Classe de 3ème (Septembre 2014) 3 Année scolaire 2014

M. MORICEAU
3ème
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S€éqˆu€e“n€e 3 : R€a€‰i’n€eš €aˆrˆr€éeš
Classe de 3ème
(Septembre 2014) ✦ Année scolaire 2014 − 2015 ✦
Activité 1 : Racine carrée
֒→
Pˆr€e“mˆi€è‰r€e Œp€aˆrˆt‰i€e
1) La courbe suivante est la représentation graphique de la fonction carré (la fonction qui à tout nombre
x associe le nombre x2 )
Collège Juliette DODU
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3ème
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A l’aide d’une lecture graphique, compléter le tableau suivant (les nombres manquants de ce tableau
sont tous différents) :
x
x2
-3
0
-1
2
3
1
4
Autrement dit : ............2 = 4 et ............2 = 4
2) Si a et b sont deux nombres qui ont le même carré, que peut-on dire des nombres a et b ?
3) Existe-t-il un nombre dont le carré est négatif ?
4) • Considérons un carré d’aire 25 cm2 , quelle est la longueur du côté de ce carré ?
• Considérons un carré d’aire 100 cm2 , on note c longueur du côté de ce carré.
Quelle relation existe-t-il entre c et 100 ? Quelle est la valeur de c ?
֒→
D€e‰u›x‰i€è“m€e Œp€aˆrˆt‰i€e
1) Le nombre positif dont le carré est 100 est noté
√
100 et se lit « racine carrée de 100 »
• Compléter : d’après cette définition, on peut écrire :
√
( 100)2 = ..............
ou
.............. × ............... = ................
• D’après le 4) de la première partie, on peut dire que
√
100 = ...........
Prouver cette dernière égalité.
√
Trouver une relation entre 102 et 10.
√
Est-ce que 100 peut-être égal à -10 ? Justifier
2) • Compléter le tableau suivant (en utilisant votre calculatrice), les valeurs seront arrondies au
millième
0
1
2
3
4
5
7
16
√t
t
• En mathématiques, un entier n est un carré parfait s’il existe un entier k tel que n = k 2 ; en d’autres
termes, un carré parfait est le carré d’un entier.
Citez tous les carrés parfaits compris entre 0 et 189.
√
√
√
√
Calculer (sans calculatrice) 64 ; 121 ; 144 et 189
3) Donner la définition de la racine carrée d’un nombre positif a.
√
√
A quoi est égal ( a)2 et a2 ?
Collège Juliette DODU
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Nous retiendrons :
Calculer en justifiant(sans utiliser votre calculatrice)
p
0, 49 ;
p
0, 01 ;
Activité 2 : Tracer un segment de longueur
√
√
1 000 000
7 cm
On considère un triangle ABC rectangle et isocèle en A tel que AB = 1 cm (voir la figure ci-dessous
qui n’est pas en grandeur réelle).
Les triangles ABC, BCD et BDE sont respectivement rectangles en A, C puis D
E
b
1
B
b
D
b
1
C
A
b
b
1
1
1) Déterminer la longueur BC en détaillant votre rédaction.
√
2) De même prouver que BD = 3 cm
3) Quelle est la valeur de BE ? (sans le démontrer)
4) Refaire
√ la figure (appelée « escargot de Pythagore ») et continuer jusquà obtenir un segment de
longueur 7 cm.
√
On pourrait bien entendu poursuivre cette figure et obtenir des segments de longueur n où n désigne
un nombre entier positif.
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Activité 3 : Propriétés
Compléter les tableaux suivants :
√
√
a
b
a
b
9
16
64 36
25 144
a+b
√
a+b
√
a
b
r
a+
√
b
Pour la somme (on garde les mêmes valeurs de a et b)
a×b
Pour le produit
√
a×b
√
a×
√
b
a
b
√
a
√
b
Pour le quotient
• En regardant les trois derniers tableaux, que peut-on remarquer ?
Nous retiendrons :
⋆ Démontrons une des deux conjectures émises ci-dessus (une conjecture est un énoncé suggéré par
l’intuition √
ou par l’observation d’exemples mais qui n’est pas encore démontré) : montrons que pour a et
b positifs, a × b = ................................
√
√
2
( a × b)2 = (..............)
× (..............)2 = .........................
√
√
√
√
De √
plus, √a × b est le produit de deux nombres positifs donc a × b est un nombre ......................
Ainsi, a × b est un nombre positif dont le carré est ..........................
Or, par définition, la racine carrée de a × b est le nombre ................ dont le ............... est égal à a × b.
√
Donc, a × b = ........................
Nous pourrions démontrer de la même façon la deuxième conjecture émise.
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cours : racine carrée
I. Racine carrée d’un nombre positif
Définition :
Soit a un nombre positif.
On appelle racine carrée
du nombre a le seul nombre positif dont le carré est a.
√
On note ce nombre a.
√
√
(a peut être nul. En effet, si a = 0 alors a = 0 = 0).
√
Si a existe, cette écriture comporte trois informations :
Z






