Partie n°1 Introduction, outils, symboles, calculatrice et sites Partie N°1 1 Introduction 1. Le cours de math Dans une farde à anneaux, prévoir : o Page de garde (avec nom, prénom, classe, cours et nom du prof + illustrations) o Partie 1 : Boite à outils + symboles, calculatrice et une dizaine de feuilles A4 quadrillées en réserve o Partie 2 : Les livrets o Partie 3 : Résumés – Bilans – Révisions o Partie 4 : Evaluations certificatives – corrections o Partie 5 : Remédiation – travaux de groupe Prévoir une autre farde à la maison où seront rangés au fur et à mesure les syllabus complétés. 2. Matériel o La farde + le manuel CQFD o Attention pour le matériel !!! : Stylo (ou il faudra recommencer) mais un stylo avec plume (pas un feutre) avec effaceur et cartouches. o Crayon (ou porte-mine), gomme blanche, taille-crayon. o bic 4 couleurs. o Latte, équerre Aristo, compas. o Colle et ciseaux. o Crayons de couleurs. o Calculatrice scientifique (Casio fx-92 si possible) o 3 fluos (rose, vert et jaune). Partie N°1 2 Introduction 3. Consignes 1) Education o Des rangs impeccables avec 2 files devant le local où vous vous rendez et attention à la descente d’escalier. o PAS DE CHEWING-GUM !!! o Se lever quand quelqu’un rentre par politesse. 2) Pour le cours o Noter tout ce qui est écrit au tableau (noter toutes les étapes et tous les raisonnements divers même si cela vous semble évident) + suivre les couleurs utilisées au tableau. o Souligner à la latte o Etre soigneux … attention : le soin du cours et dans les IE sont cotés régulièrement. o Ecrire au STYLO plume. o Attention : devoir non fait ou copié = 0/10 dans mon carnet et dans votre JC. Il faut toujours essayer ! En cas d’oubli ou de problème, le signaler immédiatement au professeur. o Interrogations : Ecrire au stylo ; écriture propre et soignée Lorsque l’IE est rendue, la corriger et la faire signer (+ le noter dans le répertoire) Perte de points pour l’orthographe En cas d’absence, l’IE se fait dès le retour de l’élève (prévenir le professeur). o Avoir son matériel (vérification régulière et perte de points). o Noter la matière vue, les devoirs et leçons au journal de classe. o En cas de besoin, s’inscrire à la récupération. Elle se fait sur base volontaire. Lorsqu’un élève se rend enrécupération, il doit se présenter à l’heure, avec son cours en ordre et des questions précises. Ainsi, le professeur sait exactement ce qu’il doit expliquer et travailler avec l’élève en difficulté. Adresse mail pour poser des questions, prendre rendez-vous ou signaler un problème à ton professeur : [email protected] Site de math des profs de l’AEB : http://aebteamath.e-monsite.com Site de l’AEB : http://www.aebockstael.be Signature de l’élève Partie N°1 Signature des parents 3 Table des matières 1ère partie : introduction, table des matières, boîtes à outils, symboles, utilisation de la calculatrice et sites internet. 2ème partie : les livrets Chapitre 1 : Les nombres dans toute leur puissance Chapitre 2 : Angles et isométries des triangles Chapitre 3 : Polynômes Chapitre 4 : Inéquations Chapitre 5 : Racines carrées et Pythagore Chapitre 6 : Factorisons Chapitre 7 : Fonctions Chapitre 8 : Systèmes d’équations Chapitre 9 : Proportionnalité en géométrie Chapitre 10 : Trigonométrie dans le triangle rectangle Chapitre 11 : Appliquons la factorisation 3ème partie : les résumés, bilans et révisions 4ème partie : les évaluations certificatives et corrections 5ème partie : travaux de groupe et exercices de remédiation Partie N°1 4 Boîte à outils ALGEBRE Addition/Soustraction Multiplication OPERATIONS SUR LES ENTIERS Exemples : 5 + 4 = 9 –5 – 4 = -9 –5 + 4 = -1 Exemples : 5 . 