nombre derivé - Maths et tiques

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NOMBRE DERIVÉ
I. Limite en zéro d'une fonction
Exemples :
1) Soit la fonction f définie sur
−∞;0
⎤
⎦⎡ ⎣0;+∞
⎤
⎦⎡ ⎣
par
f(x)=x+1
( )
2−1
x
.
L'image de 0 par la fonction f n'existe pas. On s'intéresse cependant aux valeurs de
f(x)
lorsque x se rapproche de 0.
x
-0,5
-0,1
-0,01
-0,001
…
0,001
0,01
0,1
0,5
f(x)
1,5
1,9
1,99
1,999
?
2,001
2,01
2,1
2,5
On constate que
f(x)
se rapproche de 2 lorsque x se rapproche de 0.
On dit que la limite de f lorsque x tend vers 0 est égale à 2 et on note :
lim
x→0f(x)=2
.
2) Soit la fonction g définie sur
−∞;0
⎤
⎦⎡ ⎣0;+∞
⎤
⎦⎡ ⎣
par
g(x)=1
x2
.
A l'aide de la calculatrice, on constate que
g(x)
devient de plus en plus grand
lorsque x se rapproche de 0.
On dit que la limite de g lorsque x tend vers 0 est égale à
+∞
et on note :
lim
x→0g(x)= +∞
.
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II. Dérivabilité
1) Taux d’accroissement
Exemple :
Soit une fonction f définie sur un intervalle I.
Soit A et B deux points de la courbe représentative de f d'abscisses respectives 1 et
4.
Le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à :
f(4) −f(1)
4−1
=4,5 −3
4−1
=0,5
.
Ce quotient est appelé le taux d’accroissement de f entre 1 et 4.

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2) Application en économie :
On considère la fonction notée C où C(q) représente le coût total de production de q
unités.
On appelle coût marginal de la q+1e unité produite, noté Cm(q), le coût
supplémentaire induit par la production d’une unité supplémentaire.
C’est le taux d’accroissement de la fonction C entre q et q+1.
En effet,
C(q+1) −C(q)
q+1−q
=C(q+1) −C(q)=Cm(q)
.
Méthode : Calculer un taux d’accroissement
1) Soit la fonction carrée f définie sur ℝ par
f(x)=x2
.
a) Calculer le taux d'accroissement de f entre 2 et 3.
b) Soit h un réel non nul. Calculer le taux d'accroissement de f entre 2 et 2+h.
2) On considère le coût de production C de q objets définie par
C(q)=q2+q
.
a) Calculer le coût marginal du 15e objet.
b) Exprimer le coût marginal du qe objet.
1) a)
f(3) −f(2)
3−2
=32−22
1
=5
b)
f(2 +h)−f(2)
2+h−2=2+h
( )
2−22
h=4+4h+h2−4 h=4h+h2 h=4+h
2) a)
Cm(14) =C(15) −C(14) =152+15 −142+14
( )
=30
b)
Cm(q−1) =C(q)−C(q−1) =q2+q−q−1
( )
2+q−1
( )
=2q

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3) Fonction dérivable
Soit une fonction f définie sur un intervalle I.
Soit un réel a appartenant à I.
Soit A et M deux points de la courbe
représentative de f d'abscisses respectives
a et a+h, avec h ≠ 0.
Le taux d’accroissement de f entre a et a+h
est :
f(a+h)−f(a)
a+h−a
=f(a+h)−f(a)
h
.
Lorsque le point M se rapproche du point A,
alors h tend vers 0 et le taux
d’accroissement
f(a+h)−f(a)
h
tend vers
une limite L.
Ce taux limite s'appelle le nombre dérivé de
f en a.
Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a s’il existe un nombre réel L, tel
que :
lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h
=L
.
L est appelé le nombre dérivé de f en a et on le note f ‘(a).
Méthode : Déterminer le nombre dérivé d’une fonction
Vidéo https://youtu.be/UmT0Gov6yyE
Vidéo https://youtu.be/Iv5_mw1EYBE
Soit la fonction trinôme f définie sur
par
f(x)=x2−3
.
Déterminer le nombre dérivé de f en
x=1
.
On commence par calculer
f(1+h)−f(1)
h
pour h ≠ 0.
On a :
f(1) =−2
f(1+h)−f(1)
h
=(1+h)2−3−(−2)
h
=1+2h+h2−3+2
h
=2h+h2
h
=2+h
Donc :
lim
h→0
f(1+h)−f(1)
h=lim
h→02+h
( )
=2
On en déduit que f est dérivable en
x=1
. Le nombre dérivé de f en 1 vaut 2.
On note : f ‘(1) = 2.

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III. Tangente à une courbe
Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un nombre réel a
appartenant à I.
f ‘(a) est le nombre dérivé de f en a.
A est un point d'abscisse a appartenant à la courbe représentative
Cf
de f.
Définition : La tangente à la courbe
Cf
au point A d’abscisse a est la droite passant
par A de coefficient directeur le nombre dérivé f ‘(a).
Méthode : Déterminer le coefficient directeur d'une tangente à une courbe
Vidéo https://youtu.be/0jhxK55jONs
On considère la fonction trinôme f définie sur
par
f(x)=x2−3
dont la dérivabilité
en 1 a été étudiée plus haut.
Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au
point A de la courbe d'abscisse 1.
On a vu que le nombre dérivé de f en 1 vaut 2.
Ainsi la tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 1
est la droite passant par A et de coefficient directeur 2.

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Propriété : Une équation de la tangente à la courbe
Cf
en A est :
y = f ‘(a) (x – a) + f(a)
- Admis -
Méthode : Déterminer une équation d'une tangente à une courbe
Vidéo https://youtu.be/fKEGoo50Xmo
Vidéo https://youtu.be/7-z62dSkkTQ
On considère la fonction trinôme f définie sur
par
f(x)=x2−3
.
Déterminer une équation de tangente à la courbe représentative de f au point A de la
courbe d'abscisse 1.
On a vu plus haut que le coefficient directeur de la tangente est égal à 2.
Donc son équation est de la forme :
y=2x−1
( )
+f(1)
, soit :
y=2x−1
( )
+−2
( )
y=2x−4
Une équation de tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe
d'abscisse 1 est
y=2x−4
.
A l’aide de la calculatrice, il est possible de tracer la tangente à une courbe en un
point.