TD série 4 : anneaux, idéaux et corps [PDF: 64 ko]

Université Antilles–Guyane
UFR Sciences Exactes et Naturelles
Dépt Scientifique Interfacultaire
DEUG MIAS 2e année
Algèbre 3
er
1 semestre 2002–2003
T.D. série 4 : anneaux, idéaux et corps
Exercice 1. (a) Soit A un anneau. Rappeller pourquoi l’ensemble Mn (A) des
matrices carrées d’ordre n à coefficients dans A est un anneau.
(b) Montrer que l’ensemble T des matrices triangulaires supérieures est un
sous-anneau de Mn (A). Est-ce que c’est un idéal de Mn (A) ?
(c) Montrer que l’ensemble L des matrices dont la dernière ligne est nulle,
est un idéal à droite de Mn (A).
(d) Montrer que L n’est pas un idéal à gauche de Mn (A).
Proposer une partie K ⊂ Mn (A) qui en est un idéal à gauche.
(e) Donner un idéal bilatère (non trivial) de M3 (Z).
Exercice 2. On considère l’ensemble des fonctions numériques sur R, noté RR .
(a) Rappeler pourquoi (RR , +, ·) est un anneau commutatif.
(b) Montrer que les fonctions tendant vers zéro en ±∞ en constituent un
sous-anneau. Est-ce qu’ils sont un idéal de (RR , +, ·) ?
(c) Montrer que l’ensemble des fonctions nulles en dehors d’un intervalle
borné, N = { f | ∃M : f (x) = 0 si x > M }, est un idéal de RR .
(d) Décrire les élements de RR /N , classes modulo N .
Exercice 3. Montrer que l’algèbre L(E) des endomorphismes d’un e.v. E, munie
de + et de ◦, forme un anneau (unitaire, non-commutatif si dim E > 1).
Généraliser à toute algèbre associative. (Rappel : une algèbre A (associative)
est un espace vectoriel muni d’une l.c.i. ∗ : A × A → A (associative et) bilinéaire.)
Exercice 4. (élements nilpotents) Soit A un anneau commutatif unitaire.
(a) Montrer que l’ensemble I des éléments nilpotents de A est un idéal.
(b) Montrer que pour tout x ∈ A, si 1 − x ∈ I, alors x est inversible,
et 1 − x−1 est encore dans I.
Exercice 5. Soit w ∈ C tel que w2 = −2. On note Z[w] = { a + b w; a, b ∈ Z },
Q[w] = { a + b w; a, b ∈ Q }, et N : Q[w] → Q, a + w b 7→ a2 + 2 b2 .
(a) Montrer que Z[w] et Q[w] sont sous-anneaux unitaires de C.
(b) Vérifier que pour tout x, y ∈ Q[w], N (x y) = N (x) N (y).
(c) Montrer que x est inversible dans Z[w] ssi N (x) = 1.
(d) Montrer que pour tout x ∈ Q[w], ∃y ∈ Z[w] : N (x − y) < 1.
(e) Montrer que pour α, β ∈ Z[w], β 6= 0, il existe q, r ∈ Z[w] tels que
α = β q + r, N (r) < N (β). (Un tel anneau est appelé euclidien.)
(f) En déduire que Z[w] est principal.
Exercice 6. (anneau de Boole) Soit A un anneau A tel que ∀x ∈ A : x2 = x.
(a) Montrer que ∀x ∈ A : x + x = 0.
(b) Montrer que A est commutatif.
(c) Pour x, y ∈ A, calculer xy(x + y). En déduire que A n’est pas intègre si
card A > 2.
(d) Montrer qu’il existe un seul tel anneau à deux éléments.
Exercice 7. (Polynômes) Soit A un anneau
unitaire. Les suites à valeurs dans
A et à support fini sont notés A(N) = a ∈ AN | ∃N > 0 : ∀n > N, an = 0 .
(a) Montrer que A(N) est un sous-groupe de (AN , +).
k
P
(b) Montrer que la multiplication définie par a · b := c avec ck = ai bk−i
i=0
fait de A(N) un monoı̈de, dont l’élement neutre est 1 = (1, 0, 0...).
(c) Montrer que cette multiplication est distributive par rapport à l’addition, puis en déduire que (A(N) , +, ·) est un anneau unitaire.