4 = 20 5 – 4 = 1 (–5).( –4) = 20 5. (–4) = -20 (–5).4 = -20 (–1).( –2).( –3).( –10) = 30 Règle : (-3).2.(-5).(-1) = -30 Pour additionner 2 nombres de même signe, on recopie le signe et on additionne les valeurs absolues Pour additionner 2 nombres de signes contraires, on prend le signe du terme qui a la plus grande valeur absolue et on soustrait les valeurs absolues. Règle : Dans un produit de plusieurs facteurs, Si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif. Si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif. CALCUL LITTERAL Exemples : 3a+2a = 5a 7a² + 3a² = 10a² 4a-5b = / Exemples : 3a.2a =6a² 7a².3a²= 21a4 4a.5b =20ab Règle : Règle : Pour réduire une somme algébrique, il NE faut calculer Pour réduire un produit algébrique, il faut que les termes semblables (additionner les coefficients multiplier les coefficients entre eux et les et recopier la partie littérale). parties littérales entre elles (écrire les lettres dans l’ordre alphabétique). LES FRACTIONS Exemples : Exemples : Règle : Pour additionner ou soustraire 2 fractions, il suffit de : simplifier, si possible, chaque fraction les réduire au même dénominateur additionner les numérateurs en conservant le dénominateur simplifier, si possible, la réponse obtenue. Règle : Pour multiplier 2 fractions, il suffit de : simplifier des numérateurs avec des dénominateurs multiplier les numérateurs entre eux et de multiplier les dénominateurs entre eux. Pour diviser une fraction par une fraction (non nulle), il suffit de multiplier la première par l’inverse de la seconde. Partie N°1 5 Boîte à outils NOMBRES DECIMAUX Exemples : 2,31 + 6,36 = 8,97 Exemples : 0,6 + 2,389 = 2,989 Règle : Pour additionner deux nombres décimaux, il suffit d’additionner les chiffres de même rang en tenant compte des reports éventuels. 2,1. 0,2 = 0,42 0,3. 0,012 = 0,0036 Règle : Pour multiplier deux nombres décimaux, il suffit : d’effectuer le produit sans tenir compte de virgules de noter dans le résultat autant de décimales que le nombre de décimales de tous les facteurs. SUPPRESSION DE PARENTHESES Exemples : 4a+ ( –5b + 3c) = 4a – 5b + 3c Exemples : a. (b + c) = ab + bc 3x + (6y – 5z) = 3x + 6y – 5z (3a + 5b) .3c = 9ac + 15bc Règle : Règle : Dans une somme algébrique, on peut supprimer des parenthèses et le signe ″+″ qui les précède sans changer le signe des termes de la parenthèse. Pour multiplier une somme par un nombre, il Exemples : 4a – (–5b + 3c) = 4a + 5b – 3c 3x – (6y – 5z) = 3x – 6y + 5z Règle : Dans une somme algébrique, on peut supprimer des parenthèses et le signe ″–″ qui les précède à condition de changer le signe des termes de la parenthèse. Coordonnées d’un point Partie N°1 faut distribuer (c’est-à-dire multiplier chaque terme de la somme par ce nombre). Exemples :(-a + b).(c + d) = -ac - ad + bc + bd (3x + 5y).