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19/5/2015 Fiche Cours-3 - Arithmétique et fractions - Mathématiques 3ème - Afterclasse
http://www.afterclasse.fr/#!fiche/72/arithmetique-et-fractions/a-savoir-refaire 1/4
Arithmétique et fractions
DéterminerunPGCDaveclaméthodedessoustractions
successives
DéterminelePGCDde204et544.
A SAVOIR REFAIRE
UTILISER LA PROPRIÉTÉ
PGCD(a;b) = PGCD(b;a−b)
Onvaappliquerlarelationducoursquiditque:
sia>b,alorsPGCD(a;b) = PGCD(b;a−b).
Sionappliquecettepropriétéàl'énoncé,celanousdonne:
544 > 204et544 − 204 = 340;
doncPGCD(544; 204) = PGCD(204; 340).
Oncontinuedelamêmefaçonavec204et340,etainsidesuite:
340 > 204et340 − 204 = 136donc
PGCD(340; 204) = PGCD(204; 136);
204 > 136et204 − 136 = 68donc
PGCD(204; 136) = PGCD(136; 68);
136 > 68et136 − 68 = 68doncPGCD(136; 68) = PGCD(68; 68);
Ons'arrêteicicarnoussommesarrivésàuneexpressiondelaforme
PGCD(a;a).
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19/5/2015 Fiche Cours-3 - Arithmétique et fractions - Mathématiques 3ème - Afterclasse
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DéterminerunPGCDavecl'algorithmed'Euclide
DéterminelePGCDde204et544.
UTILISER LA PROPRIÉTÉ PGCD(a;a) = a
Lecoursnousditque:
PGCD(a;a) = a;
doncPGCD(68; 68) = 68.
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EN DÉDUIRE LE PGCD RECHERCHÉ
Lasuited'égalitéappliquéeenétape1nousditque:
PGCD(544; 204) = PGCD(68; 68)
Orl'étape2nousindiqueque:
PGCD(68; 68) = 68
Onendéduitque:
PGCD(544; 204) = 68
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19/5/2015 Fiche Cours-3 - Arithmétique et fractions - Mathématiques 3ème - Afterclasse
http://www.afterclasse.fr/#!fiche/72/arithmetique-et-fractions/a-savoir-refaire 3/4
UTILISER LA PROPRIÉTÉ PGCD(a;b) = PGCD(b;r)
Lecoursnousdonnelapropriétésuivante:
PGCD(a;b) = PGCD(b;r);
avecrlerestedeladivisioneuclidiennedeaparb.
Danscetexercice,ladivisioneuclidiennede544par204donne:
504 = 204 × 2 + 136;
doncPGCD(544; 204) = PGCD(204; 136).
Onrépètel'opérationdelamêmefaçonavec204et136etainsidesuite.
Ladivisioneuclidiennede204par136donne:
204 = 136 × 1 + 68;
doncPGCD(204; 136) = PGCD(136; 68).
Ladivisioneuclidiennede136par68donne:
136 = 68 × 2 + 0;
onobtientunresteégalà0,doncons'arrête.
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19/5/2015 Fiche Cours-3 - Arithmétique et fractions - Mathématiques 3ème - Afterclasse
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ON DÉTERMINE LE PGCD LORSQUE LE RESTE EST ÉGAL
À 0
Ladernièredivisioneuclidiennedonne136 = 68 × 2 + 0.
Leresteestdoncégalà0.
Donc68estundiviseurde136.
Donc,d'aprèslecours,68estlePGCDde136et68.
Orleségalitessuccessivesdel'étape1nousdisentque:
PGCD(544; 204) = PGCD(136; 68)
Onendéduitque:
PGCD(544; 204) = PGCD(136; 68) = 68.
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À QUOI ÇA SERT ?
Souvent,lecalculdePGCDn'estqu'unepartiedel'exercice,àl'étapesuivante
onpeuttedemanderde:
déterminersideuxnombressontpremiersentreeux(silePGCDquetu
viensdecalculervaut1);
simplifierunefractionsoussaformeirréductible(divisernumérateuret
dénominateurparlePGCDquetuviensdecalculer).
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