TD série 4 : anneaux, idéaux et corps [PDF: 64 ko]

Universit´ e Antilles–Guyane DEUG MIAS 2eann´ee
UFR Sciences Exactes et Naturelles Alg`ebre 3
D´ ept Scientifique Interfacultaire 1er semestre 2002–2003
T.D. s´erie 4 : anneaux, id´eaux et corps
Exercice 1. (a) Soit Aun anneau. Rappeller pourquoi l’ensemble Mn(A) des
matrices carr´ees d’ordre n`a coefficients dans Aest un anneau.
(b) Montrer que l’ensemble Tdes matrices triangulaires sup´erieures est un
sous-anneau de Mn(A). Est-ce que c’est un id´eal de Mn(A) ?
(c) Montrer que l’ensemble Ldes matrices dont la derni`ere ligne est nulle,
est un id´eal `a droite de Mn(A).
(d) Montrer que Ln’est pas un id´eal `a gauche de Mn(A).
Proposer une partie K⊂ Mn(A) qui en est un id´eal `a gauche.
(e) Donner un id´eal bilat`ere (non trivial) de M3(Z).
Exercice 2. On consid`ere l’ensemble des fonctions num´eriques sur R, not´e RR.
(a) Rappeler pourquoi (RR,+,·) est un anneau commutatif.
(b) Montrer que les fonctions tendant vers z´ero en ±∞ en constituent un
sous-anneau. Est-ce qu’ils sont un id´eal de (RR,+,·) ?
(c) Montrer que l’ensemble des fonctions nulles en dehors d’un intervalle
born´e, N={f| ∃M:f(x) = 0 si x>M}, est un id´eal de RR.
(d) D´ecrire les ´elements de RR/N, classes modulo N.
Exercice 3. Montrer que l’alg`ebre L(E) des endomorphismes d’un e.v. E, munie
de + et de ◦, forme un anneau (unitaire, non-commutatif si dim E > 1).
G´en´eraliser `a toute alg`ebre associative. (Rappel : une alg`ebre A(associative)
est un espace vectoriel muni d’une l.c.i. ∗:A×A→A(associative et) bilin´eaire.)
Exercice 4. (´elements nilpotents) Soit Aun anneau commutatif unitaire.
(a) Montrer que l’ensemble Ides ´el´ements nilpotents de Aest un id´eal.
(b) Montrer que pour tout x∈A, si 1 −x∈I, alors xest inversible,
et 1 −x−1est encore dans I.
Exercice 5. Soit w∈Ctel que w2=−2. On note Z[w] = {a+b w;a, b ∈Z},
Q[w] = {a+b w;a, b ∈Q}, et N:Q[w]→Q, a +w b 7→ a2+ 2 b2.
(a) Montrer que Z[w] et Q[w] sont sous-anneaux unitaires de C.
(b) V´erifier que pour tout x, y ∈Q[w], N(x y) = N(x)N(y).
(c) Montrer que xest inversible dans Z[w] ssi N(x) = 1.
(d) Montrer que pour tout x∈Q[w],∃y∈Z[w] : N(x−y)<1.
(e) Montrer que pour α, β ∈Z[w], β 6= 0, il existe q, r ∈Z[w] tels que
α=β q +r, N(r)< N(β). (Un tel anneau est appel´e euclidien.)
(f) En d´eduire que Z[w] est principal.

Exercice 6. (anneau de Boole) Soit Aun anneau Atel que ∀x∈A:x2=x.
(a) Montrer que ∀x∈A:x+x= 0.
(b) Montrer que Aest commutatif.
(c) Pour x, y ∈A, calculer xy(x+y). En d´eduire que An’est pas int`egre si
card A > 2.
(d) Montrer qu’il existe un seul tel anneau `a deux ´el´ements.
Exercice 7. (Polynˆomes) Soit Aun anneau unitaire. Les suites `a valeurs dans
Aet `a support fini sont not´es A(N)=a∈AN| ∃N > 0 : ∀n > N, an= 0 .
(a) Montrer que A(N)est un sous-groupe de (AN,+).
(b) Montrer que la multiplication d´efinie par a·b:= cavec ck=
k
P
i=0
aibk−i
fait de A(N)un mono¨ıde, dont l’´element neutre est 1= (1,0,0...).
(c) Montrer que cette multiplication est distributive par rapport `a l’addi-
tion, puis en d´eduire que (A(N),+,·) est un anneau unitaire.
