dy - methodes pratiques de calcul de primitives

DY - METHODES PRATIQUES DE CALCUL
DE PRIMITIVES
I - Introduction
On donne dans ce qui suit des méthodes de calcul des primitives d’une fonction f , dans le cas où elles
s’obtiennent à l’aide de fonctions élémentaires (fonctions rationnelles, trigonométriques, exponentielles,
et fonctions inverses des précédentes).
On rappelle que, si f est continue sur un intervalle I, elle possède une primitive F dans cet intervalle,
c’est-à-dire une fonction F telle que F ′ = f . L’intégrale de f sur un intervalle [ a, b ] inclus dans I est
donnée par la formule
Zb
f (t) dt = F (b) − F (a) .
a
Inversement, si a appartient I, et si l’on pose
F (x) =
Zx
f (t) dt ,
a
la fonction F ainsi définie et une primitive de f sur I.
Deux primitives F1 et F2 d’une même fonction f continue sur un intervalle I diffèrent d’une constante.
Mais si f est discontinue en certains points, son domaine de définition va s’écrire comme une réunion
d’intervalles sur lesquels f est continue, et il apparaît alors autant de constantes que d’intervalles :
exemple : la fonction f : x → x1 admet comme primitive sur R∗ la fonction F : x → ln |x|. Les autres
primitives de f sur R∗ seront de la forme
ln(−x) + C1 si x < 0
F (x) =
ln x + C2
si x > 0
où C1 et C2 sont des constantes.
La notation
désigne une primitive quelconque de f .
Z
f (x) dx
DY 2
Dans les calculs effectués ci-dessous les constantes seront omises.
Remarques
a) Il peut y avoir plusieurs méthodes de calcul pour calculer les primitives d’une fonction donnée. Dans
certains cas, les résultats peuvent prendre des formes a priori très différentes. Elles sont égales à une
constante près.
b) Certaines méthodes de calcul introduisent des discontinuités : les primitives obtenues étant discontinues sur l’intervalle I, alors que la fonction f y était continue. Il n’en existe pas moins une primitive
continue sur I.
exemple : le calcul d’une primitive de x 7→ (2 + cos x)−1 qui est continue sur R, utilise la fonction
x → tan(x/2) et introduit des discontinuités aux points (2k + 1)π (k entier). La primitive trouvée sera
continue sur ] (2k − 1)π, (2k + 1)π [ pour tout entier k mais pas sur R.
II - Méthodes générales
A - Changement de variable
Cette méthode est basée sur la formule de dérivation des fonctions composées :
(G ◦ u)′ = G′ ◦ u u′ .
Donc
Deux cas peuvent se produire :
Z
(G′ ◦ u)(x) u′ (x) dx = (G ◦ u)(x) .
a) la fonction f à intégrer, s’écrit sous la forme g ◦ h h′ . Dans ce cas on effectue le changement de variable t = h(x), on calcule une primitive G de la fonction g, alors, la fonction G◦h est une primitive de f .
Z
arctan x
dx avec h(x) = arctan x
exemple :
1 + x2
b) on veut faire un changement de variable du type x = k(t), pour ramener le calcul des primitives de
f à celui des primitives de f ◦ k k′ .
Il faut alors faire attention au domaine de définition de k, et le choisir de telle sorte que k soit bijective,
de manière à pouvoir écrire t = k−1 (x), ce qui permettra de revenir en x à la fin du calcul. Si G est
DY 3
une primitive de f ◦ k k′ , on aura alors
exemple :
Z p
F = G ◦ k−1 .
1 − x2 dx avec x = sin t où t appartient à [ −π/2, π/2 ]
B - Intégration par parties
Cette méthode est basée sur la formule de dérivation d’un produit :
(u v)′ = u′ v + v ′ u .
Donc
Z
′
v (x) u(x) dx = u(x) v(x) −
Z
Cette méthode peut être utilisée pour un calcul direct de
plusieurs fois de suite.
Z
exemple :
P (x)ex dx où P est un polynôme .
u′ (x) v(x) dx .
R
v ′ (x) u(x) dx , en l’employant au besoin
Elle peut fournir une relation de récurrence permettant de calculer de proche en proche des intégrales
dépendant d’un paramètre.
Z
exemple :
cos2n x dx
Il se peut aussi qu’après plusieurs intégrations par parties on retombe sur l’intégrale de départ affectée
d’un autre coefficient, ce qui permet de la calculer.