(d) Montrer que ϕ : A → A(N) , x 7→ (x, 0, 0...), est un morphisme injectif
d’anneaux unitaires. Grace à cette injection on considère désormais A
comme sous-anneau de A(N) .
(e) On pose X = (0, 1, 0, 0...) (= (δi1 )i∈N ). Calculer les puissances
1
2
3
(N)
X 0, X
P , X , X i , et montrer qu’on peut écrire tout a ∈ A sous la forme
a = i∈N ai X , où la somme s’arrète à i = deg a = sup { k | ak 6= 0 }.
On retrouve ainsi l’anneau des polynômes qu’on note dorénavant A[X].
(f) Pour
polynômes a, b on définit leur composée par a ◦ b = a(b) =
P deux
i
ai b . Montrer que (A[X], ◦) est un monoı̈de.
(g) Soit A0 unPsur-anneau de A. Montrer que pour tout x ∈ A0 , l’application
ex : a 7→
ai xi est un morphisme d’anneaux de A[X] dans A0 .
(h) Montrer que les polynômes pairs (tels que P (X) = P (−X)) forment un
sous-anneau de A[X]. Qu’en est-il pour les polynômes impairs ?
(i) Soit I l’idéal engendré par 1 + X 2 . Etudier l’anneau quotient R[X]/I.
Exercice 8. (corps des fractions) Soit A un anneau intègre (commutatif, unitaire). On pose A∗ = A \ { 0 } et E = A × A∗ .
(a) Montrer que la relation binaire S définie par (a, b) S (c, d) ⇐⇒ ad = cb,
est une relation d’équivalence sur E.
(b) On munit E de deux lois, (a, b) ⊕ (c, d) = (ad + cb, bd) et (a, b) ⊗ (c, d) =
(ac, bd). Vérifier que S est compatible avec ⊕ et ⊗.
Notons +, · les lois-quotient.
(c) Montrer que (E/ S , +, ·) est un corps commutatif.
]
(d) Montrer que ϕ : A → E/ S , a 7→ (a,
1), est un morphisme d’anneaux
injectif ; en déduire qu’on peut voir A comme sous-anneau de E/ S .
(e) Applications : (i) A = Z ; (ii) A = K[X] (⇒ E/ S = K(X)).
2
non données en 2002 :
Exercice 9. On considère l’anneau X = CN des suites complexes.
(a) Montrer que M = { x ∈ X | ∃p ∈ Z :
(b) Montrer que N = { x ∈ X | ∀q ∈ Z |
xn
−→ 0 } est sous-anneau de
np n→∞
xn
−→ 0 } est un idéal de M .
nq n→∞
X.
(c) On appelle C = M/N anneau de nombres complexes généralisés (de
Colombeau). Montrer que ce n’est pas un corps.
Exercice 10. Soit A un anneau unitaire commutatif, et I 6= A un idéal de A.
Montrer qu’il a a équivalence entre
(a) l’anneau quotient A/I est intègre,
(b) A \ I est une partie stable par multiplication,
(c) L’idéal I est le noyau d’un morphisme de A dans un corps. 

a b c
Exercice 11. Soit A = { Ma,b,c ; a, b, c ∈ C } ⊂ M3 (C) avec Ma,b,c =  c a b .
b c a
(a) Montrer que A est un sous-anneau unitaire de M3 (C).
(b) Montrer que I = { Ma,b,c ; a + b + c = 0 } est un idéal principal de A.
(c) Est-ce que I est un idéal maximal de A ?
a b
Exercice 12. Soit H =
; a, b ∈ C , où ā est le complexe conjugué
−b̄ ā
de a. Montrer que (H, +, ·) est un corps non commutatif.
Exercice 13. (Polynômes)
(autre approche...)
Soit K un corps. Dans le K–espace vectoriel KN des suites à coefficients
dans K, on note X k = (δik )i∈N = (0, ..., 0, 1, 0, 0...) les éléments de la base
canonique de K(N) (c-à-d. X 0 = (1, 0...), X 1 = (0, 1, 0...), X 2 = (0, 0, 1, 0...),
etc.), et on écrit aussi X 0 = 1 et X 1 = X.
(a) Montrer que la multiplication définie (pour les éléments de la base) par
X k · X n = X k+n ...
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