Modèle mathématique. - Cours et exercices de mathématiques

1°S
Angles, trigonométrie et repérage
Exercices (niveau 1)
J
Angles orientés.
Exercice 1.
Sur un cercle trigonométrique C , on considère les points A et B tels que :
OI , OA
7π
et
8
3π
OI , OB
5
A
I'
O
.
Déterminer la mesure principale des angles suivants :
OI , OJ ;
OJ , OB ;
OB , OA
B J'
On pourra utiliser la relation de Chasles.
Exercice 2.
Dans la figure suivante, ABC est un triangle équilatéral. CBD, ACE et AFB sont des triangles rectangles et
isocèles respectivement en D, E et F. Déterminer la mesure principale des angles suivants.
( AC , AE )
( BD , BF )
( BA , AC )
( DC , CA )
E
( EA , CB ) .
C
D
A
B
F
Exercice 3.
Soit
1.
et
. Déterminer la mesure principale de :
2.
3.
4.
.
I
Trigonométrie.
Exercice 4. Démontrer que la représentation graphique de la fonction f définie, sur R, par :
f (x) = cos (2 x) + sin x – 1,
est située entre les droites d’équation y = – 3 et y = 1.
Exercice 5.
1) θ est un angle (situé dans ] – π , π ]) dont on sait que cos θ =
3
2
et sin θ =
1
2
.
Que vaut θ (en radians) ?
π
2) θ est un angle situé dans
2
4
tel que sin θ =
;π
5
3) θ est un angle situé dans ] – π ; 0 ] tel que cos θ =
. Calculer cos θ et tan θ .
2
3
. Calculer sin θ et tan θ .
4) θ est un angle situé dans ] – π ; 0 ] tel que tan θ = 2. Calculer cos θ et sin θ .
Exercice 6. Résoudre dans R les équations suivantes :
sin 2 x
3
cos 2 x
4
1
sin 2 x = cos x.
2
Exercice 7.
Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante : tan
On rappelle que tan x =
sin x
cos x
pour tout x
1
cos 2 x
π
En déduire la valeur exacte de cos
3) Calculer la valeur exacte de cos
8
5π
8
π
8
π
2
1.
k π où k
D.
.
.
Exercice 8.
Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante : tan
1) Soit x
0;
π
2
. Démontrer que : tan
2) En déduire que tan
5π
12
2
π
2
x
Z}.
D. En déduire la valeur exacte de tan
pour tout x
puis de sin
2
8
D où D = R – {
1) Démontrer que : tan ( π + x) = tan x, pour tout x
2) Démontrer que : 1 + tan 2 x
π
π
12
1
tan x
2
3.
.
3.
Exercice 9.
1) Résoudre, dans ] – π , π ], l’équation : sin x = sin (2 x).
Représenter les éventuelles solutions sur le cercle trigonométrique.
2) Existe-t-il un angle aigu θ , non nul, ayant le même sinus que 2 θ ?
9π
8
.
Coordonnées polaires.
Exercice 10.
Dans un repère orthonormé (O, i , j ), on considère les points A et B dont les coordonnées polaires sont :
A (2 ; 0) et B 2 ;
π
6
.
On considère également le point C dont les coordonnées cartésiennes sont : C (
3 ; – 1).
1) Préciser, sans justification les coordonnées cartésiennes de A.
2) Calculer les coordonnées cartésiennes de B.
3) Calculer les coordonnées polaires de C.
4) Justifier que les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O dont on précisera le rayon.
5) Placer les points A, B et C sur une figure.
6) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
Exercice 11.
1. Déterminer les coordonnées cartésiennes des points A et B dont les coordonnées polaires sont
respectivement : A 2 , π3
et B 8 , 34π .
2. Déterminer les coordonnées polaires des points A et B de coordonnées cartésiennes respectives :
A (0 , – 3) et B ( 2 2 , – 2).
Trigonométrie et polynômes.
Exercice 12.
Résoudre dans R, l’équation :
2 sin 3 x 17 sin 2 x
7 sin x
0.
8
Exercice 13.
Résoudre dans ] – π , π [ les équations suivantes :
2 cos 3 x
3
2 sin x
7 cos 2 x
2
cos x
2 cos x
5 sin x
3
3
0.
0
1°S
Angles, trigonométrie et repérage
Correction des exercices (niveau 1)
J
Angles orientés.
Exercice 1.
Sur un cercle trigonométrique C , on considère les points A et B tels que :
7π
OI , OA
et OI , OB
8
3π
5
A
I'
O
.
B J'
OJ , OB = OJ , OI
=
OI , OJ
=
π
2
=
5π
10
=
=
=
5
6π
10
OI , OB
3π
7π
5
8
24 π
35 π
40
40
59 π
40
OI , OB
3π
OB , OA = OB , OI
=
OI , OB
2π
=
11 π
10
2π
OI , OA
OI , OA
I
Exercice 2. Dans la figure suivante, ABC est un triangle équilatéral. CBD, ACE et AFB sont des triangles
rectangles et isocèles respectivement en D, E et F.