Z
exemple :
ex cos x dx
III - Primitives se ramenant à I =
R
eax P (x),
où a est un nombre complexe, et P un polynôme de degré n.
A - Cas général
DY 4
a) On applique n − 1 fois la formule d’intégration par parties, et l’on obtient un résultat de la forme
Z
eax P (x) dx = eax Q(x) ,
où Q est aussi un polynôme de degré n.
b) On peut également écrire a priori
Z
eax P (x) dx = eax (an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 ) ,
dériver cette relation et identifier, ce qui donne un système permettant de calculer les coefficients ai .
B - Primitives de la forme
I=
Z
P (x)eax cos(bx) dx et J =
R
P (x)eax sin(bx) dx
où P est un polynôme de degré n, et a et b sont deux nombres réels.
a) On a alors
I + iJ =
Z
P (x)e(a+ib)x dx ,
ce qui ramène au cas général. On obtient alors I et J en prenant les parties réelle et imaginaire de la
primitive trouvée. Le résultat obtenu est de la forme
I (ou J) = eax (Q(x) cos(bx) + R(x) sin(bx))
où Q et R sont des polynômes de degré au plus n.
b) On peut également partir de la relation ci-dessus, dériver et identifier pour obtenir les polynômes
P et Q.
c) Si a = 0, on peut intégrer I et J avec n − 1 intégrations par parties.
d) Si P est constant, on peut intégrer deux fois par parties, et l’on retrouve l’intégrale de départ, avec
un coefficient différent de 1, ce qui donne une équation du premier degré dont I ou J est solution.
C - Primitives de la forme I =
Z
ax
P (x)e ch(bx) dx et J =
où P est un polynôme de degré n, et a et b sont deux nombres réels.
Z
P (x)eax sh(bx) dx
DY 5
a) En exprimant ch(ax) et sh(ax) sous forme exponentielle, on se ramène au cas A.
b) Les résultats obtenus sont les mêmes que dans B en remplaçant sin par sh et cos par ch.
c) On se ramène encore à B, en mettant ch(ax) et sh(ax) sous forme exponentielle pour des intégrales
du type
Z
P (x)eax cos(bx) ch(cx) dx etc.
D - Primitives de la forme I =
Z
P (x)eax S(sin x, cos x) dx
où a est réel, P est un polynôme d’une variable, et S un polynôme de deux variables.
L’expression S(sin x, cos x) se linéarise, et la primitive est une somme de primitives du cas B.
IV - Fractions rationnelles
A - Cas général
On décompose la fraction rationnelle en éléments simples sur R.
a) La partie polynomiale s’intègre directement.
b) Les termes de la forme
1
, où a est réel et n entier, s’intègrent en
(x − a)n

Z

ln |x − a|
si n = 1
dx
1
=
si n > 1
(x − a)n 
(1 − n)(x − a)n−1
c) Pour les éléments de deuxième espèce
(x2
ax + b
, on fait apparaître au numérateur la dérivée
+ px + q)n
de x2 + px + q. On obtient
1
2x + p
a
ap ax + b
=
+
b
−
.
2
n
2
n
2
(x + px + q)
2 (x + px + q)
2 (x + px + q)n
DY 6
La première partie s’intègre immédiatement :



Z

2x + p
dx
=

(x2 + px + q)n


ln(x2 + px + q)
si n = 1
1
(1 − n)(x2 + px + q)n−1
si n > 1
Pour intégrer le terme de degré 1 de la deuxième partie, on utilisera la formule
Z
2x + p
dx
2
arctan √
,
=√
2
x + px + q
−∆
−∆
où ∆ désigne le discriminant p2 − 4q du trinôme.
Pour les termes de degrés plus élevés, on commence par mettre le trinôme sous forme canonique
p 2
p2
x2 + px + q = x +
+q−
,
2
4
et l’on effectue le changement de variable
2x + p
,
t= √
−∆
On se ramène à l’intégrale
In =
Z
(t2
dt
.
+ 1)n
On peut trouver une relation de récurrence entre In et In−1 , et obtenir In en fonction de I1 = arctan t.
Pour obtenir cette relation de récurrence, on part de la dérivée de
t
2
(t + 1)n−1
′
=
t
qui vaut
(t2 + 1)n−1
3 − 2n
2n − 2
+ 2
.
n−1
+ 1)
(t + 1)n
(t2
En intégrant, on obtient, si n > 1
In =
2n − 3
t
+
In−1 .
