matrices - schumaths
MATRICES
I. NOTION DE MATRICES
1. Vocabulaire et notations.
• Une matrice de dimension n
×
××
×
p est un tableau de nombres constitué de n lignes et p colonnes.
Les nombres constituant une matrice sont ses coefficients.
Une matrice est en général désignée par une lettre majuscule et délimitée par des parenthèses.
Exemples :
;
; C = ;
et
A est une matrice de dimension .
B est une matrice de dimension On dit aussi que B une matrice carrée d’ordre 3.
• Une matrice ligne est une matrice qui est constitueé d’une seule ligne.
Une matrice colonne est une matrice constituée d’une seule colonne.
Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.
Une matrice nulle est une matrice dont tous les coefficients sont nuls.
Exemples : Parmi les matrices données ci-dessus :
… est une matrice ligne.
… est une matrice colonne.
… est une matrice diagonale.
• Une matrice unité est une matrice diagonale dont tous les coefficients situés sur la diagonale sont égaux à 1.
Exemples :
;
M est la matrice unité d’ordre 2. Elle est notée
.
N est la matrice unité d’ordre 3. Elle est notée
.
•
••
• La transposée d’une matrice A, notée
est la matrice dont les lignes sont les colonnes de A.
Si A est de dimension , alors
est de dimension
Si
, alors
.
2. Egalité de matrices .
A et B étant deux matrices de même dimension, A = B signifie que chaque coefficient de A est
égal au coefficient de B correspondant.
• Une matrice égale à sa transposée est dite symétrique.
Exercices de 14 à 20 p 280 - 12 ; 13 p 280. De 22 à 27 p 280.
II. SOMME DE DEUX MATRICES ET PRODUIT PAR UN REEL.
Problème 1 p 264 et 265
1. Définition.
Soit A et B deux matrices de même dimension n × p de termes généraux
!"
et #
!"
.
(i désigne le numéro de la ligne et j le numéron de la colonne)
La somme des matrices A et B, notée A+B, est la matrice C de terme général $
!"
tel que $
!"
!"
%#
!"
.
En d’autres termes, le coefficient de la ligne n°i et de la colonne n°j de C est égal à la somme du
terme de la ligne n° i et de la colonne n°j de A et du terme correspondant de B.
Exemple.
Soit
et
&
%% % %
% % %& ;%
2. Propriétés.
Soit A , B et C des matrices de même dimension n × p, α et β deux réels
►%% : L’addition des matrices est commutative.
►%%'%%' : L’addition des matrices est associative
3. Définition.
Soit A de terme général
!"
et λ un réel.
Le produit de λ par la matrice A, noté λA, est la matrice C de terme général $
!"
tel que $
!"
(
!"
.
En d’autres termes, le coefficient de la ligne n°i et de la colonne n°j de C est égal au produit du
terme de la ligne n° i et de la colonne n°j de A par le réel λ.
Exemple.
Soit
. && & &
& & & ;&& &
& &
. )* est notée –A et +%)* est notée B – A
4. Propriétés.
►,-
αβ
.
►
α+β
α
%
β
► α%
α
%
β
Exercices de 30 à 37 p 281. 38 p 281.
III. PRODUIT DE MATRICES. Problème n°3 p 270.
1. Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne.
Exemples : # $ .
#.
$.
/
%##
/
%$$. ;
2. Produit par une matrice colonne.
a. Exemples : # $
. #. $.
×
0
1
23 0%#1%$2
/
0%#
/
1%$.24 ;
×
3. Produit d’une matrice n
×
××
×
p par une matrice p
×
××
×
m.
Colonne n°1
Ligne n° 2
5
6
6
6
6
6
6
7
8
6 6 6
6
6
6
9
8
6
6
:
6
9
Exemple :
& ;
<
=
>
>
>
>
>
>
?
>
>
>
>
>
>
@
A
B
C
C
C
C
D
C
C
C
C
E
F
B
C
C
C
C
C
C
C
D
C
C
C
C
C
C
C
E
FA
Le produit d’une matrice n
×
p par une matrice p
×
m est une matrice n
×
m.
Le coefficient de la ligne i et de la colonne j de ce produit est égal au produit de la ligne n°i de A
par la colonne n°j de B.
46 ;47 p 282. 53 et 55 p 282. 63 p 283.
Produit de la ligne n°2 par la colonne n°1
4. Propriétés : a. Associativité.
A étant une matrice n × p ; B une matrice p × q et C une matrice q × m, on l’égalité :
''.
b. Avec une matrice identité.
Pour toute matrice colonne A de dimension n × 1 ;
G
Pour toute matrice carrée B d’ordre n,
G
G
c. Remarque : Attention ! La multiplication des matrices n’est pas commutative.
d. Avec les autres opérations
Soit A et B des matrices de même dimension n × p et C une matrice de dimension p × m.
►%''%'
Soit A et B des matrices de même dimension n
×
p et C une matrice de dimension m × n, λ un réel
► '%'%'
► '(('('
IV. INVERSE D’UNE MATRICE.
1. Définition.
A est une matrice carrée d’ordre n.
On dit que A est inversible s’il existe une matrice B d’ordre n telle que
G
.
La matrice B est appelée inverse de A. On note +*
H)
.
2. Propriété. (Admise)
Si
G
, alors
G
Donc si B est l’inverse de A on dira aussi que A et B sont inverses (l’une de l’autre).
4. Remarque. Il existe des matrices carrées non inversibles.
Exemple : La matrice
n’est pas inversible
Utiliser la calculatrice.
Pour afficher l’inverse d’une matrice A inversible avec la calculatrice :
On saisit la matrice A, OPTN puis MAT(F2), le nom de la matrice, puis la touche I
HJ
77 p 284
5. Application aux systèmes.
Existe-t-il un trinôme du second degré 1KIL I
%#I%$dont la courbe C passe
par les points M; M et NM ?
La courbe C passe par les points M; M et NM se traduit par le sysstème :
OKP %#%$
%#%$
%#%$ dont l’écriture matricielle est K
5
#
$7
On pose
. A l’aide de la calculatrice, on détermine
HJ
Q& Q&
Q& Q&
On alors R5
#
$7
.
En multipliant chaque membre de par
HJ
, on obtient :
R
HJ
5
#
$7
HJ
.
Comme
HJ
.R
5
#
$7
HJ
R5
#
$7
HJ
;
R5
#
$7 Q& Q&
Q& Q&
R5
#
$7
<
Ainsi, la courbe C de la fonction trinôme du second degré 1KILI
%<Ipasse
par les points M; M et NM ?
1
/
5
100%
