Modèle mathématique. - Cours et exercices de mathématiques

O
I
J
I'
J'
A
B
1°S Angles, trigonométrie et repérage Exercices (niveau 1)
Angles orientés.
Exercice 1.
Sur un cercle trigonométrique C , on considère les points A et B tels que :
8
π7
OA,OI
et
5
π3
OB,OI
.
Déterminer la mesure principale des angles suivants :
OJ,OI
;
OB,OJ
;
OA,OB
On pourra utiliser la relation de Chasles.
Exercice 2.
Dans la figure suivante, ABC est un triangle équilatéral. CBD, ACE et AFB sont des triangles rectangles et
isocèles respectivement en D, E et F. Déterminer la mesure principale des angles suivants.
)AE,AC(
)BF,BD(
)AC,BA(
)CA,DC(
)CB,EA(
.
Exercice 3.
Soit et . Déterminer la mesure principale de :
1. 2. 3. 4. .
A
B
C
E
D
F

Trigonométrie.
Exercice 4. Démontrer que la représentation graphique de la fonction f définie, sur R, par :
f (x) = cos (2 x) + sin x – 1,
est située entre les droites d’équation y = – 3 et y = 1.
Exercice 5.
1)
θ
est un angle (situé dans ] –
π
,
π
]) dont on sait que cos
θ
=
2
3
et sin
θ
=
2
1
.
Que vaut
θ
(en radians) ?
2)
θ
est un angle situé dans
π;
2
π
tel que sin
θ
=
5
4
. Calculer cos
θ
et tan
θ
.
3)
θ
est un angle situé dans ] –
π
; 0 ] tel que cos
θ
=
3
2
. Calculer sin
θ
et tan
θ
.
4)
θ
est un angle situé dans ] –
π
; 0 ] tel que tan
θ
= 2. Calculer cos
θ
et sin
θ
.
Exercice 6. Résoudre dans R les équations suivantes :
4
3
sin 2x
2
1
cos 2x
sin 2 x = cos x.
Exercice 7.
Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante :
12
8
π
tan
.
On rappelle que tan x =
x
x
cos
sin
pour tout x D où D = R – {
π
2
πk
où k Z}.
1) Démontrer que : tan (
π
+ x) = tan x, pour tout x D. En déduire la valeur exacte de tan
8
π9
.
2) Démontrer que : 1 +
x
x2
2
cos
1
tan
pour tout x D.
En déduire la valeur exacte de cos
8
π
puis de sin
8
π
.
3) Calculer la valeur exacte de cos
8
π5
.
Exercice 8.
Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante :
32
12
π
tan
.
1) Soit x
2
π
;0
. Démontrer que :
x
xtan
1
2
π
tan
.
2) En déduire que
32
12
π5
tan
.
Exercice 9.
1) Résoudre, dans ] –
π
,
π
], l’équation : sin x = sin (2 x).
Représenter les éventuelles solutions sur le cercle trigonométrique.
2) Existe-t-il un angle aigu
θ
, non nul, ayant le même sinus que 2
θ
?

Coordonnées polaires.
Exercice 10.
Dans un repère orthonormé (O,
i
,
j
), on considère les points A et B dont les coordonnées polaires sont :
A (2 ; 0) et B
6
π
;2
.
On considère également le point C dont les coordonnées cartésiennes sont : C (
3
; – 1).
1) Préciser, sans justification les coordonnées cartésiennes de A.
2) Calculer les coordonnées cartésiennes de B.
3) Calculer les coordonnées polaires de C.
4) Justifier que les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O dont on précisera le rayon.
5) Placer les points A, B et C sur une figure.
6) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
Exercice 11.
1. Déterminer les coordonnées cartésiennes des points A et B dont les coordonnées polaires sont
respectivement : A
3
π
,2
et B
4
π3
,8
.
2. Déterminer les coordonnées polaires des points A et B de coordonnées cartésiennes respectives :
A (0 , – 3) et B (
22
, – 2).
Trigonométrie et polynômes.
Exercice 12.
Résoudre dans R, l’équation : .
Exercice 13.
Résoudre dans ] –
π
,
π
[ les équations suivantes :
03sin5cossin2 23 xxx
.
08sin7sin17sin2 23 xxx
03cos2cos7cos2 23 xxx

O
I
J
I'
J'
A
B
1°S Angles, trigonométrie et repérage Correction des exercices (niveau 1)
Angles orientés.
Exercice 1.
Sur un cercle trigonométrique C , on considère les points A et B tels que :
8
π7
OA,OI
et
5
π3
OB,OI
.
OB,OJ
=
OB,OIOI,OJ
=
OB,OIOJ,OI
=
5
π3
2
π
=
10
π6
10
π5
=
π2
10
π11
OA,OB
=
OA,OIOI,OB
=
OA,OIOB,OI
=
8
π7
5
π3
=
40
π35
40
π24
=
π2
40
π59

Exercice 2. Dans la figure suivante, ABC est un triangle équilatéral. CBD, ACE et AFB sont des triangles
rectangles et isocèles respectivement en D, E et F.
)BF,BD(
=
)BF,BA()BA,BC()BC,BD(
=
4
π
3
π
4
π
=
3
π
2
π
=
6
π2
6
π3
=
π2
6
π5
.
)AC,BA(
=
π)AC,AB(
=
π
3
π
=
3
π3
3
π
=
π2
3
π4
)CA,DC(
=
π)CA,CD(
=
π)CA,CB()CB,CD(
=
π
3
π
4
π
=
12
π12
12
π4
12
π3
=
π2
12
π5
.
A
B
C
E
D
F