2
n−1
2(n − 1)(t + 1)
2n − 2
Autre méthode : le changement de variable u = arctan t ramène le calcul de In à celui de
(Voir V).
B - Cas particuliers
Z
cos2n−2 u du
DY 7
a) La fraction est impaire.
Elle se met sous la forme xR(x2 ), où R est une autre fraction rationnelle. On effectue tout d’abord le
changement de variable t = x2 , et l’on est ramené au calcul d’une primitive de R.
De manière plus générale, si la fraction s’écrit xn−1 R(xn ), on posera pour commencer, t = xn .
b) La fraction se met sous la forme
P ′ (x)
, où P est un polynôme.
P (x)n
Elle s’intègre immédiatement en
Z
c) La fraction est du type
(tp




P ′ (x)
dx =

P (x)n


ln |P (x)|
si n = 1
1
(1 − n)P (x)n−1
si n > 1
1
± 1)n
Pour calculer une primitive In , la même technique que dans A c) permet d’obtenir une relation de
t
récurrence entre In et In−1 en partant de la dérivée de p
(t ± 1)n−1
′
p + 1 − np
t
pn − p
= p
±
.
(tp ± 1)n−1
(t ± 1)n−1 (tp ± 1)n
Mais il faudra de toute façon calculer la primitive de
tp
1
.
±1
En fait la relation de récurrence obtenue entre In et In−1 est vraie pour tout n réel distinct de 1.
d) La fraction est du type
(x2
ax + b
, avec ∆ = p2 − 4q > 0
+ px + q)n
DY 8
On peut utiliser une méthode analogue à celle de l’intégration des éléments de deuxième espèce. Le
changement de variable
2x + p
,
t= √
∆
ramène au calcul de l’intégrale
Z
dt
In =
,
(t2 − 1)n
et l’on peut obtenir une relation entre In et In−1 , en partant de la dérivée de
t
comme dans c).
(t2 − 1)n−1
C - Primitives de la forme
I=
Z
R(x) ln S(x) dx et J =
Z
R(x) arctan S(x) dx
où R et S sont des fractions rationnelles.
Si R a une primitive qui est elle-même une fraction rationnelle, on intègre par parties.
V - Fonctions trigonométriques
A - Primitives de la forme
Z
P (sin x, cos x) dx
où P est un polynôme de deux variables.
a) On peut linéariser, c’est-à-dire exprimer P (sin x, cos x) sous forme de combinaison linéaire de fonctions cos(px) et sin(px) où p et q sont entiers.
b) P (sin x, cos x) est combinaison linéaire de monômes de la forme sinp x cosq x. Pour un tel monôme :
– si p est impair, on écrit p = 2p′ + 1 et
′
sinp x cosq x = cosq x(1 − cos2 x)p sin x .
′
Le changement de variable t = cos x ramène à intégrer le polynôme −tq (1 − t2 )p .
– si q est impair, on procède de la même façon en inversant les rôles de sinus et cosinus.
– si p et q sont pairs tous les deux, on peut exprimer le monôme en fonction de cos(2x) ce qui abaisse
le degré.
DY 9
– si p ou q est nul, on peut intégrer par parties et obtenir une relation de récurrence. Par exemple
Z
Z
p
Ip = sin x dx =
sinp−1 x sin x dx
Z
p−1
= − cos x sin
x + (p − 1) sinp−2 cos2 x dx
= − cos x sinp−1 x + (p − 1)(Ip−2 − Ip )
d’où l’on tire
pIp = − cos x sinp−1 x + (p − 1)Ip−2 .
B - Primitives de la forme
où p et q sont des entiers relatifs.
Z
sinp x cosq x dx
– si p est impair, poser encore t = cos x
– si q est impair, poser encore t = sin x
– si p et q sont pairs, poser t = tan x
on se ramène à intégrer une fraction rationnelle en t. On peut également essayer de réduire les degrés
en intégrant par parties.
Si p ou q est nul, la relation de récurrence obtenue dans A reste valable pour un entier quelconque.
Z
R
dt
2n
,
Remarque : le changement de variable t = tan x dans l’intégrale cos x dx, donne
(1 + t2 )n+1
ce qui permet d’obtenir l’une des primitives en fonction de l’autre quel que soit n dans Z.
C - Primitives de la forme
où P est un polynôme.
Z
P (tan x) dx
On effectue la division euclidienne de P (X) par X 2 + 1. On a alors
P (X) = (X 2 + 1)Q(X) + aX + b ,
où Q est un polynôme. On en tire
Z
Z
Z
Z
P (tan x) dx = Q(tan x)d(tan x) + a tan x dx + b dx ,
DY 10
ce qui s’intègre facilement.
