pet Q.
c) Si a= 0, on peut intégrer Iet Javec n−1intégrations par parties.
d) Si Pest constant, on peut intégrer deux fois par parties, et l’on retrouve l’intégrale de départ, avec
un coefficient différent de 1, ce qui donne une équation du premier degré dont Iou Jest solution.
C - Primitives de la forme I=ZP(x)eax ch(bx)dx et J=ZP(x)eax sh(bx)dx
où Pest un polynôme de degré n, et aet bsont deux nombres réels.

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a) En exprimant ch(ax)et sh(ax)sous forme exponentielle, on se ramène au cas A.
b) Les résultats obtenus sont les mêmes que dans B en remplaçant sin par sh et cos par ch.
c) On se ramène encore à B, en mettant ch(ax)et sh(ax)sous forme exponentielle pour des intégrales
du type ZP(x)eax cos(bx) ch(cx)dx etc.
D - Primitives de la forme I=ZP(x)eaxS(sin x, cos x)dx
où aest réel, Pest un polynôme d’une variable, et Sun polynôme de deux variables.
L’expression S(sin x, cos x)se linéarise, et la primitive est une somme de primitives du cas B.
IV - Fractions rationnelles
A - Cas général
On décompose la fraction rationnelle en éléments simples sur R.
a) La partie polynomiale s’intègre directement.
b) Les termes de la forme 1
(x−a)n, où aest réel et nentier, s’intègrent en
Zdx
(x−a)n=
ln |x−a|si n= 1
1
(1 −n)(x−a)n−1si n > 1
c) Pour les éléments de deuxième espèce ax +b
(x2+px +q)n, on fait apparaître au numérateur la dérivée
de x2+px +q. On obtient
ax +b
(x2+px +q)n=a 2
2x+p
(x2+px +q)n+b−ap 21 (x2+px +q)n.