Classe de 3ème (Septembre 2014) 3 Année scolaire 2014

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Classe de 3ème (Septembre 2014) ✦Année scolaire 2014 −2015 ✦
Activité 1 : Racine carrée
֒→
1) La courbe suivante est la représentation graphique de la fonction carré (la fonction qui à tout nombre
xassocie le nombre x2)
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A l’aide d’une lecture graphique, compléter le tableau suivant (les nombres manquants de ce tableau
sont tous différents) :
x-3 0 -1 2 3
x21 4
Autrement dit : ............2= 4 et ............2= 4
2) Si aet bsont deux nombres qui ont le même carré, que peut-on dire des nombres aet b?
3) Existe-t-il un nombre dont le carré est négatif ?
4) • Considérons un carré d’aire 25 cm2, quelle est la longueur du côté de ce carré ?
• Considérons un carré d’aire 100 cm2, on note clongueur du côté de ce carré.
Quelle relation existe-t-il entre cet 100 ? Quelle est la valeur de c?
֒→
1) Le nombre positif dont le carré est 100 est noté √100 et se lit « racine carrée de 100 »
• Compléter : d’après cette définition, on peut écrire :
(√100)2=.............. ou .............. ×............... =................
• D’après le 4) de la première partie, on peut dire que √100 = ...........
Prouver cette dernière égalité.
Trouver une relation entre √102et 10.
Est-ce que √100 peut-être égal à -10 ? Justifier
2) • Compléter le tableau suivant (en utilisant votre calculatrice), les valeurs seront arrondies au
millième
t012345716
√t
• En mathématiques, un entier n est un carré parfait s’il existe un entier ktel que n=k2; en d’autres
termes, un carré parfait est le carré d’un entier.
Citez tous les carrés parfaits compris entre 0 et 189.
Calculer (sans calculatrice) √64 ;√121 ;√144 et √189
3) Donner la définition de la racine carrée d’un nombre positif a.
A quoi est égal (√a)2et √a2?
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Nous retiendrons :
Calculer en justifiant(sans utiliser votre calculatrice) p0,49 ;p0,01 ;√1 000 000
Activité 2 : Tracer un segment de longueur √7cm
On considère un triangle ABC rectangle et isocèle en A tel que AB = 1 cm (voir la figure ci-dessous
qui n’est pas en grandeur réelle).
Les triangles ABC, BCD et BDE sont respectivement rectangles en A, C puis D
1
1
1
1
A
B
C
D
E
1) Déterminer la longueur BC en détaillant votre rédaction.
2) De même prouver que BD =√3cm
3) Quelle est la valeur de BE ? (sans le démontrer)
4) Refaire la figure (appelée « escargot de Pythagore ») et continuer jusquà obtenir un segment de
longueur √7cm.
On pourrait bien entendu poursuivre cette figure et obtenir des segments de longueur √noù n désigne
un nombre entier positif.
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Activité 3 : Propriétés
Compléter les tableaux suivants :
a b √a√b
9 16
64 36
25 144
Pour la somme (on garde les mêmes valeurs de aet b)
a+b√a+b√a+√b
Pour le produit
a×b√a×b√a×√b
Pour le quotient
a
bra b
√a
√b
• En regardant les trois derniers tableaux, que peut-on remarquer ?
Nous retiendrons :
⋆Démontrons une des deux conjectures émises ci-dessus (une conjecture est un énoncé suggéré par
l’intuition ou par l’observation d’exemples mais qui n’est pas encore démontré) : montrons que pour aet
bpositifs, √a×b=................................
(√a×√b)2= (..............)2×(..............)2=.........................
De plus, √a×√best le produit de deux nombres positifs donc √a×√best un nombre ......................
Ainsi, √a×√best un nombre positif dont le carré est ..........................
Or, par définition, la racine carrée de a×best le nombre ................ dont le ............... est égal à a×b.
Donc, √a×b=........................
Nous pourrions démontrer de la même façon la deuxième conjecture émise.
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cours : racine carrée
I. Racine carrée d’un nombre positif
Définition :
Soit aun nombre positif.
On appelle racine carrée du nombre ale seul nombre positif dont le carré est a.
On note ce nombre √a.
(apeut être nul. En effet, si a= 0 alors √a=√0 = 0).
ZSi √aexiste, cette écriture comporte trois informations :
a≥0
√a≥0
(√a)2=aou √a×√a=a
⋆Exemple de racine carrée
Le carré de (−3) est (−3)2c’est-à-dire 9et le carré de 3est 32c’est-à-dire 9.
On a : √9 = 3
Remarque importante :√9ne peut pas être égal à −3car √9est un nombre positif.
II. Propriétés
Propriété 1:
Pour tout nombre positif a,√a2=a
Exemples :
√36 = √62= 6 √100 = √102= 10 √144 = √122= 12
Propriété 2:
Pour tous nombres positifs aet b,√a×b=√a×√b
Exemples :
√72 = √36 ×2 = √36 ×√2 = 6 ×√2 = 6√2
(on veut le nombre entier le plus petit « sous » la racine carrée).
√48 = √16 ×3 = √16 ×√3 = 4 ×√3 = 4√3
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