(4x - 7y) = 12x² - 21xy + 20xy – 35y²= 12x² - xy – 35y² Règle: Pour multiplier une somme par une somme, il faut effectuer une double distributivité (attention aux signes) et réduire les éventuels termes semblables. Expressions littérales 6 Boîte à outils Division euclidienne Propriétés des puissances : Si a et b sont des entiers non nuls et si m et n sont des naturels, alors a) Produit de puissances de même base : b) Puissance d’une puissance : c) Puissance d’un produit : d) Puissance d’un quotient : Cas particuliers : Identités remarquables : Carré d’une somme : (a + b)² = a² + 2ab + b² Carré d’une différence : (a – b)² = a² - 2ab + b² Produit de binômes conjugués : (a + b). (a – b) = a² - b² GEOMETRIE Partie N°1 Droites remarquables des triangles 7 Boîte à outils Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets de ce triangle. Son centre est le point d’intersection des 3 médiatrices. Le cercle inscrit à un triangle est le cercle qui est tangent aux trois côtés de ce triangle. Son centre est le point d’intersection des 3 bissectrices de ce triangle. Abaques de comparaison : Volume Capacité 1m³ dd dd Masse-eau pure à 4°C A connaître par cœur : 1 m³ = 1 000 litres 1dm³ 1kl 1hl 1T 1litre = 1dm³ Pour l’eau pure à 4°C : 1 dm³ 1 l 1 kg Partie N°1 1dal 1cm³ 1mm³ 1litre 1dl 1cl 1ml 1kg 1hg 1dag 1g 1dg 1cg 1mg 1 ml = 1 cm³ 1 cm³ 1 ml 1 8 Utilisation des symboles Arithmétique = < ≤ > ≥ | « est égal à » « n’est pas égal à » « est strictement inférieur à » « est inférieur ou égal à » « est strictement supérieur à » « est supérieur ou égal à » « est environ égal à » « divise » Algèbre -a l’opposé de a -1 a l’inverse de a |a| la valeur absolue de a 2n un nombre pair 2n+1 un nombre impair Ensembles numériques ℕ l’ensemble des nombres naturels ℤ l’ensemble des nombres entiers ℚ l’ensemble des nombres rationnels ℝ l’ensemble des nombres réels ℕ0 l’ensemble des nombres naturels non nuls ℤ- l’ensemble des nombres entiers négatifs ℤ+ l’ensemble des nombres entiers positifs ℝ0+ l’ensemble des nombres réels positifs non nuls div n l’ensemble des diviseurs de n nℕ l’ensemble des multiples de n ∞ l’infini Partie N°1 9 Utilisation des symboles Théorie des ensembles {a,b,c…} contient la liste des éléments d’un ensemble {x} un singleton {x,y} une paire ∅ l’ensemble vide A le nombre d’élément de l’ensemble A (le cardinal de A) « est un élément de » (appartenance) « n’est pas un élément de » « est un sous-ensemble de » (inclusion) « n’est pas un sous-ensemble de » A B l’intersection des ensembles A et B A B la réunion des ensembles A et B Logique : implication : équivalence « pour tout ». Il est utilise pour écrire que tous les éléments d’un ensemble possèdent une certaine propriété (quantificateur universel) « il existe au moins un ». Il est utilise pour indiquer qu’au moins un élément d’un ensemble possède une certaine propriété (quantificateur existentiel) Partie N°1 10 Utilisation des symboles Géométrie A le point A a la droite a AB la droite passant par les points A et B [AB] le segment dont les extrémités sont les points A et B [AB la demi-droite d’origine A et passant par B |AB| =||AB|| = AB = d(A,B) = la distance entre les points A et B d(A,b) la distance du point A à la droite b a // b les droites a et b sont parallèles a ∦b les droites a et b sont sécantes a b les droites a et b sont perpendiculaires a b = {X} l’intersection des droites a et b est le point X C(A,r) le cercle de centre A et de rayon r Sources : Mathematique de base de l’enseignement secondaire, R. De Paepe, Edition Acco, ISBN 90 334 0656 X http://ww.supinfo.com – Logique des propositions. Operations sur les ensembles http://fr.wikipedia.org/wiki/Blackboard_gras http://symbolcodes.tlt.psu.edu/bylanguage/mathchart.html Partie N°1 11 Utilisation de la calculatrice Les touches 10,178 s’écrit 10.178 sur l’écran Quand tu fais 7 : 2 EXE pour avoir la réponse, elle te donne 3.5 ou Pour passer d’une écriture à l’autre, tu utilises S D ou a 7 1 ou 3 . 