Nombres premiers C. de la Losa 11 avril 2013

Nombres premiers
C. de la Losa
11 avril 2013
Table des matières
I Nombres premiers 1
I.1 Définition ....................................... 2
I.2 Propriétés ...................................... 3
I.3 Décomposition en facteurs premiers ....................... 4
II Raréfaction des nombres premiers 6
III Test de primalité 6
III.1 Le petit théorème de Fermat ............................ 7
III.2 Les nombres de Carmichaël ............................ 7
III.3 Les nombres de Mersenne ............................. 9
III.4 Le test de Lucas-Lehmer .............................. 10
IV Solution des exercices de la partie III 11
IV.1 Le petit théorème de Fermat ............................ 11
IV.2 Les nombres de Carmichaël ............................ 12
IV.3 Les nombres de Mersenne ............................. 14
IV.4 Le test de Lucas-Lehmer .............................. 14
V Pour aller plus loin 14
V.1 Accélération du calcul de anmodulo n...................... 14
V.2 Quelques propriétés des nombres de Carmichael ................ 14
Index 14
I Nombres premiers
1

I.1 Définition
un nombre n∈IN, n > 1, dont les seuls diviseurs sont 1 et nest dit premier.
Sinon il est dit composé.
Par convention, on considère que 0 et 1 ne sont ni composés ni premiers. On note P
l’ensemble des nombres premiers.
Définition 1.
Exemples : 2,3,5,7∈P, 10 <P.
467 ∈P(c’est le 91e), 22091 ∈P. Le plus grand nombre premier connu date de mai 2004.
La définition d’un nombre premier est simple. On peut s’attendre à être capable de recon-
naître facilement si un nombre est premier ou non. Il n’en est rien si le nombre est très
grand (quelques centaines de chiffres). La méthode la plus simple consiste à essayer tous les
diviseurs entre 1 et n. Mais elle devient très rapidement fastidieuse et longue. Néanmoins
on peut améliorer cet algorithme (pour d’autres procédés de test voir par exemple le cours
d’algèbre de Michel Demazure aux éditions Cassini).
Au lieu de tester 2,3,4,...,n, on peut se contenter de 2 et des nombres impairs car si q|n
avec qpair alors 2 |n(puisque 2 |qet q|n⇒2|n). Comme 2 aura été testé il est inutile
d’essayer les autres diviseurs. On peut en fait garder les nombres premiers inférieurs à n.
Mais il faut les connaître. Par exemple, pour n= 100, on examine les divisions de npar
2,3,5,7,9,11,13,...,97,99.
Un autre perfectionnement possible est d’utiliser la remarque suivante : si n=ab avec a≤b
alors a≤√n. En effet, de a≤b, on forme a2≤ab (car b > 0). Donc a2≤nsoit alors a≤√n.
Il suffit ainsi d’essayer 2,3,5,7,9,...,N comme diviseurs pour n, où Nest l’entier le plus
proche de √n.
Par exemple, pour n= 15, on teste uniquement 2 et 3 (car 42>15). Pour n= 100, on cherche
un diviseur parmi 2,3,5,7,9. Ceci se programme aisément sur les calculatrices à l’aide des
instructions de boucle :
Pour les CASIO :
”N”→N
FOR 7 →Dto √Nstep 2
If Frac(N/D)=0 : THEN D STOP
IFEND
NEXT
Pour les TI
:Prompt N
:For(D,7,√N,2)
:If fPart(N/D)=0
:Then
:Disp D
:Stop
:End :End
Quelques principes : une calculatrice peut effectuer des calculs, des boucles (c’est à dire
des actions répétitives), afficher ou demander des nombres. Un programme est une suite de
telles instructions. Ces dernières s’écrivent dans un programme à l’aide des menus obtenus
en appuyant sur MATH ou Test ou PRGM pour les TI, et, OPTN ou PRGM pour les
Casio.
Exercice 1 : A partir de ce qui précéde, écrire un algorithme testant si un entier nest premier
ou non. Puis traduire cet algorithme en un programme Premier dans le langage Python.
2

1 111 111 111 111 111 111 est-il premier ?
Exercice 2 : Ecrire une fonction ListePremier(n) en Python renvoyant la liste des nombres
premiers entre 1 et n.
I.2 Propriétés
tout n∈IN \{0;1}est divisible par un nombre premier.
Proposition 2.
Preuve : on fait une démonstration par récurrence sur n. Pour, n≥2, notons P(n) la propriété
« tout entier inférieur à net supérieur à 2 est divisible par un nombre premier. »
P(2) est vraie car 2 |2 et 2 est premier.
Montrons P(n)⇒P(n+ 1). On suppose que tout entier mest divisible par un nombre
premier où 2 ≤m≤n.
Soit m0un entier entre 2 et n+ 1. Si 2 ≤m0≤nalors on applique l’hypothèse de récurrence
et m0est divisible par un nombre premier.
Il reste m0=n+1. Si n+1 est premier c’est terminé : n+1 premier divise n+1. Sinon, n+1 est
composé : n+ 1 = r×savec r,s ,1 et 2 ≤r,s ≤n. Donc, d’après l’hypothèse de récurrence, r
est divisible par un nombre premier. Par conséquent, n+1 est divisible par ce même nombre
premier.
D’après le principe de récurrence P(n) est vraie pour tout entier n.
Autre preuve :
Si nest premier alors il n’y a rien à faire.
Supposons donc que nest composé : n=km où k,m ∈IN \{0;1}.
Soit D(n) = {d∈IN \d,1,d ,n,d |n}= ensemble des diviseurs stricts de n.
Alors D(n)⊂IN et D(n),∅car k,m ∈D(n). Ainsi il existe un plus petit élément dans D(n).
Notons le p.
pest premier car sinon il admettrait un diviseur q > 1 qui serait aussi un diviseur de navec
q<p. Et pne serait plus le plus petit diviseur de n.
Pest infini.
Théorème 3.
Remarque : C’est la proposition XX du livre IX des éléments d’Euclide.
Preuve : On effectue à nouveau une preuve par l’absurde : on suppose que Pest fini (Pa
par exemple néléments) . Notons p1,p2,...,pnla liste des nombres premiers. Il faut trouver
une contradiction. Formons le nombre
N=p1×p2×···×pn+ 1.
3