D - Primitives de la forme
Z
R(sin x, cos x, tan x) dx
où R est une fraction rationnelle de 3 variables.
a) Règles d’essai :
L’élément différentiel : R(sin x, cos x, tan x) dx est invariant par le changement de x en
π − x : effectuer le changement de variable t = sin x
−x : effectuer le changement de variable t = cos x
π + x : effectuer le changement de variable t = tan x.
Si plusieurs changements sont possibles, on peut essayer les lignes trigonométriques de 2x.
b) Méthode générale (à n’utiliser qu’en dernier recours).
x
On effectue le changement de variable t = tan . On est ramené à calculer une primitive de la fraction
2
rationnelle
2
2t
2t 1 − t2
,
,
.
R
2
2
2
1+t 1+t 1−t
1 + t2
VI - Fonctions exponentielles et hyperboliques
A - Primitives de la forme
Z
R(eax ) dx
où R est une fraction rationnelle et a est un réel non nul.
En effectuant le changement de variable t = eax , on se ramène à calculer la primitive d’une fraction
rationnelle.
DY 11
B - Primitives de la forme
Z
R(sh x, ch x, th x) dx
où R est une fraction rationnelle de trois variables.
a) En remplaçant sh x, ch x et th x par leur expression sous forme exponentielle, on se ramène au cas A.
b) Si l’élément différentiel est invariant par un changement de x en −x, on peut effectuer le changement
de variable t = ch x.
c) On peut se ramener aux fonctions trigonométriques, et utiliser V grâce au gudermanien : si x est
réel, le nombre
t = arctan(sh x) ,
est un angle appelé gudermanien de x, qui vérifie les relations :
tan t = sh x
1
cos t =
ch x
;
sin t
;
t
tan
2
= th x
x
= th .
2
VII - Intégrales abéliennes
Ce sont des intégrales du type
Z
R(x, g(x)) dx, où R est une fraction rationnelle de deux variables, et
où g est une fonction algébrique de x, c’est-à-dire une fonction telle que y = g(x) vérifie une équation
du type
h(x, y) = 0 ,
où h est un polynôme de deux variables.
exemple : Si h(x, y) = y 2 − (ax2 + bx + c) la fonction g définie par
p
g(x) = ax2 + bx + c
est une fonction algébrique de x, et l’intégrale
Z
p
R(x, ax2 + bx + c) dx
est abélienne.
Si l’on sait paramétrer la courbe algébrique d’équation
h(x, y) = 0 ,
DY 12
c’est-à-dire, trouver deux fonctions ϕ et ψ, la première continûment dérivable et la seconde continue
sur un intervalle I, telles que, pour tout t de I
h(ϕ(t), ψ(t)) = 0 ,
le changement de variable x = ϕ(t) ramène le calcul de la primitive de R(x, g(x)) à celui de la primitive
de R(ϕ(t), ψ(t)) ϕ′ (t) dt .
Dans ce qui suit on étudie les intégrales abéliennes classiques.
A - Primitives de la forme
Z
R x,
ax + b
cx + d
p/q !
dx
où R est une fraction rationnelle de deux variables, a, b, c, d sont des nombres réels
tels que ad − bc ne soit pas nul, et p et q des nombres entiers non nuls.
On est dans la situation où
h(x, y) = y q (cx + d)p − (ax + b)p ,
et l’on pose
t=
On a alors
x=
et l’on se ramène au calcul de
Z
R
dtq − b
a − ctq
ax + b
cx + d
1/q
.
et y = g(x) = tp .
dtq − b p
,t
a − ctq
q(ad − bc)tq−1
dt ,
(a − ctq )2
qui est la primitive d’une fraction rationnelle.
Remarque : ce qui précède est vrai en particulier si c = 0 et d = 1. Par exemple pour calculer
Z
√
√
R(x, ax + b) dx, on posera t = ax + b.
B - Primitives de la forme
Z
√
2
R x, ax + bx + c dx
où R est une fraction rationnelle de deux variables et a, b, c sont des nombres réels
tels que a et le discriminant ∆ du trinôme ne soient pas nuls.
DY 13
On est dans la situation où h(x, y) = y 2 − (ax2 + bx + c).
a) Méthodes trigonométriques.
On commence par mettre le trinôme sous forme canonique
!