2 2 b c 19² ? tu fais 19 x² (ou cfr ci-dessous) 75 ? tu fais 7^5 9 ? tu fais ou 7 xy 5 ou ou 7 x 5 9 càd shift x² 9 Valeur absolue ? shift % Je veux calculer la valeur numérique d’une expression algébrique. Ex : 3x4-7x³+5x²+12x-5 avec x = -2 ? Y = tu tapes le polynôme en utilisant x et puis CALC tu écris -2 et tu as ta réponse (qui est…………….) Cos 30° vaut ? tu te mets en mode Degré puis tu fais cos 30 Idem avec sinus sin et tangente tan Pour retrouver l’angle qui a comme cosinus 0,5 tu te mets en mode degré et shift cos 0.5 Idem avec sinus et tangente xy pour trouver la puissance d’un nombre x 10x pour rentrer une valeur en écriture scientifique ANS pour utiliser la dernière réponse donnée Partie N°1 12 Utilisation de la calculatrice Les modes 1 : COMP pour revenir à la « normale » 4 : TABLE pour calculer toutes les valeurs numériques d’un polynôme de -3 à 3 par exemple. Les SET UP = shift mode 1: Mth IO 2: Line IO 3 : Deg pour calculer avec cos, sin et tan!!!! Cfr en haut à droite de l’écran 6 : FIX Si tu veux spécifier le nombre de décimales à afficher. Attention, la calculatrice arrondit et ne tronque pas ! 7 : SCI Si tu veux spécifier le nombre de chiffres à afficher (chiffres significatifs) dans une écriture scientifique. 8 : NORM Si tu veux choisir l’écriture normale (scientifique norm 2 ou décimale norm 1) Pour tout initialiser : Partie N°1 13 Utilisation de la calculatrice Exercice 0 : effectue avec ta calculatrice a) 2³+1= b) 17 + 2 + 3= c) 7x8 – 4x5 = Remarque : la calculatrice…………………………………………………………………..………………… d) 10 :6= = = = Dans l’écriture décimale, la calculatrice …………………………… 2 2 e) 1 .2 5 f) -2²= g) (-2)²= h) 9 :0= i) 4 j) 280 350 k) 1 :7 en écriture scientifique avec 4 chiffres significatifs = l) (3x107 -2 666 000) : 123 456 avec deux décimales= m) 19 n) 27 en écriture scientifique= 19² 1 o) |- 2 .5²|= p) Reprendre la réponse du o) dans le calcul suivant « 3 : la réponse ³ » q) Calculer 3x avec x = - 4 5 2 r) Calculer 3x²- x avec x= -2 avec x= 2 s) Calculer |-4x²+5| avec x= 1 t) Calculer –x³+11x²- avec x= 2 1 x +4 avec x= de -4 à 4 3 …… ;…… ;…… ;…… ;…… ;…… ;…….. ;…….. ;……… Partie N°1 14 Sites internet Partie N°1 15 Partie N°1 Caractéristiques : zéro-signe-(dé)croissance Inéquation premier degré Intersection de deux fonctions du premier Thalès Figures semblables - cas de similitude des triangles Factorisation Propriétés métriques du triangle Nombres irrationnels Trigonométrie : sin, cos et tg – nombres trigonométriques de 30°, 45° et 60° Angle correspondant à une pente en % Graphique d’une fonction Variables dépendantes-indépendantes – parties de R Éléments caractéristiques d’une fonction : domaine- ensemble image-zéro-signe Relation – fonction UAA3 Approche graphique d’une fonction opérations – loi du reste un cercle Fractions rationnelles Polynôme à une variable : degré – coefficient – Racine (carrée-cubique) Système d’équations du premier degré Règle du produit nul-équation produit Médiane relative à l’hypoténuse – inscriptibilité dans Équations impossibles ou indéterminées Théorème de Pythagore et sa réciproque UAA 5 Outils algébriques degré Rôle des paramètres m et p Variable dépendante-indépendante UAA2 Triangle rectangle Théorème de Thalès et réciproque – configuration de Représentation graphique Figures isométriques – cas d’isométrie des triangles Fonction du premier degré-fonction constante Angles inscrits – au centre UAA4 Premier degré UAA1 Figures isométriques set figures semblables Unités d’Acquis d’Apprentissage 16