E
C
D
A
B
F
( BD , BF ) = ( BD , BC )
=
=
=
=
( BC , BA )
π
π
π
4
π
3
π
4
2
3
3π
2π
6
6
5π
2π .
6
( BA , AC ) = ( AB , AC )
=
=
=
π
( BA , BF )
π
π
3
π
3π
3
3
4π
3
2π
( DC , CA ) = ( CD , CA )
π
= ( CD , CB ) ( CB , CA ) π
=
=
=
π
π
4
3
π
3π
4π
12 π
12
12
12
5π
12
2π .
( EA , CB ) = ( EA , AC )
( AC , CB )
= ( AE , AC ) π ( CA , CB ) π
=
=
=
π
π
4
3
3π
4π
12
12
π
12
2π .
π
9
Exercice 3. Soit ( u , v )
et ( u , w )
1. ( v , w ) = ( v , u ) ( u , w )
=
=
=
=
2. ( u , v )
(u ,v )
π
9
π
4
4π
9π
36
36
13 π
36
2π .
π
(u ,v )
=
π
9
π
=
π
9
9π
=
(u , w)
8π
9
9
2π .
3. ( v , 2 w ) = ( v , 2 w )
= (v, w) ( w,2 w)
= (v, w)
= (v ,u ) (u , w)
=
=
=
π
9
π
4
4π
9π
36
36
13 π
36
2π .
4. ( 2 u , w ) = ( 2 u , w ) π
= ( 2u , 2 w) ( 2 w, w) π
= (u , w)
=
π
4
π
=
π
4
4π
5π
2π .
=
4
4
π
π
4
. Déterminons une mesure principale de :
Trigonométrie.
Exercice 4. La fonction f est définie, sur R, par f (x) = cos (2 x) + sin x – 1.
Comme 1 sin x 1 et 1 cos 2 x 1 alors 2 sin x cos 2 x 2 pour tout x
R.
Donc 3 sin x cos 2 x 1 1 pour tout x R.
On en déduit que la courbe de f est située entre les droites d’équation y = – 3 et y = 1.
Exercice 5. 1) θ est un angle (situé dans ] – π , π ]) dont on sait que cos θ =
5π
La connaissance du cercle trigonométrique donne immédiatement θ =
2) θ est un angle situé dans
π
;π
2
4
tel que sin θ =
5
π
sin θ
On en déduit que tan θ =
cos θ
2
=
1
et sin θ =
2
2
.
2π .
6
. Calculons cos θ et tan θ .
On sait que cos 2 θ + sin 2 θ = 1 donc cos 2 θ = 1 – sin 2 θ = 1 –
comme θ est un angle situé dans
3
16
25
=
9
25
3
donc cos θ =
(noter que
5
alors cos θ est négatif).
;π
4
5
5
3
=
4
.
3
2
3) θ est un angle situé dans ] – π ; 0 ] tel que cos θ =
3
. Calculons sin θ et tan θ .
On sait que cos 2 θ + sin 2 θ = 1 donc sin 2 θ = 1 – cos 2 θ = 1 –
4
9
=
5
9
5
donc sin θ =
3
(noter que
comme θ est un angle situé dans ] – π ; 0 ] et que cos θ > 0, alors sin θ est négatif).
sin θ
On en déduit que tan θ =
cos θ
=
5
3
3
2
5
=
2
.
4) θ est un angle situé dans ] – π ; 0 ] tel que tan θ = 2. Calculons cos θ et sin θ .
Remarque : comme tan θ > 0 alors sin θ et cos θ sont de même signe (tous deux positifs ou tous deux
négatifs), on en déduit puisque θ est dans ] – π ; 0 ] et même que θ
π;
π
2
. On peut donc affirmer que
cos θ et sin θ sont tous deux négatifs.
Comme 1 + tan 2 θ =
1
cos θ
2
alors cos 2 θ =
1
1
tan θ
2
=
Puis cos 2 θ + sin 2 θ = 1 donc sin 2 θ = 1 – cos 2 θ = 1 –
1
1 2
2
1
4
5
=
5
=
1
5
. Donc cos θ =
donc sin θ =
1
5
5
5
2
5
2 5
5
.
.
Exercice 6. Résolvons sur R les équations suivantes :
3
 sin 2 x
x=
4
π
π
4
3π
ou x =
 sin 2 x = cos x
π
2x
2
2π
4
π
2π
ou x =
π
1
π
2π
4
2π
3
2
2
2
sin 2 x = sin
3π
ou x =
4
2π .
x
2
π
3x
ou
2π
3
ou x =
x 2π
2
π
ou cos x =
2
2
2π
2
ou x =
1
cos x =
2
2π
3
3
ou sin x =
2
2π
ou x =
1
 cos 2 x
x=
2π
3
3
sin x =
2π
2
ou
π
2x
x 2π
2
π
x
2π
2
Exercice 7. Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante : tan
sin x
D où D = R – {
π
1.