2
2
4ac
−
b
b
+
.
ax2 + bx + c = a
x+
2a
4a2
puis, si ∆ est le discriminant du trinôme, on effectue le changement de variable
2ax + b
t= p
.
|∆|
On se ramène, suivant les signes de a et de ∆, à une primitive d’un des types suivants :
Z
p
∆ > 0 et a < 0 : I1 = S(t, 1 − t2 ) dt
Z
p
∆ < 0 et a > 0 : I2 = S(t, t2 + 1) dt
Z
p
∆ > 0 et a > 0 : I3 = S(t, t2 − 1) dt
On effectue alors un des changements de variable suivants :
Pour I1 poser t = sin u
Pour I2 poser t = sh u
ou t = cos u
ou t = tan u
1
Pour I3 poser t = ± ch u ou t =
cos u
p
2
b) Paramétrage de la conique d’équation y = ax + bx + c par des fractions rationnelles.
On peut toujours obtenir un tel paramétrage en coupant la conique par une droite mobile d’équation
y = at(x − x0 ) + y0 ,
passant par l’un de ses points (x0 , y0 ).
Dans le cas où a est positif, la courbe est une hyperbole, et l’on peut prendre la droite d’équation
y = ax − t ,
qui est parallèle à une asymptote.
On obtient alors un point de coordonnées (x(t), y(t)), et si l’on effectue le changement de variable
x = x(t), on a alors
p
R x, ax2 + bx + c = R(x(t), y(t)) .
On est alors ramené à calculer la primitive d’une fraction rationnelle.
DY 14
Pour simplifier les calculs, on a intérêt à effectuer ces opérations après transformation de l’intégrale
sous une des formes I1 , I2 ou I3 précédentes.
Z
p
exemple :
R(t, t2 − 1) dt .
√
La courbe d’équation y = x2 − 1 est un morceau d’hyperbole. Si l’on coupe par la droite d’équation
y = x − t parallèle à l’asymptote, on obtient
(x − t)2 = x2 − 1 ,
d’où l’on déduit
x=
1 + t2
2t
et y =
1 − t2
,
2t
pour t décrivant ] −∞, −1 [ ∪ ] 0, 1 [ .
En effectuant le changement de variable x =
p
1 + t2
, on a alors
2t
x2 − 1 =
1 − t2
.
2t
Si l’on coupe l’hyperbole par la droite d’équation y = t(x− 1), qui passe par le point (1, 0) de la courbe,
on obtient cette fois
2t
t2 + 1
et y = 2
,
x= 2
t −1
t −1
pour t décrivant ] −1, 0 [ ∪ ] 1, +∞ [ .
c) Dans le cas où le trinôme ax2 + bx + c a des racines réelles, on peut se ramener au cas A. Par
exemple, si a est positif
r
p
√
x−u
a(x − u)(x − v) = a |x − v|
.
x−v
Si le terme constant du trinôme est nul, le changement de variable t = 1/x permet d’écrire
√
p
a + bt
2
,
ax + bx =
|t|
et l’on se ramène au cas A.
On peut aussi utiliser la méthode de la partie VIII finale.
d) Cas particuliers
i)
Z
√
ux + v
dx
ax2 + bx + c
DY 15
On utilise la même technique que pour les éléments de deuxième espèce dans les fractions rationnelles
(IV A).
On commence par faire apparaître la dérivée de la quantité sous la racine :
2ax + b
1
u
bu
ux + v
√
√
√
=
+ v−
.
2
2
2
2a ax + bx + c
2a
ax + bx + c
ax + bx + c
On a alors
Z
u
2ax + b
up 2
√
ax + bx + c ,
dx =
2a ax2 + bx + c
a
et en mettant le trinôme ax2 + bx + c sous forme canonique, un changement de variable ramène à la
recherche d’une primitive d’une des fonctions (t2 − 1)−1/2 , (t2 + 1)−1/2 ou (1 − t2 )−1/2 qui sont connues.
ii) Iα =
Z
(ax2 + bx + c)α dx
On peut obtenir une relation entre Iα et Iα−1 , en partant de la dérivée de (2ax + b)(ax2 + bx + c)α
(Voir IV B) :
((2ax + b)(ax2 + bx + c)α )′ = α(b2 − 4ac)(ax2 + bx + c)α−1 + 2a(1 + 2α))(ax2 + bx + c)α .
On peut utiliser cette méthode pour des nombres α entiers ou demi-entiers.
