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19/5/2015
Fiche Cours-3 - Arithmétique et fractions - Mathématiques 3ème - Afterclasse
Arithmétique et fractions

A SAVOIR REFAIRE
Déterminer un PGCD avec la méthode des soustractions
successives
Détermine le PGCD de 204 et 544.
UTILISER LA PROPRIÉTÉ
PGCD(a; b) = PGCD(b; a − b)
On va appliquer la relation du cours qui dit que : si a
> b, alors PGCD(a; b) = PGCD(b; a − b).
Si on applique cette propriété à l'énoncé, cela nous donne :
544 > 204 et 544 − 204 = 340 ;
1
donc PGCD(544; 204)
= PGCD(204; 340).
On continue de la même façon avec 204 et 340, et ainsi de suite :
340 > 204 et 340 − 204 = 136 donc PGCD(340; 204) = PGCD(204; 136) ;
204 > 136 et 204 − 136 = 68 donc PGCD(204; 136) = PGCD(136; 68) ;
136 > 68 et 136 − 68 = 68 donc PGCD(136; 68) = PGCD(68; 68) ;
On s'arrête ici car nous sommes arrivés à une expression de la forme PGCD(a; a).
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UTILISER LA PROPRIÉTÉ PGCD(a; a)
2
=a
Le cours nous dit que : PGCD(a; a) = a ;
donc PGCD(68; 68)
= 68.
EN DÉDUIRE LE PGCD RECHERCHÉ
La suite d'égalité appliquée en étape 1 nous dit que : PGCD(544; 204) = PGCD(68; 68)
3
Or l'étape 2 nous indique que : PGCD(68; 68) = 68
On en déduit que : PGCD(544; 204) = 68
Déterminer un PGCD avec l'algorithme d'Euclide
Détermine le PGCD de 204 et 544.
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UTILISER LA PROPRIÉTÉ PGCD(a; b)
= PGCD(b; r)
Le cours nous donne la propriété suivante : PGCD(a; b) = PGCD(b; r) ;
avec r le reste de la division euclidienne de a par b.
Dans cet exercice, la division euclidienne de 544 par 204 donne :
504 = 204 × 2 + 136 ;
1
donc PGCD(544; 204)
= PGCD(204; 136).
On répète l'opération de la même façon avec 204 et 136 et ainsi de suite.
La division euclidienne de 204 par 136 donne :
204 = 136 × 1 + 68 ;
donc PGCD(204; 136)
= PGCD(136; 68).
La division euclidienne de 136 par 68 donne :
136 = 68 × 2 + 0 ;
on obtient un reste égal à 0, donc on s'arrête.
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ON DÉTERMINE LE PGCD LORSQUE LE RESTE EST ÉGAL
À0
La dernière division euclidienne donne 136
= 68 × 2 + 0.
Le reste est donc égal à 0.
2
Donc 68 est un diviseur de 136.
Donc, d'après le cours, 68 est le PGCD de 136 et 68.
Or les égalites successives de l'étape 1 nous disent que : PGCD(544; 204) = PGCD(136; 68)
On en déduit que : PGCD(544; 204) = PGCD(136; 68) = 68.
À QUOI ÇA SERT ?
Souvent, le calcul de PGCD n'est qu'une partie de l'exercice, à l'étape suivante
on peut te demander de :
3
déterminer si deux nombres sont premiers entre eux (si le PGCD que tu
viens de calculer vaut 1) ;
simplifier une fraction sous sa forme irréductible (diviser numérateur et
dénominateur par le PGCD que tu viens de calculer).
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