Alors, d’après la proposition 2,Nest divisible par l’un des pi:N=qpi,pi>1. On a donc
qpi−p1×p2×···×pn= 1. Soit
pi(q−p1×p2×···×pi−1×pi+1 ×···×pn)=1.
Donc pi|1. C’est impossible car les seuls diviseurs de 1 sont ±1 et pi>1.
Pest donc infini. 
Autre preuve : (due à P. Erdös) Soit Nun entier naturel fixé pour l’instant.
Tout entier n≤Ns’écrit (pourquoi ?) sous la forme n=pα1
1pα2 2pα3 3...pαr
rm2avec les αi∈ {0;1}.
prest le r-ième nombre premier. On va montrer que r→+∞. Ainsi les nombres premiers
seront en nombre infini.
Pour cela nous dénombrerons de deux manières les entiers entre 1 et N.
Bien entendu, il y a Nentiers entre 1 et N.
Utilisons ensuite l’écriture de n: on a 2rchoix pour les αi(faire un arbre). Mais m=
rn
pα1
1...pαr
r≤√n≤√N. On a donc, au plus, √Nchoix pour m.
Par suite, on a au plus 2r√Nchoix pour les n. D’où :
N≤2r√N
√N≤2r
ln√N
ln2 ≤r
Quand N→+∞alors ln√N
ln2 →+∞. Donc par le théorème des gendarmes r→+∞.Ilya
bien une infinité de nombres premiers. 
I.3 Décomposition en facteurs premiers
La proposition 2nous dit que tout entier naturel nest divisible par un nombre premier p:
n=pm. Mais on peut recommencer avec m:m=p0m0. Donc n=pp0m0. Sachant que m0< m
le processus se terminera. D’où
tout entier n∈IN \{0;1}s’écrit de manière unique (à l’ordre près) sous la forme d’un
produit de nombres premiers.
Plus précisément,
n=pα1
1×pα2 2×pα3 3×···×pαm
m
où pour tout i= 1,...,met j= 1,...,m,pi∈P,αi∈IN∗,pi,pjpour i,j,mest le nombre
de nombres premiers distincts « dans » n.
C’est la décomposition en facteurs premiers.
Théorème 4.
Preuve : L’unicité étant admise, montrons l’existence de cette décomposition par récurrence
sur n. Notons P(n) l’hypothèse de récurrence suivante : « tout entier mtel que 2 ≤m≤n
4

s’écrit comme un produit de nombres premiers ».
Pour n= 2, c’est vrai : 2 = 21.
Montrons que P(n) est héréditaire c’est à dire que n+ 1 est un produit de nombres pre-
miers. D’après la proposition 2,n+ 1 est divisible par un nombre premier p:n+ 1 = p×q
avec 1 < p ≤n+ 1.
Si p=n+ 1 (donc q= 1) alors n+ 1 ∈Pet P(n+ 1) est vraie.
Si 1 < p ≤nalors 2 ≤q≤n. Donc, d’après l’hypothèse de récurrence P(n), qest un produit
de nombres premiers. Par conséquent, n+ 1 est le produit de ppar un produit de nombres
premiers. Ce qu’il fallait démontrer. 
Autre preuve (sans récurrence) : On note El’ensemble des entiers ≥2 qui ne peuvent pas
s’écrire comme preduit de facteurs premiers. Montrons par l’absurde que E=∅: cela mon-
trera l’existence d’une décomposition pour tout entier.
Supposons donc E,∅. Comme E⊂IN alors il possède un plus petit élément. Notons le m.
m∈En’est pas premier sinon il serait produit de facteurs premiers (d’un seul en fait : lui-
même) et ne serait pas dans E. Mais alors, d’après la proposition 2,m=pa avec p,a > 1 (m
est divisible par un nombre premier p). Donc p,a <Ecar p<met a<m.pet as’écrivent
alors comme produit de facteurs premiers donc maussi. C’est impossible. Eest donc vide.
L’unicité est admise. 
Exemples : 28 = 22×7, 220 = 22×5×11.
1 111 111 = 239 ×4649.
Remarque : si 1 est un nombre premier alors la décomposition n’est plus unique puisque
l’on peut « mettre » 1 autant de fois que désiré dans la décomposition.
Cette décomposition se programme aisément sur la calculatrice :
•Données : A
•Résultats : une liste de nombres premiers constituant A
•Description : Calcule les facteurs premiers présents dans A et les stocke dans une liste.
•Programme : "DEC"
Pour les CASIO :
ClrList
Seq(0,K,1,100,1)→List1
"NB" ?→A
2→D :1→I :1→P
While A>1
If Frac(A÷D)=0 :Then D→
List1[I] :I+1 →I :A÷D→A
ELSE D+P→D :2→P
IfEnd
If D2>A : Then A→D
IfEnd
WhileEnd
List1
Pour les TI
:ClrList L1
:Prompt A
:2→D :1→I :1→P
While A>1
:If fPart(A/D)= 0
:Then
:D→L1(I) :I+1 →I
:A/D→A
:Else
:D+P→D :2→P
:If D2>A
:A→D
:End :End
:Disp L1
5