On a intérêt aussi dans ce cas à faire un changement de variable ramenant le trinôme sous une forme
plus simple comme dans i).
D - Primitives de la forme
Z
√
n
R x, axn + bxn−1 dx
où R est une fraction rationnelle de deux variables, a et b sont des réels non nuls, et n
un entier positif.
On a ici
h(x, y) = y n − (axn + bxn−1 ) .
En coupant la courbe d’équation
y=
p
n
axn + bxn−1 ,
par une droite passant par l’origine, d’équation y = tx, on obtient le paramétrage
x=
tn
b
−a
et y =
tn
bt
,
−a
DY 16
et l’on effectue le changement de variable x =
y=
p
n
tn
b
. On a alors
−a
axn + bxn−1 =
bt
,
tn − a
et l’on est ramené à la recherche d’une primitive de fraction rationnelle.
E - Primitives de la forme
Z
R(x) arcsin x dx,
Z
R(x) arccos x dx,
où R est une fraction rationnelle.
Z
R(x) argsh x dx et
Z
R(x) argch x dx
Si R possède une primitive qui est une fraction rationnelle, une intégration par parties ramène à une
intégrale du type VII B.
VIII - Primitives de la forme
Z
√
√
R( ax + b, cx + d) dx
où R est une fraction rationnelle de deux variables, et a, b, c, d sont des réels, tels
que ad − bc, a et c ne soient pas nuls.
On cherche un changement de variable qui mette ax + b et cx + d sous
de carré. On peut tout
Z forme
√ √
d’abord se ramener, en posant t = ax + b, à une intégrale du type
S( t, a′ t + b′ ) dt. Suivant les
signes de a′ et b′ , on effectuera un des changements de variable suivants :
b′ 2
b′ 1
ch
u
ou
t
=
−
a′
a′ cos2 u
′
b′
b
si a′ > 0 et b′ > 0 poser t = ′ sh2 u ou t = ′ tan2 u
a
a
′
b′
b
si a′ < 0 et b′ > 0 poser t = − ′ sin2 u ou t = − ′ cos2 u .
a
a
√
√
Il existe d’autres possibilités. Par exemple pour la primitive de R( x + 1, 1 − x), on peut prendre
x = cos u.
On se ramène dans tous les cas à une primitive du type V ou VI.
si a′ > 0 et b′ < 0 poser t = −
Remarque : pour les fractions rationnelles contenant plus de deux radicaux, on peut, parfois, par
multiplications successives de quantités conjuguées du dénominateur, se ramener à une somme de frac-
DY 17
tions contenant chacune moins de radicaux que la fraction initiale. Cela peut être utile, même dans le
cas où la fraction de départ ne contient que deux radicaux.
Formulaire sur les primitives
Si F est une primitive de f sur [ a, b ] , alors
Z b
h
ib
f (x) dx = F (x) = F (b) − F (a) .
a
a
Changement de variable :
Si f (x) =
R
g(u(x))u′ (x) et si G est une primitive de g, alors F = G ◦ u est une primitive de f .
Pour une intégrale :
u(b)
Z
g(h) dh .
g(u(x))u (x) dx =
Zb
′
a
u(a)
Intégration par partie :
Z
Pour une intégrale :
Zb
′
v(x)u (x) dx = u(x)v(x) −
′
v(x)u (x) dx =
a
h
Z
u(x)v ′ (x) dx .
ib Zb
u(x)v(x) − u(x)v ′ (x) dx
a
a
= u(b)v(b) − u(a)v(a) −
Primitives des fonctions usuelles :
Zb
a
u(x)v ′ (x) dx .
DY 18
à savoir sans hésitation
1
x
ln |x|
xa (a 6= −1)
xa+1
a+1
sin x
− cos x
cos x
sin x
ex
ex
sh x
ch x
ch x
sh x
1
1 + x2
arctan x
1
√
1 − x2
arcsin x (ou − arccos x)
1
√
1 + x2
ln(x +
√
ln |x +
p
1
√
x2 − 1
1 + x2 ) = argsh x
x2
− 1| =
argch x si x > 1
−argch(−x) si x < −1
qu’il est préférable de connaître
1
sin x
tan x
x ln tan 2
x π +
ln tan
2
4
th x
ln ch x
ln x
x ln x − x
1
cos x
− ln | cos x|
On peut également retenir que, si P (x) est un trinôme du second degré de discriminant ∆ < 0, une
primitive de 1/P (x) est donnée par
P ′ (x)
2
√
arctan √
.
−∆
−∆