(d) Montrer que ϕ:A→A(N), x 7→ (x, 0,0...), est un morphisme injectif
d’anneaux unitaires. Grace `a cette injection on consid`ere d´esormais A
comme sous-anneau de A(N).
(e) On pose X= (0,1,0,0...) (= (δi1)i∈N). Calculer les puissances
X0, X1, X2, X3, et montrer qu’on peut ´ecrire tout a∈A(N)sous la forme
a=Pi∈NaiXi, o`u la somme s’arr`ete `a i= deg a= sup {k|ak6= 0 }.
On retrouve ainsi l’anneau des polynˆomes qu’on note dor´enavant A[X].
(f) Pour deux polynˆomes a, b on d´efinit leur compos´ee par a◦b=a(b) =
Paibi. Montrer que (A[X],◦) est un mono¨ıde.
(g) Soit A0un sur-anneau de A. Montrer que pour tout x∈A0, l’application
ex:a7→ Paixiest un morphisme d’anneaux de A[X] dans A0.
(h) Montrer que les polynˆomes pairs (tels que P(X) = P(−X)) forment un
sous-anneau de A[X]. Qu’en est-il pour les polynˆomes impairs ?
(i) Soit Il’id´eal engendr´e par 1 + X2. Etudier l’anneau quotient R[X]/I.
Exercice 8. (corps des fractions) Soit Aun anneau int`egre (commutatif, uni-
taire). On pose A∗=A\ { 0}et E=A×A∗.
(a) Montrer que la relation binaire Sd´efinie par (a, b)S(c, d)⇐⇒ ad =cb,
est une relation d’´equivalence sur E.
(b) On munit Ede deux lois, (a, b)⊕(c, d) = (ad +cb, bd) et (a, b)⊗(c, d) =
(ac, bd). V´erifier que Sest compatible avec ⊕et ⊗.
Notons +,·les lois-quotient.
(c) Montrer que (E/ S,+,·) est un corps commutatif.
(d) Montrer que ϕ:A→E/ S, a 7→ ] (a, 1), est un morphisme d’anneaux
injectif ; en d´eduire qu’on peut voir Acomme sous-anneau de E/ S.
(e) Applications : (i) A=Z; (ii) A=K[X] (⇒E/ S=K(X)).
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non donn´ees en 2002 :
Exercice 9. On consid`ere l’anneau X=CNdes suites complexes.
(a) Montrer que M={x∈X| ∃p∈Z:xn
np−→
n→∞ 0}est sous-anneau de X.
(b) Montrer que N={x∈X| ∀q∈Z|xn
nq−→
n→∞ 0}est un id´eal de M.
(c) On appelle C=M/N anneau de nombres complexes g´en´eralis´es (de
Colombeau). Montrer que ce n’est pas un corps.
Exercice 10. Soit Aun anneau unitaire commutatif, et I6=Aun id´eal de A.
Montrer qu’il a a ´equivalence entre
(a) l’anneau quotient A/I est int`egre,
(b) A\Iest une partie stable par multiplication,
(c) L’id´eal Iest le noyau d’un morphisme de Adans un corps.
Exercice 11. Soit A={Ma,b,c ;a, b, c ∈C} ⊂ M3(C) avec Ma,b,c =
a b c
c a b
b c a
.
(a) Montrer que Aest un sous-anneau unitaire de M3(C).
(b) Montrer que I={Ma,b,c ;a+b+c= 0 }est un id´eal principal de A.
(c) Est-ce que Iest un id´eal maximal de A?
Exercice 12. Soit H= a b
−¯ b¯a;a, b ∈C, o`u ¯aest le complexe conjugu´e
de a. Montrer que (H, +,·) est un corps non commutatif.
Exercice 13. (Polynˆomes)
(autre approche...)
Soit Kun corps. Dans le K–espace vectoriel KNdes suites `a coefficients
dans K, on note Xk= (δik)i∈N= (0, ..., 0,1,0,0...) les ´el´ements de la base
canonique de K(N)(c-`a-d. X0= (1,0...), X1= (0,1,0...), X2= (0,0,1,0...),
etc.), et on ´ecrit aussi X0=1et X1=X.
(a) Montrer que la multiplication d´efinie (pour les ´el´ements de la base) par
Xk·Xn=Xk+n...
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