√
a ≥ 0
a ≥ 0




 √ 2
( a) = a
√
ou
a×
√
a=a
⋆ Exemple de racine carrée
Le carré de (−3) est (−3)2 c’est-à-dire 9 et le carré de 3 est 32 c’est-à-dire 9.
On a :
√
Remarque importante :
√
9=3
9 ne peut pas être égal à −3 car
√
9 est un nombre positif.
II. Propriétés
Propriété 1 :
Pour tout nombre positif a,
√
a2 = a
Exemples :
√
36 =
√
√
62 = 6
100 =
√
√
102 = 10
144 =
√
122 = 12
Propriété 2 :
Pour tous nombres positifs a et b,
√
a×b=
√
a×
√
b
Exemples :
√
72 =
√
36 × 2 =
√
36 ×
√
2=6×
√
√
2=6 2
(on veut le nombre entier le plus petit « sous » la racine carrée).
√
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48 =
√
16 × 3 =
√
16 ×
√
3=4×
√
√
3=4 3
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√
500 =
√
100 × 5 =
√
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100 ×
√
5 = 10 ×
√
√
5 = 10 5
Propriété 3 :
Pour tous nombres positifs a et b avec b 6= 0,
r
√
a
a
= √
b
b
Exemples :
• On peut rendre plus simple par exemple
r
25
121
D’après la propriété 3, on peut écrire :
r
Or
√
25 =
√
52 = 5 et
√
121 =
√
√
25
25
=√
121
121
112 = 11.
On a donc :
• On peut rendre plus simple par exemple
r
25
5
=
121
11
r
7
64
D’après la propriété 3, on peut écrire :
r
on ne peut
plus simple
√
√ pas rendre
En effet, 64 = 82 = 8.
√
√
7
7
=√
64
64
7 mais on peut simplifier
On a donc :
r
√
64
√
7
7
=
64
8
Attention
Pour tous nombres positifs a et b,
√
√
√
a + b 6= a + b
et
√
√
√
a − b 6= a − b
Exemple
: √
√
√
64 + 36 = 100 = 102 = 10
et
√
√
√
√
64 + 36 = 82 + 62 = 8 + 6 = 14
Donc,
Collège Juliette DODU
√
64 + 36 6=
√
64 +
√
36
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M. MORICEAU
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E•xe‰r€‰i€eš Œsˆuˆr‡ „la‡ Œs€éqˆu€e“n€e 3 (ˆr€a€‰i’n€e €aˆrˆr€ée), Œs€epˆte“m„bŠr€e 2014
V Exercice 1 :
Considérons un nombre positif r, montrer (en utilisant les propriétés vues lors des activités) que :
√
r2 = r
V Exercice 2 :
Dites si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en expliquant clairement votre raisonnement.
√
√
a) ( 7)3 = 72 × 7
b) le carré de 5 2 est égal à 50
V Exercice 3 : exercice 7 page 72 (livre)
V Exercice 4 : exercice 14 page 72 (livre)
V Exercice 5 : exercice 16 page 72 (livre)
V Exercice 6 : exercice 51 page 75 (livre)
V Exercice 7 :
1) Effectuer
les calculs suivants (si le résultat n’est pas un nombre entier, on donnera le résultat sous
√
la forme a b avec a et b entiers, b étant le plus petit possible).
√
√
√
√
A = 225 − 81
B = (6 2)2
C = 15 × 10
r
r
r
r
49
1
81
50
2) Simplifier
;
;
×
100
64
25
27
V Exercice 8 :
1. Réduire les expressions suivantes :
√
√
R = 11 3 + 5 3
2. a)
Ecrire H sous la forme a ×
√
b)
Ecrire U sous la forme b ×
√
H=
√
√
√
S = −8 11 + 17 11
√
√
300 − 4 27 + 6 3
3 où a est un nombre entier.
√
√
√
U = −6 72 + 4 2 − 11 8
2 où b est un nombre entier relatif.
V Exercice 9 : exercice 44 page 74
V Exercice 10 :
Sans utiliser les valeurs √
approchées, montrer que trois de ces nombres sont égaux :
√
√
√ √
√
√
500
A= 5+ 5
B=
C=2 5 5
D = 20
E = 5+5
5
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V Exercice 11 :
Considérons un triangle P LM rectangle
√ en P tel que : LP = 1 cm et LM = 5 cm.
Montrer (en justifiant) que P M = 2 6 cm.
V Exercice 12 : formule d’HERON
Héron (mathématicien grec vivant au 1er siècle après JC) a trouvé une formule permettant de calculer
l’aire d’un triangle quelconque en fonction des longueurs des trois côtés de ce triangle.
p
La formule de Héron est : A = p(p − a)(p − b)(p − c)
a+b+c
où A est l’aire du triangle et p est le demi-périmètre du triangle (p =
)
2
Calculer la valeur exacte de l’aire d’un triangle AB = 7 cm, AC = 8 cm et BC = 5 cm à l’aide de la
formule de Héron.
V Exercice 13 : en route pour le lycée ...
√
3
3 7
1) Démontrer que √ =
7
7
√
√
2
6
2) Démontrer que √ =
3
3
V Exercice 14 : Le Nombre d’Or
I)
Le nombre d’Or est un nombre spécial. Ce nombre fascine depuis très longtemps.On le voit partout,
dans la philosophie, la spiritualité, l’art, l’économie et... dans les mathématiques.
Ce nombre d’Or est souvent noté ϕ
la valeur exacte de ϕ est :
√
1+ 5
ϕ=
2
1) Donner une valeur approchée du nombre d’Or au millième près.
2) a) Calculer ϕ2 (ne pas utiliser de valeur approchée)
b) Démontrer que ϕ2 = ϕ + 1
1
c) Démontrer que = ϕ − 1
ϕ
d) Démontrer que ϕ3 = 2ϕ + 1
e) Démontrer que ϕ4 = 3ϕ + 2
II) Dans le cadre de l’histoire des arts, faire une recherche sur le nombre d’Or et l’Art.
Collège Juliette DODU
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