2
8
π
k π où k Z}.
cos x
2
1) Démontrons que : tan ( π + x) = tan x, pour tout x D. Soit x D, on a :
sin π x
sin x
sin x
tan ( π + x) =
=
=
= tan x (autrement dit, tan est périodique de période π ). On en
cos π x
cos x
cos x
On rappelle que tan x =
déduit que : tan
9π
8
= tan
pour tout x
8π
π
8
8
2) Démontrons que : 1 + tan 2 x
1
On en déduit que : cos
2
π
8
4
π
8
Puis sin
π
8
2
> 0, on a donc cos
= 1 – cos
π
8
2
=1–
2
2 2
=
2
2
4
2
4
2
=
4
4
2
1
4
=
2 2
=
8
1.
2
D, on a :
cos 2 x
sin 2 x
2
cos x
1
=
cos 2 x
.
.
1
1
2 2 4
π
8
tan 2 x
=
2
π
8
4
=
Puisque cos
tan
cos x
1
1
=
2
cos x
π
D. Soit x
sin 2 x
2
1
1
8
cos 2 x
D, cos 2 x =
=
= tan
pour tout x
cos 2 x
1 + tan 2 x =
On a donc aussi, pour tout x
π
= tan π
42
1 2
2 2
2 2
2
=
1
=
2
2
2
2
4
=
2 2
1
4
2 2
=
2
1
=
16
4
8
=
2 2
4
2 2
8
=
2
2
4
.
.
2
2
4
et sin
π
8
=
2
2
4
=
2
2
2
.
3) Calculons la valeur exacte de cos
5π
cos
8
= cos
4π
π
8
8
= cos
5π
.
8
π
π
2
8
π
= – sin
2
=–
8
2
.
2
π
Exercice 8. Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante : tan
1) Soit x
0;
π
. Démontrons que : tan
2
tan
π
2
π
1
x
2
tan x
π
sin
π
cos
. On a :
x
2
x
3.
2
12
x
2
cos x
1
sin x
tan x
.
2) On en déduit que :
tan
5π
12
tan
6π
12
π
tan
12
π
2
π
1
12
tan
1
π
12
2
2
3
2
3
2
3 2
3
3
22
3
2
2
3.
Exercice 9.
1) Résolvons, dans ] – π , π ], l’équation : sin x = sin (2 x).
x
sin x = sin (2 x)
0
0 2π
x
ou
ou
π
2x 2π
3x
2k π
0
π 2π
3x
avec k
π
2k π
ou
x
x
ou
x
x
2x 2π
avec k
π
2k π
3
3
Z . Les solutions dans ] – π , π ] sont donc : S =
Représentons les solutions sur le cercle trigonométrique (par les points
J
M
M
Z
2k π
π
3
;0;
π
3
;π .
).
2
M
3
1
o
M
2) Il existe un unique angle aigu
question précédente.
0
(compris entre 0 et ), non nul,
ayant le même sinus que
d’après la
Coordonnées polaires.
Exercice 10. Dans un repère orthonormé (O, i , j ), on considère les points A et B dont les coordonnées
polaires sont :
π
A (2 ; 0) et B 2 ;
.
6
3 ; – 1).
On considère également le point C dont les coordonnées cartésiennes sont : C (
1) Les coordonnées cartésiennes de A sont (2 ; 0).
2) Les coordonnées cartésiennes de B sont :
x = r cos θ = 2 cos
π
6
3
=2
3 et y = r sin θ = 2 sin
2
π
6
1
= 2
2
1.
3) Calculons les coordonnées polaires de C :
r2 = x2 + y2 =
Puis cos θ =
2
3
x
r
1
3
2
3 1
et sin θ =
2
4 d’où r = 2.
y
1
r
2
donc θ =
7π
6
2π .
4) Les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O de rayon 2 car les coordonnées polaires de ces
points sont de la forme (2 ; θ ).
5) Plaçons les points A, B et C sur une figure.
B
A
o
C
6) Les points B et C sont symétriques par rapport à O (car leurs coordonnées cartésiennes sont opposées) donc
[BC] est un diamètre du cercle. Comme A est sur ce cercle, alors le triangle ABC est rectangle en A.
Exercice 11. 1. Déterminons les coordonnées cartésiennes des points A et B dont les coordonnées polaires sont
respectivement : A 2 , π3 et B 8 , 34π .
Pour le point A, x = r cos θ = 2 cos
π
3
Pour le point B, x = r cos θ = 8 cos
3π
4
1
=2
2
=8
1 et y = r sin θ = 2 sin
2
2
π
3
=2
4 2 et y = r sin θ = 8
3
3.
2
2
2
4 2.
2. Déterminons les coordonnées polaires des points A et B de coordonnées cartésiennes respectives :
A (0 , – 3) et B ( 2 2 , – 2).
Pour le point A, on a :
r 2 = x 2 + y 2 = 0 2 + (– 3) 2 = 9 donc r = 3. La position du point A apporte immédiatement θ = π 2 π .
Pour le point B, on a :
r2 = x2 + y2 =
2 2
2
2
2
8
4
12 donc r =
12
2 3.
Puis : cos θ =
x
r
2 2
2 3
2
3
6
3
et sin θ =
y
2
1
r
2 3
3
Ceci définit parfaitement un angle θ (à 2 π près), la calculatrice donne θ
modulo 360°,
).
3
3
.
215° (ou ce qui revient au même